Финансовые вычисления используются для решения широкого круга задач: от простейших расчетов по начислению простых и сложных процентов, определению эквивалентности процентных ставок и до количественного анализа потоков платежей, эквивалентного изменениям параметров финансовых сделок, ранжирования вариантов инвестиций, разработки планов погашения долгосрочных кредитов и займов, оценке финансовой эффективности различных кредитных и коммерческих операций.
а) Определение текущей и будущей стоимости ренты
Рента - это серия периодически осуществляемых платежей. Примером потоков с платежами произвольной величины могут служить выплаты дивидендов по обыкновенным акциям, капиталовложения в долгосрочные активы и т.д. Расчет характеристик таких потоков представляет собой определенные вычислительные трудности. В финансовых расчетах обычно возникает вопрос определения обобщающих характеристик - наращенной суммы ренты и современной величины ренты. Наращенная сумма ренты представляет сумму всех периодических платежей с начисленными на них процентами к концу ее срока. Современная величина ренты - это сумма всех периодических платежей, дисконтированных на начало срока ренты.
Если рента состоит из платежей одинакового размера и они осуществляются через одинаковые промежутки времени, то количество денег, которое может быть инвестировано в ренту, определяется по формуле текущей стоимости ренты (постнумерандо):
PV = Rс + Rс +…..+ Rс, (1)
(1+ i) (1+ i)2 .... (1+ i)n
или:
PV = ? Rс,
(1+ i)n
или:
PV = Rс - 1 Rс, (1а)
i (1+ i)n i
где PV - текущая стоимость ренты;
Rс - ежегодные выплаты равными суммами; (член ренты)
i - процентная ставка (коэффициент окупаемости капиталовложений, предпочтительный для инвестора).
Пример. Компания сдает в аренду имущество сроком на 5 лет, арендная плата составляет 50 млн руб. в год, определен барьерный коэффициент рентабельности в 20%. Следовательно, общая сумма платежей за 5 лет составит 250 млн руб. Текущая стоимость арендной платы cоставит:
PV = 50 - 1 50 = 149,5 млн.руб.
0,2 (1+ 0,2)5 0,2

Для расчета будущей стоимости обыкновенной ренты (постнумерандо) применяется формула:
FV = R ? (1+ i)n, (2)
или
FV = R (1+ i)n - 1 , или: FV = R (1+ i)n -R , (2а)
iii
где FV - будущая стоимость аннуитета;
R - ежегодные вклады равными суммами; (член ренты)
i - процентная ставка (коэффициент наращивания капиталовложений, предпочтительный для инвестора).
Подобные расчеты в страховании называют актуарными. Они позволяют рассчитать объем потоков денежных средств, накопленную сумму страхового фонда и т.д.
Пример. Для погашения пакета облигаций, выпущенных на 5 лет, создается погасительный фонд при ежегодных платежах по 20 млн руб., на которые начисляются проценты по ставке 10%. Определим итоговую (наращенную) сумму при условии, что проценты начисляются один раз в год.
FV = 20 (1 +0,l)5 -20 =1,61051х200-200= 122,102 млн руб.
0.10.1
Таким образом, по истечении 5 лет предприятие накопит 122,1 млн руб. для погашения пакета выпущенных облигаций.

б) Расчет текущей стоимости и доходности ценных бумаг
Напомним, что стоимость ценной бумаги это абсолютная величина. Различают: номинальную и рыночную стоимость.
Доходность - это относительная величина: в общем виде это отношение дохода от данного финансового актива к объему инвестиций. Различают купонную и текущую доходность, доходность к сроку погашения.
Текущая рыночная стоимость любой ценной бумаги в общем виде может быть рассчитана по следующей формуле:
РV = ? CFп, (1)
(1+ r)n
где CFп - ожидаемый денежный поток в п -периоде;
r- приемлемая норма доходности.
Таким образом, подставляя в эту формулу предполагаемые поступления, норму дохода и период прогнозирования, можно рассчитать текущую стоимость любого финансового актива. Приемлемая норма доходности может устанавливаться инвестором следующими способами:
* в размере процентной ставки по банковским депозитам;
* исходя из процента, выплачиваемого банком вкладчику за хранение его средств, и надбавки за риск инвестирования в данный финансовый актив;
* исходя из процента, выплачиваемого по правительственным облигациям, и надбавки за риск.

Министерство высшего образования РФ

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Финансовые вычисления»

Учебное пособие: Красина Ф.А.

Вариант № 1

Выполнил студент

Специальность 80100

Максаева Татьяна Петровна

г.Томск 2014

Задача 1 .

Предприниматель поместил в банк в сумме 500 тыс. руб. по 10 % годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму он будет получать каждый квартал? Как изменится сумма к получению при выплате простых процентов каждый месяц?

Решение:= 4= 10% = 0,10

По формуле FV = PV(1+nr), имеем:

FV = 500(1 + 0,10/4) = 500*1,025 = 512,5 тыс. руб.

Клиент каждый квартал будет получать сумму F - P = 512,5 - 500 = 12,5 тыс. руб.

При выплате простых процентов каждый месяц m = 12 сумма к получению за квартал составит: FV = 500(1 + 3*0,10/12) = 500*1,025 = 512,5 тыс. руб.

Следовательно, при выплате простых процентов сумма одинакова при выплате процентов ежемесячно или ежеквартально.

10 апреля предприниматель получил ссуду в банке под простую учетную ставку 20 % годовых и должен возвратить 18 ноября того же года 750 тыс. руб. Определить точным и приближенным способами сумму, полученную клиентом.

Решение:= 750= 0,20

Для решения воспользуемся формулой наращения по простой учетной ставке:

Pn = F(1 - d * t/T)

используя обыкновенный процент с точным числом дней:= 322 - 100 = 222 дня, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 222/360) = 657,5 тыс.руб.

) используя обыкновенный процент с приближенном числе дней:= 7 * 30 + 8 = 218 дней, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 218/360) = 659,17 тыс.руб.

) используя точный процент с точным числом дней:= 322 - 100 = 222 дня, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 222/365) = 658,77 тыс.руб.

3. Предприниматель получил ссуду в банке в размере 20 млн руб. сроком на 5 лет <#"justify">4. Вексель на сумму 800 тыс. руб. учитывается за 2 года до срока погашения. Какую сумму получит предъявитель векселя при учете по сложной учетной ставке 20 % годовых?

Используем формулу наращения по сложной учетной ставке: P = F(1 - d)n= 800(1 - 0,2)2 = 800 * 0,64 = 512 тыс. руб.

Предъявитель вексель получит сумму 512 тыс.руб.

Банк учитывает вексель за 300 дней до срока погашения по сложной учетной ставке 10 % годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, если используется временная база 365 дней и банк хочет получить такой же доход?

Для определения эквивалентности простой годовой ставки находим формулу, приравнивая соответствующие множители наращения.

P = F(1 - d*t/T) получим P = F(1 - 0,1 - 300/360) = 0,83F

Для нахождения искомой ставки воспользуемся формулой:

d = т.е. 16,9%

Следовательно, должна быть применена простая годовая процентная ставка 16,9%.

6. Три платежа: 10 000 долл., срок погашения 15 мая; 20 000 долл., срок погашения 15 июня; 15 000 долл., срок погашения 15 августа заменяются одним платежом со сроком погашения 1 августа на основе простой процентной ставки. Определить сумму нового платежа.

000 долл., срок погашения в течении -15дней (с 15августа на 1 августа)=10000(1-78/360)+20000(1-48/360)+15000(1+15/360)=

7833,33+17333,33+15625=40791,66

На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Вычислить годовую номинальную процентную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 12 %.

Сначала найдем индекс инфляции за год.

Обозначим среднемесячный индекс инфляции, тогда = (1 + 12/3) = 1,04. Тогда индекс инфляции за год составит:

= ()12 = (1,04)12 = 1,60103.

Пусть r - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда значение ставки, лишь нейтрализующие действие инфляции, находится из равенства:

Тогда искомая процентная ставка за полгода должна быть больше,

чем r = - 1 = 1,60103 - 1 = 0,60103, т.е. 60,103%.

а) При начислении процентной ставки раз в полгода, для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение: (1 + r2/2)2 = откуда:

r2 = 2() = 2() = 0,530638036992, т.е. 53,06%.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение:

(1 + r4/4)4 = , откуда: = 4(- 1) = 4(- 1) = 0,499, т.е. 49,9%

в) при ежемесячном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение:

(1 + r12/12)12 = , откуда: = 12(- 1) = 12(- 1) = 0,479998, т.е. 47,9998%.

В банк на депозит внесено 5000долл, срок депозита - полгода, простая ссудная ставка равна 5% годовых. Ставка налога на начисленные проценты равна 3%. Определить наращенную сумму с учетом налога на проценты и реальную доходность финансовой операции.

5000; n = 0,5; t= 0,03; r=0,05

Наращенная сумма с учетом налога на проценты составит 5121 долл.,

Страховая компания заключила договор с предприятием на 5 лет <#"27" src="doc_zip19.jpg" />

процент ставка доход

FVpst = А * FM3(10%,5) = 800 ? ((1 + 0,10)5 + (1 + 0,10)4 + (1 + 0,10) 3+(1 + 0,10)2 + (1 + 0,10))=5368 тыс. руб.

б) найдем сумму получаемую компанией по данному контракту по формуле: но с учетом того что платеж имеет размер 800/2 = 400 тыс.руб., а процентная ставка на полгода 10/2 = 5%.

FVpst = 400 * FM3(5%,6) =400 ? ((1 + 0,05)6 + (1 + 0,05)5 + (1 + 0,05)4+(1 + 0,05)3 + (1 + 0,05)2 + (1 + 0,05))=2856 тыс. руб.

в) найдем сумму получаемую компанией по данному контракту по формуле: но с учетом того что платеж имеет размер 800/4 = 200 тыс.руб., а процентная ставка на квартал 10/4 = 2.5%.

FVpst = 200 * FM3(2.5%,4) =200 ? ((1 + 0,025)4 + (1 + 0,025)3 + (1 + 0,025)2+(1 + 0,025)) =850.8 руб.

Раз в полгода делается взнос в банк по схеме постнумерандо в размере 500долл. Банк ежемесячно начисляет сложные проценты по ставке 8% годовых. Какая сумма будет на счете через 5 лет?

При А=500 r=0.67% n=10

500*10,37=5183,35 долл.

Через 5 лет на счету накопится 5183350 долл.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Развитие и усложнение финансовой теории и практики, расширение круга решаемых вопросов обусловили совершенствование методов финансовых вычислений – особой области знаний, которая дает целостную концепцию количественного финансового анализа условий и результатов финансово-кредитных и коммерческих сделок. Потребность в них возникает всякий раз, когда осуществляется инвестирование средств и затем поступление дохода с этих средств: при ссудных операциях, размещении средств в ценные бумаги, производственном инвестировании. В этих случаях встает задача приведения в соответствие размеров и сроков платежей со временем расчетов и правилами сделки. Разработанная для этих целей система аналитических формул и способов исчисления получила название «финансовая математика» .

Финансовая математика или финансовые вычисления представляют собой совокупность методов определения изменения стоимости денег, происходящего вследствие их возвратного движения (предоставления в долг) в процессе воспроизводства.

Главная роль финансовых вычислений заключается в том, что они позволяют эффективно осуществлять инвестиционную деятельность, проводить проектный анализ, управление финансами. Финансовые вычисления были созданы для оценки привлекательности вложения денег, поэтому их назначение состоит в том, чтобы рассматривать возможные варианты вложения денежных средств исходя из условий сделки, а также анализировать последствия уже произведенных расходов.

Финансовые вычисления позволяют решать следующие задачи:

· исчисление конечных сумм денежных средств, находящихся во вкладах, займах, ценных бумагах путем начисления процентов, а также оценка современной стоимости ожидаемых доходов;

· учет ценных бумаг;

· установление взаимосвязи между отдельными параметрами сделки и определение параметров сделки исходя из заданных условий;

· определение эквивалентности параметров сделки для получения равной отдачи от затрат, произведенных различными способами;

· анализ последствий изменений условий операции;

· исчисление обобщающих характеристик и отдельных параметров финансовых потоков;

· разработка планов выполнения финансовых операций;

· расчет показателей доходности финансовых операций и финансовых инструментов.

На практике финансовые вычисления применяются в банковском и сберегательном деле, страховании, в работе финансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж.

Чёткое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала. Главное из таких понятий – процентные деньги (далее – проценты), определение которых составляет сущность большинства финансовых расчётов.

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.) либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентные ставки – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т.е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (сроки доходности).

Наращение (рост) первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (доходов).

Множитель (коэффициент) наращения – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существует две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов.

Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка, или что то же, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определённый интервал дохода к сумме, имеющегося на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный). Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учётной ставкой или антисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применяется, как правило, в период высокой инфляции. При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной сумме долга), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

В российской практике понятие ссудного процента и учётной ставки обычно не различаются и обозначаются собирательным термином «процентная ставка» (термин «учётная ставка» можно также встретить применительно к ставке рефинансирования Центрального банка и к вексельным операциям).

По мере развития рыночных отношений вопрос различия декурсивного и антисипативного методов начисления приобретает всё большую актуальность.

Введение

В наше время финансовые вычисления играют огромную роль. Коммерческие и финансовые вычисления сопровождают нас постоянно; практически нет ни одного человека, который хотя бы раз в жизни не столкнулся с необходимостью сделать какие-то расчеты финансового характера. В последние годы с развитием частного предпринимательства, появлением сети коммерческих банков, свободным ценообразованием, появлением новых финансовых инструментов инвестиционных возможностей, угрозой инфляции необходимость проведения подобных расчетов становится рутинным делом практически для всех.

Наиболее актуальной темой сегодня являются кредиты. Именно поэтому данная тема напрямую связана с этим направлением.

В данной курсовой работе цель кредитования - ремонт жилья. Чем же кредит на ремонт отличается от других видов займов? Стоит сразу заметить, что у разных банков под «кредитом на ремонт» подразумевается разное: некоторые так называют разновидность обычного потребительского кредита («на любые цели»), другие - вариант ломбардного кредитования под залог любого недвижимого имущества.

Классический кредит на ремонт - ни то и ни другое, он подразумевает «связанность» выдаваемых в качестве займа средств, то есть их целевое использование, когда банк в любой момент может потребовать отчетности по тому, как вы потратили деньги. Кредит "Ремонт" предлагается на ремонт любой жилой недвижимости, находящейся в собственности заемщика, при этом процентная ставка точно такая же, как и при покупке квартиры.

Целью данной курсовой работы является составление плана погашения долгосрочного кредита, выданного Национальным Резервным банком на ремонт квартиры; проанализировать полученные данные и сделать выводы о том, как влияет процентная ставка и срок погашения кредита на размер займа.

Теоретические основы финансовых вычислений

Основные понятия

Финансовые вычисления появились с возникновением товарно-денежных отношений. В отдельную область знаний оформились в ХIX веке.

Дисциплина финансовые вычисления сформировалась на стыке финансовой науки и математики; не относится к математическим наукам, так как количественные методы применяются после качественного анализа. Объектом финансовых вычислений являются финансовые операции. Вычисления необходимо производить, когда существуют временные параметры, даты, сроки выплат, отсрочки платежей, периодичность платежей и т.д. При этом фактор времени иногда имеет большее значение, чем сами стоимостные показатели.

В любой финансовой операции доход возникает при выдаче денежной ссуды, продаже в кредит, сдаче в аренду, по депозитному счету, при учете векселей, покупке облигаций и др. Абсолютные величины очень важны, но они не позволяют сравнивать финансовые операции, поэтому используется относительный показатель, который характеризует интенсивность финансовой операции - процентную (или учетную) ставку. Метод расчета - отношение процентных денег, выплаченных за определенный период времени, к величине ссуды, выражается в долях единиц или процентах. Начисление процентов, как правило, производится дискретно за какой-либо интервал времени.

Периодом начисления называется отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами начисления процентов.

Различают:

2) антисипативные, предварительные (prenumerando) проценты - происходит дисконтирование

Эти два вида процентов можно отобразить на графиках (рисунок 1).

Рисунок 1. Логика финансовых операций наращения и дисконтирования

Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется сроком финансовой операции.

Для рассмотрения формул, используемых в финансовой математике, необходимо ввести ряд условных обозначений:

I - проценты за весь срок ссуды (interest);

PV - первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (present value);

i - ставка процентов за период (interest rate);

FV - наращенная сумма или будущая стоимость (future value), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;

n - срок ссуды в годах.

При начислении процентов возможно два пути:

Снять процентные деньги;

Забрать деньги вместе с первоначальной суммой.

Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма - наращенной суммой. Этот процесс называется компаудингом. Отсюда можно определить еще один показатель - коэффициент наращения (множитель наращения), как отношение наращенной суммы к первоначальной.

На практике доходность финансовых операций - величина непостоянная, зависящая, главным образом, от степени риска, ассоциируемого с видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная: чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государственные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операций в этом случае невысока.

Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок:

Простые - применяются к одной и той же базе первоначально вложенного капитала;

Сложные - применяются к наращенной сумме долга, база начисления постоянно увеличивается на сумму присоединенного процента;

Плавающие - ставки, привязанные к какой-либо базовой величине;

Фиксированные - четко зафиксированы в контракте;- постоянные - неизменная величина на период ссуды;

Переменные - дискретно изменяются.

Временная стоимость денег

Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предприятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными денежными потоками, что позвляет оперировать их итоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковую ценность. Очевидно, что 1 млн. рублей в начале 1992 года был значительно весомее миллиона “образца” 1993 и более поздних лет. Как правило, в таких случаях производят корректировку отчетных данных с учетом инфляции. Но проблема не сводится только к учету инфляции. Одним из основополагающих принципов финансового менеджмента является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным предпочтением.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена. Во-первых, “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого “завтра”. Во-вторых, располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования. Кроме того снижается его платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения. Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоствляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками.

Количественной мерой величины этого возмещения является процентная ставка . С ее помощью может быть определена как будущая стоимость “сегодняшних” денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость “завтрашних” денег – например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему моменту) – отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая стоимость. Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольно часто беря или давая деньги взаймы. Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей. В принципе, дисконтирование – это наращение “наоборот”, однако для финансовых расчетов важны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами).

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом , измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:

Можно заметить, что формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя “темп прироста”. Действительно, если абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста перовначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется декурсивным методом начисления процентов.

Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

где D – сумма дисконта.

Сравнивая формулы (2) и (3) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого означает “скидка”). Неудивительно, что основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется и для наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах.

При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простыми процентами.

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:

декурсивные проценты: (3)

антисипативные проценты: , (4)

где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (4) называются множителями наращения простых процентов: (1 + ni) – множитель наращения декурсивных процентов; 1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативных процентов.

Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых. В случае декурсивных процентов наращенная сумма (S i) будет равна 1,15 млн. рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей (1,15 – 1). Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина (S d) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сумма процентов (D) 0,176 млн. рублей. Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной операции – дисконтирования – имеет оттенок некой “неестественности” и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С позиции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем:

(5)

Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как по формуле (3), так и по формуле (4).

Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат. В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные примеры возникновения подобных ситуаций.

Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат. То есть нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a 1 = P и разностью d = (P * i).

P, P + (P * i), P + 2 * (P * i), P + 3 * (P * i), …, P + (k – 1) * (P * i)

Наращенная сумма S есть ничто иное как последний k-й член этой прогрессии (S = a k = P + n * P * i), срок ссуды n равен k – 1. Поэтому, если увеличить n и одновременно пропорционально уменьшить i, то величина каждого члена погрессии, в том числе и последнего, останется неизменной.

Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база ), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

для декурсивных процентов: (6)

для антисипативных процентов: , (7)

В различных случаях могут применяться различные способы подсчета числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Проблема усугубляется наличием високосных лет. Например, обозначение ACT/360 (actual over 360) указывает на то, что длительность года принимается равной 360 дням. Однако возникает вопрос, а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого же года, как считать его длительность – по календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? Безусловно, в каждом конкретном случае может быть выбран свой оригинальный способ подсчета числа дней, однако на практике выработаны некоторые общие принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любой конкретной ситуации.

Если временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называются точными . Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или обыкновенных процентах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может быть или приближенным , когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по специальной таблице номеров дней в году. Определяя приближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день ). В приведенном выше условном примере точная длительность ссуды составит по календарю 99 дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне + 1 граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать таблицу номеров дней в году (10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня – 168). Если же использовать приближенный способ подсчета, то длительность ссуды составит 98 дней (21 + 2 * 30 + 16 + 1).

Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

1. Точные проценты с точным числом дней (365/365).

2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).

3. Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

Различия в способах подсчета дней могут показаться несущественными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров. Предположим, что ссуда в размере 10 млн. рублей выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 45% годовых (простая процентная ставка). Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. Табличное значение точной длительности ссуды равно 244 дня (365 – 121); приближенная длительность – 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).

1. 10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублей

2. 10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублей

3. 10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей

Разница между наибольшей и наименьшей величинами (13,05 – 13,008) означает, что должник будет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение 2 способа начисления процентов.

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая ) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет .

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант). Например, владелец векселя номиналом 25 тыс. рублей обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35% годовых. Выкупная цена векселя составит:

P = 25000 * (1 – 60/360 * 0,35) = 23541,7 руб.,

а сумма дисконта будет равна

D = S – P = 25000 – 23541,7 = 1458,3 руб.

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:

Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когда возникает необходимость определить современную величину суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно текущая стоимость товаров будет равна:

P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублей

Применив к этим условиям метод банковского учета, получим:

P = 1 * (1 – 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. рублей

Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не существует. Никто не может запретить участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для кредитора (инвестора).

Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i).

P, P * (1 + i), P * (1 + i) 2 , P * (1 + i) 3 , …, P * (1 + i) n ,

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

С позиций финансового менеджмента использование сложных процентов является более предпочтительным, т.к. признание возможности собственника в любой момент инвестировать свои средства с целью получения дохода является краеугольным камнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее корректными. Тем не менее при краткосрочных финансовых операциях по-прежнему широко применяются вычисления простых процентов. Некоторые математики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у финансистов не было под рукой калькуляторов и они были вынуждены прибегать к более простым, хотя и менее точным способам расчета. Представляется возможным и несколько иное объяснение данного факта. При длительности операций менее 1 года (n < 1) начисление простых процентов обеспечивает получение результатов даже более выгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. Выше уже отмечалась закономерность выбора банками именно таких, более выгодных для кредитора способов. Поэтому было бы наивно недооценивать вычислительные мощности современных банков и интеллектуальный потенциал их сотрудников, полагая, что они используют грубые методы расчетов только из-за их низкой трудоемкости. Трудно представить себе банкира, хотя бы на секунду забывающего о собственной выгоде.

Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Однако практическое применение такого способа наращения процентов весьма ограничено и он относится скорее к разряду финансовой экзотики.

Как уже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при анализе долгосрочных финансовых операций (n > 1). На большом промежутке времени в полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления “процентов на проценты”. В связи с этим вопрос измерения длительности операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. Как правило, неполное количество лет выражают дробным числом через количество месяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные подсчеты дней. Поэтому в формуле начисления сложных процентов число лет практически всегда обозначается буквой n, а не выражением t/K, как это принято для простых процентов. Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке.

, (12)

где a – число полных лет в составе продолжительности операции,

t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год,

K –временная база.

В этом случае вновь возникает необходимость выполнения календарных вычислений по рассмотренным выше правилам. Например, ссуда в 3 млн. рублей выдается 1 января 1997 года по 30 сентября 1999 года под 28% годовых (процентная ставка). В случае начисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная сумма составит:

S = 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. рублей

Если же использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с точным числом дней), то получим:

S = 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн. рублей

Таким образом, щепетильность кредитора в данном случае оказалась вовсе не излишней и была вознаграждена дополнительным доходом в сумме 85 тыс. рублей.

Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов. Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1 тыс. рублей возрастет к концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. рублей (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 1,216 тыс. рублей. По мере увеличения числа начислений (m) и продолжительности операции эта разница будет очень сильно увеличиваться. Если разделить сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, то получится 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Следовательно сложная ставка 20% при однократном наращении и 20% (четыре раза по 5%) при поквартальном наращении приводят к различным результатам, то есть они не являются эквивалентными. Цифра 20% отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку. Эффективной процентной ставкой является значение 21,6%. В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

Например ссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит:

S = 5 * (1 + 0,35 / 2)^(2 * 2) = 9,531 млн. рублей.

При однократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. рублей (5 * (1 + 0,35)^2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968 млн. рублей (5 * 1 + (0,35 / 12)^(12 * 2)).

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.

Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:

где (1 –d) n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.

при m > 1 получаем

где f – номинальная сложная учетная ставка,

(1 – f / m) mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.

Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем

где 1 / (1 + i) n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.

При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:

где j –номинальная сложная процентная ставка,

1 / (1 + j / m) mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.

Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. рублей, который должен поступить через 1,5 года, процентная ставка составляет 40%:

при m = 1 P = 3 / (1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. рублей

при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3 / (1 + 0,4 / 2)^(2 * 1,5) = 1,736 млн. рублей

при m = 12 (ежемесячное начисление) P = (3 / (1 + 0,4 / 12)^(12 * 1,5) = 1,663 млн. рублей.

По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) проежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается – при m = 1 этот промежуток равен 1 году, а при m = 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечнности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление станет практически непрерывным. Такая на первый взгляд гипотетическая ситуация имеет важное значение для финансов и при построении сложных аналитических моделей (например при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяют непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается “дельта”), часто этот показатель называют “сила роста” . Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:

где e – основание натурального логарифма (≈2,71828...),

e  n – множитель наращения непрерывных процентов.

Например, чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если сегодня положить ее на банковский депозит под 15% годовых, начисляемых непрерывно?

S = 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тыс. рублей.

Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками – сила роста является универсальным показателем. Однако, наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной процентной ставке.

Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется по формуле:

, (20)

где 1 / e  n – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.

Например, в результате осуществления инвестиционного проекта планируется получить через 2 года доход в размере 15 млн. рублей. Чему будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22% годовых?

P = 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн. рублей.