Главная Бизнес-идеи Формула сложных процентов. Сложные ставки ссудных процентов

Формула сложных процентов. Сложные ставки ссудных процентов

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. При краткосрочных операциях срок инвестирования, как мы уже убедились, удобно измерять в днях. Поэтому продолжительность года принимают равной либо 360 дням (360 - 12 х 30 дней), либо фактическому числу дней в году. В первом случае проценты называют обычными, во втором - точными.

При подсчете числа дней срока инвестирования т возможны два варианта. Первый вариант: наиболее часто подсчитывают точное число дней с помощью специальной таблицы, в которой приведены порядковые номера каждого дня в году. При этом день выдачи и возврата ссуды считают за один день. Во втором варианте подсчитывают точное число месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. При этом длительность каждого полного месяца полагают равной 30 дням. Второй вариант дает обычно меньшее значение т. Таким образом, всего имеются четыре схемы расчета процентов, из которых применяются следующие три.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. В этой схеме при начислении процентов за 6 месяцев срок ссуды полагается равным 182 дням. Эта наиболее точная схема широко применяется в банках Великобритании.
2. Обычные проценты с точным числом дней ссуды. Эта схема дает несколько больший результат, чем предыдущая, и используется в банках Франции.
3. Обычные проценты с приближенным числом дней ссуды. Это - менее точная схема, она применяется в банках Германии.

Четвертая схема- точные проценты и приближенное число дней ссуды - не применяется.

Наращение капитала может осуществляться либо в виде простых процентов, либо в виде сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р , а установленная норма доходности - г (в долях единицы). Тогда говорят, что инвестирование осуществлено на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Рх г. Таким образом, размер инвестированного капитала через п периодов (Р п) будет равен:

Выражение (7.6) часто называют формулой наращения по простым процентам, а множитель

коэффициентом наращения простых процентов.

При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления, использования в других инвестиционных проектах или в текущей деятельности. Простые проценты применяют в следующих случаях:

ф при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;

ф когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода (конверсионный период - это временной интервал, в конце которого начисляется процент за этот интервал);

ф при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т. п.

При выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года в качестве показателя п берется величина, характеризующая длину периода (дни, месяц, квартал, полугодие) в долях года. При этом длина различных временных интервалов в расчетах, как правило, округляется: месяц - 30 дней, квартал - 90 дней, полугодие - 180 дней, год - 360 дней.

Пример 7. 3 млн руб. выдано в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдем наращенное значение долга в конце каждого месяца.

Обозначим через Р п наращенное значение долга в конце каждого месяца. Так как Р - 3 млн руб. и г - 0,1, то в силу формулы (7.6):

Полученные результаты сведем в табл. 7.1.

Из табл. 7.1 видно, что последовательность Р, Р 2 ,... Р б представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 3 млн руб. и знаменателем 300 тыс. руб.

Таблица 7.1 Наращенное значение долга

Пример 8. Ссуда в размере 5 млн руб. выдана на один месяц под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т. е. база начисления процентов постоянно возрастает. Это означает, что инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. Присоединение начисленных процентов к базовой сумме называется капитализацией процентов.

При начислении сложного процента размер капитала будет равен: к концу первого года

к концу второго года

к концу л-го года

Использование в расчетах сложного процента более логично со стороны инвестора, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает.

Пример 9. Определить, какой величины через пять лет достигнет долг, равный 1 млн руб. при сложной ставке 15,5% годовых.

В соответствии с формулой (7.7) имеем:

Формула (7.7) является одной из базовых в финансовых вычислениях. Множитель М(г, л) - (1 + г)", обеспечивающий наращение стоимости, называют факторным множителем. Значения факторного множителя Л/(г, п) табулированы для различных значений г и л. С его помощью формула (7.7) переписывается в виде:

С экономической точки зрения факторный множитель показывает, чему будет равна одна денежная единица через л периодов при заданной процентной ставке г.

Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему с помощью применения плавающих ставок. Расчет на перспективу по таким ставкам достаточно условен. Вместе с тем справедлива следующая важная теорема (принцип стабильности рынка): «Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов». Следовательно,

где г |Р г 2 ,.... г к - последовательные во времени значения ставок;

л, л 2 .....п к - периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки.

Пример 10. Заключен договор о ссуде на 5 лет. Договорная процентная ставка составляет 12% годовых с маржой (доплата за накладные расходы, комиссионные) в размере 0,5% в первые два года и 0,75% - в оставшиеся 3 года.

Используя формулу (7.8), найдем, что коэффициент наращения М в этом случае составит:

Для того чтобы сопоставить результаты наращения при простых и сложных процентах, достаточно сравнить соответствующие коэффициенты наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношение коэффициентов существенно зависит от срока инвестиции.

Действительно, при сроке инвестиции меньше года простые проценты дают наращение больше, чем сложные:

Для срока больше года сложные проценты дают наращение больше, чем простые:

Для срока, равного году, коэффициенты наращения равны друг другу при условии, что ставка начисления процентов одна и та же.

Заметим также, что с увеличением срока (при п > 1) различия в последствиях применения простых и сложных процентов усиливаются.

Графическая иллюстрация этого утверждения приведена на рис. 7.1. В табл. 7.2 в качестве примера приведены значения коэффициентов наращения для г - 8% годовых и временной базы в один год.

Рис. 7.1.

Коэффициент наращения	Срок ссуды
Коэффициент наращения

При начислении процентов за нецелое число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года:

где а + р = п ;

а - целое число периодов;

(3 - дробная часть периода.

Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения суммы в Л^раз. В этом случае коэффициент наращения, очевидно, равен N, и, следовательно, для простых процентов (1 + п х г) - N, откуда

для сложных процентов (1 + г)" - N, откуда

Пример 11. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в пять раз соответственно при начислении сложных и простых процентов по ставке 15% годовых.

Найдем теперь период инвестиции, необходимый для удвоения первоначальной суммы. В этом случае, положив в (7.9) и (7.10) N = 2, получим следующие формулы удвоения:

удвоение по простым процентам

удвоение по сложным процентам

Результаты применения формул удвоения для ряда значений процентных ставок приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Сроки удвоения для различных значений процентных ставок

Для небольших значений процентной ставки г частное от деления числа 72 на г показывает число периодов, за которое исходная сумма удвоится при наращивании ее по этой ставке с использованием формулы сложных процентов («правило 72»).

Сложные проценты

2.2.1. Формула сложых процентов

2.2.2. Эффективная ставка процентов

2.2.3. Переменная ставка процентов

2.2.4. Непрерывное начисление процентов

2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i )

– за один период начисления;

FV = (PV + I ) (1 + i ) = PV (1 + i ) (1 + i ) = PV (1 + i ) 2

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV (1 + i ) n = PV k н ,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

k н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + i ).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i ) n .

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i . 5>>>

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Расчеты с простыми процентными ставками проводятся достаточно легко и просто. Однако они имеют ограниченное применение.

Допустим, что банк выплачивает простые проценты в течение 3 лет по ставке i. При первоначальном вкладе, равном Р, вкладчик через год будет иметь на счете сумму S 1:

S 1 = P (1 + i),

через 2 года — сумму S2 :

S 2 = P (1 + 2 i),

через 3 года — сумму S3 :

S 3 = P (1 + 3 i).

Однако вкладчик может через год закрыть счет, получить сумму S1 , включающую проценты, и положить эту сумму на новый счет. В конце следующего года он может повторить эту операцию. В результате после первого года он получит сумму S1 , равную прежней сумме S1 :

S = S 1 = P (1 + i),

после второго года уже новую сумму S1 :

после третьего года сумму S3 :

Новые суммы будут больше прежних, поскольку в них содержатся проценты не только на первоначальный вклад, но и на уже начисленные ранее проценты. В математической форме это соответствует неравенствам:

Таким образом, вкладчику выгодно снимать деньги со счета и класть их на другой счет. Проводить такую операцию каждый квартал выгоднее, чем каждый год, а каждый месяц выгоднее, чем каждый квартал. Чем чаще вкладчик перекладывает деньги, тем больший доход он получит. Следовательно, значительная часть вкладчиков банка будет стремиться проводить такую операцию.

Для банка же это сопряжено с разного рода затруднениями в работе. Во-первых, для проведения таких операций банку необходимо держать дополнительный резерв денежных средств. Во-вторых, обилие таких операций затрудняет текущую банковскую работу. Наконец, в-третьих, вкладчик, закрыв счет, может положить полученные деньги в другой банк, условия которого в данный момент покажутся ему более выгодными.

В связи с этим банки сами берут на себя инициативу проведения такой операции. Проценты, возникающие по вкладу, присоединяются к вкладу, так что новые проценты начисляются на увеличенную сумму, включающую начисленные ранее проценты. Такая операция называется начислением сложных процентов.

Рост суммы в соответствии со сложными процентами можно представлять себе как рост по простым процентам, применяемым к увеличивающейся сумме, включающей в себя ранее накопленные проценты, т. е. как периодическое реинвестирование средств, вложенных под простые проценты, в каждом периоде начисления.

На практике при расчете сложных процентов обычно некоторый промежуток времени принимают за стандартный период начисления (год, квартал, месяц и т. д.) и дальше рассчитывают проценты, начисляемые за такие одинаковые стандартные периоды. Другими словами, время при таких вычислениях рассматривается как дискретная величина, измеряемая стандартными периодами. При этом говорят о дискретных процентах.

Если уменьшать длину такого стандартного промежутка, от квартала перейти к месяцу, неделе, дню и т. д., то в пределе мы от дискретных процентов перейдем к непрерывным процентам, начисляемым за бесконечно малый промежуток времени.

2.1.1. Рост суммы при сложной процентной ставке

Пусть первоначальная сумма равна Р и она растет в соответствии со сложной процентной ставкой, равной i за один период времени. Через n таких периодов выросшая сумма S будет определяться следующей формулой (формулой сложных процентов):

S = P (1+i) n

Величину (1+i) n называют обычно коэффициентом роста, или множителем наращения. Она показывает, в какую денежную сумму превратится каждый рубль первоначально вложенных средств через n периодов времени.

Если вычислять накопленную сумму денег вместе с процентами последовательно за каждый год

за первый год:

за второй год:

за п-ый год:

то получим, что полученные денежные суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой первый член - это величина Р, а знаменатель прогрессии (1+i)

Если при начислении по формуле сложных процентов воспользоваться операцией реинвестирования, т. е. снять со счета деньги вместе с процентами и положить их на счет снова, то вкладчик при этом ничего не выигрывает при той же процентной ставке.

Действительно, пусть вкладчик положил средства в размере Р на счет на условиях начисления сложных процентов. Через k периодов времени он снял деньги со счета и положил их вновь еще на m периодов. Тогда после первых k периодов он получит сумму Q:

Q = P(1+i) k .

Затем эта сумма Q еще через m периодов превращается в новую сумму S:

S = Q (1+i) m .

Выражая конечную сумму S через первоначальную P, получим:

S = Q (1+i) m = Р (1+i) k (1+i) m = P (1+i) k+m .

Таким образом, результат получается в точности такой же, как если бы вкладчик не проводил промежуточную операцию, а просто положил бы первоначальную сумму Р на суммарное число периодов времени, равное k + m.

2.1.2. Рост суммы при нецелом числе периодов времени

В практике финансовых организаций иногда предусматривается начисление процентов лишь за целое число периодов. Если это не предусмотреть, то при начислении процентов за нецелое число периодов используют разные способы.

Начисление за нецелое число периодов может быть проведено по той же формуле сложных процентов, что и за целое число. Например, если требуется рассчитать выросшую сумму за 5,2 периода, то расчет в этом случае ведется по формуле

S = Р (1+i) 5 (1+i) 0,2 = P (1+i) 5,2 .

Другими словами, за дробное число 0,2 периода проценты начисляются по той же схеме, что и за целое число периодов. Это позволяет написать общую формулу сложных процентов за любое время t:

S = Р (1+i) t ,

независимо от того, содержит ли оно целое или нецелое число периодов.

В ряде случаев начисление за нецелое число периодов ведется по другой, смешанной формуле. За целое число периодов проценты начисляются по формуле сложных процентов, а за дробный остаток — по формуле простых процентов. В этом случае начисления за 5,2 периода будут проведены по формуле

S = Р (1+i) 5 (1+i 0,2).

Следует иметь в виду, что начисленная сумма при этом окажется несколько больше, чем при расчете по первому способу.

Наконец, как было отмечено выше, иногда за дробную часть периода проценты вообще не начисляются. В этом случае начисления за 5,2 периода определяются формулой

S = Р (1+i) 5 .

2.1.3. Сложная переменная ставка и средние геометрические величины

Обычно в условиях договора указывается постоянная ставка процента. Однако в некоторых случаях может быть оговорена переменная ставка. Обычно это бывает связано с процессом инфляции, снижающим рост реальной величины денежной суммы, или с изменением курса валюты, с которой связаны условия договора.

В этих и подобных им случаях оговаривается изменение процентной ставки.

Рассмотрим ситуацию с переменной сложной процентной ставкой. Пусть на первом промежутке времени длиной t1 ставка равна i1 , на втором промежутке длиной t2 ставка равна i2 , на третьем промежутке длиной t3 ставка равна i3 и т. д.. Промежутки, как и раньше, могут иметь различную длину.

Рассмотрим n таких промежутков длиной t1 , t2 ... tn . Величина вклада по сложной переменной ставке к концу последнего промежутка составит:

Определим среднюю процентную ставку i для случая вклада по сложной переменной ставке.

Пусть, как и раньше, T — общий срок вклада по переменной ставке

а — доля промежутка t k в этом общем сроке:

Средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik , то результат расчета при этом не изменится. Таким образом:

Отсюда получаем формулу для (1 + i) — средней величины коэффициента роста за единицу времени:

Наконец, сама средняя сложная процентная ставка i равна:

Согласно формуле среднего коэффициента роста (1 + i), он является средневзвешенной геометрической коэффициентов роста по отдельным промежуткам времени. В качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада.

Коэффициенты роста для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом.

В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля каждого из них равна 1/n, и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю геометрическую:

2.1.4. Расчет темпов инфляции

Темп инфляции за тот или иной период времени характеризует процентный прирост уровня цен за данный период.

Предположим, что известны темпы инфляции за январь, февраль и март. Обозначим посредством h1 , h2 , h3 темпы инфляции за эти три месяца.

Неверно думать, что квартальный темп инфляции равен сумме трех месячных темпов, т. е. что

hкв1 = h1 + h2 + h3 .

Это, конечно, не так. Такая формула не учитывает, что инфляция февраля характеризует процентный прирост цен по отношению к ценам, уже выросшим в январе, а инфляция марта указывает процентный прирост цен по отношению к ценам февраля.

Таким образом, темп инфляции за несколько периодов должен содержать в себе учет процентов на проценты, как при расчетах со сложной процентной ставкой.

При неверном способе мы обращаемся с темпами инфляции, как с простыми процентными ставками. Правильный способ требует обращаться с ними, как со сложными ставками. Рассмотрим правильный способ.

Индекс роста цен выражается следующей формулой:

где q - количество товаров учитываемых при исчислении индекса роста цен;

p -цены товаров, учитываемых при исчислении индекса роста цен в базисном периоде;

р -цены тех же товаров в отчетном периоде.

Индекс роста цен за n последовательный периодов

Темп инфляции h выражается формулой:

Таким образом, индексы роста I1 , I2 , I3 определяются формулами:

I1 , = 1 + h1 , I2 , = 1 + h2 , I3 , = 1 + h3 .

Каждый из индексов показывает, во сколько раз изменился уровень цен за данный месяц. Произведение этих индексов дает квартальный индекс Iкв1 . Квартальный индекс Iкв1 показывает, во сколько раз изменился уровень цен за первый квартал:

Iкв1 = I1 * I2 * I3 .

Для получения квартального темпа инфляции следует вычесть единицу из квартального индекса:

hкв1 = Iкв1 — 1.

Таким образом, в итоге получаем

hкв1 = Iкв1 — 1 = I1 * I2 * I3 — 1 = (1 + h1 )*(1 + h2 )*(1 + h3 ) — 1.

В разные месяцы темпы инфляции могут быть различными. Как рассчитать среднемесячный темп инфляции hсрмес в течение квартала? Для этого следует сначала рассчитать среднемесячный индекс Iсрмес по формуле

I срмес = (I 1 × I 2 ×I 3) 1/3 = (I кв1) 1/3 .

Затем среднемесячный темп инфляции hсрмес получается вычитанием 1 из среднемесячного индекса:

hсрмес = Iсрмес — 1.

Таким образом, итоговая формула расчета имеет вид:

h срмес = I срмес — 1= (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 — 1= ((1+h 1) × (1+h 2) × (1+h 3)) 1/3 — 1.

Она полностью аналогична формуле средней сложной процентной ставки.

2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента

Начисление сложных процентов часто осуществляется не один, а несколько раз в году, каждый квартал, каждый месяц и т. д. В таком случае обычно в договоре указывается номинальная ставка процента i, по которой определяется величина ставки в каждом периоде начисления ( при квартальном начислении, при месячном и т. д.).

2.2.1. Уравновешенные ставки процента

Формулы, связывающие друг с другом процентные ставки за разные периоды времени, можно получить, используя принцип финансовой эквивалентности результатов.

Финансовый результат за год, получаемый при годовой ставке , должен быть равен финансовому результату за 4 последовательных квартала, рассчитанному по формуле сложных процентов для эквивалентной квартальной ставки . Отсюда получаем равенство:

Таким образом:

При выводе формул говорилось об эквивалентности финансовых результатов за год. Важно отметить, что эквивалентность результатов при этом обеспечивается не только за годовой, но и за любой промежуток времени.

Пусть промежуток времени, исчисляемый в годах, равен n (число n не обязательно целое). Тогда этот промежуток содержит 4 . n кварталов. Наращения по годовой и эквивалентной ей квартальной ставке процента за этот промежуток времени равны друг другу,

Мы установили связь между годовой и квартальной ставками. Такое же рассуждение позволяет сформировать связь между годовыми, квартальными и месячными ставками:

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления по процентной ставке i делится на m одинаковых промежутков времени. Тогда процентная ставка i, связанная с этими промежутками, определяется через ставку i в соответствии с соотношением

(1 + i ) m = (1 + i).

i = (1 + i ) m — 1,

i = (1 + i) 1/m — 1.

Этим путем может быть установлена связь между процентными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t выражены в одинаковых единицах (годах, месяцах, днях и т. п.). Пусть за период времени t установлена процентная ставка i, а за период t — процентная ставка i. Эти ставки эквивалентны, если они за одинаковые промежутки времени приводят к одинаковым результатам, т. е. если соответствующие им коэффициенты наращения за одинаковые промежутки времени равны.

В качестве единого промежутка возьмем промежуток величины txt. В нем содержатся периоды t в количестве t и периоды t в количестве t. Условие эквивалентности запишется в виде равенства:

(1 + i) t = (1 + i ) t .

Отсюда получаем формулы, выражающие одну ставку через другую:

Обычно в контрактах оговаривается годовая процентная ставка. Она в этом случае называется номинальной процентной ставкой. Эквивалентные ей процентные ставки за другие периоды времени, рассчитанные в соответствии с указанными выше формулами, называются уравновешенными (или уравновешивающими).

Таким образом, говорят о номинальной годовой ставке и уравновешенных (уравновешивающих) полугодовой, квартальной, месячной, дневной ставках.

2.2.2. Относительные ставки процента

В предыдущем параграфе мы получили формулы, которые позволяют ставку процента, привязанную к одному периоду начисления, пересчитать в другую, эквивалентную ставку процента, привязанную к другому периоду начисления. В частности, эти формулы позволяют номинальную годовую ставку перевести в другие уравновешенные ставки.

Полученные формулы являются точными, но в силу своей сложности не всегда удобными для практического применения. В практике финансовых операций эти формулы часто заменяются другими, более простыми формулами. Вместо уравновешенной ставки эти упрощенные формулы определяют так называемую относительную (релятивную) ставку.

Следует отметить, что расчет по относительным ставкам, будучи достаточно простым, приводит к неточным результатам.

Пусть годовая ставка процента равна iгод . Тогда квартальная относительная ставка iкв рассчитывается по формуле

Месячная относительная ставка iмес определяется формулой

Вообще, относительная ставка за период времени t, измеряемый в годах, определится величиной:

i = i год t.

Для квартала t = 1/4, для месяца t = 1/12, так что из последней общей формулы автоматически получаются ее частные случаи для квартальной и месячной ставки.

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Предположим, что период начисления делится на m одинаковых промежутков. Тогда относительная процентная ставка i, связанная с такими промежутками, рассчитывается по формуле

Обратное соотношение

i = m i 

позволяет выразить исходную ставку i через относительную i. Установим связь между относительными ставками процента за любые два периода времени. Пусть периоды времени t и t измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена процентная ставка i, а за период t ставка i. Эти ставки считаются относительными друг для друга, если они связаны соотношением:

т. е., если они равны в расчете на единицу времени. В равносильной форме это равенство имеет вид

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну ставку через другую:

Номинальная годовая ставка превращается в относительную ставку для полугодия, квартала, месяца путем деления величины годовой ставки на соответствующее число. Такой переход соответствует преобразованиям по формуле простых процентов. Однако дальнейшие преобразования, связанные и с использованием относительной ставки, проводятся по формулам сложных процентов.

Так, рост вклада за m месяцев по номинальной годовой ставке сложных процентов рассчитывают с помощью относительной ставки следующим образом. По годовой ставке iгод рассчитывают месячную ставку iмес :

i мес = i год /12,

и затем по формуле сложных процентов определяют коэффициент наращения за m месяцев. Он имеет величину:

Такой расчет приводит к искажениям.

Например, при m = 6 коэффициент наращения с помощью относительной ставки можно вычислить несколькими различными способами. Они приведут к различным результатам.

Конкретную формулу расчета можно не оговаривать в тех случаях, когда каждая из сторон готова примириться с возникающими при этом искажениями.

Точный расчет, не вносящий искажений, основан на уравновешенных ставках. Если здесь и возникают расхождения, то это связано не с существом дела, а исключительно с точностью вычислений. Точность повышается, если в расчеты вовлекать большее число десятичных разрядов или если проводить расчеты в обыкновенных дробях.

Расчеты же с относительными ставками всегда вносят те или иные искажения, не устранимые путем простого повышения точности вычислений.

2.2.3. Эффективная процентная ставка

На практике чаще пользуются относительными ставками. Их применение связано с большим удобством (в ущерб точности) и со сложившейся традицией.

Однако при проведении точного анализа и в теоретических исследованиях используют уравновешенную ставку. Ее называют также эффективной процентной ставкой .

Эффективная процентная ставка показывает тот реальный относительный доход, который возникает за год в связи с начислением процентов. Иными словами, эффективная ставка — эта годовая сложная процентная ставка, обеспечивающая ту же величину дохода, что и реально применяемый способ начисления процентов.

Если проценты начисляются раз в году, то эффективная ставка соответствует сложной номинальной процентной ставке. Если же проценты начисляются чаще, то эффективная и номинальная ставка численно могут оказаться различными. Соответствие между ними зависит от способа расчета процентов за отдельные промежутки времени.

Если реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на уравновешенных ставках, то эффективная ставка совпадает с номинальной ставкой процентов. Если же реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на относительных ставках (или еще на каких-то расчетных схемах), то эффективная и номинальная ставка окажутся различными.

2.3. Рост по простым и сложным процентным ставкам

2.3.1. Характеристики роста по простым и сложным процентам

Рассмотрим рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки.

Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени (например, за год). Тогда рост суммы за время t от начальной величины Р определяется следующими формулами:

Для простых процентов:

S = Р (1 + i t);

Для сложных процентов:

S = Р (1 + i) t .

Начисления для нецелого числа периодов проводятся здесь по той же формуле, что и для целого числа. Для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных процентов она зависит от t по закону показательной функции. На рис. 2.1 представлены графики таких зависимостей.

Рис. 2.1. Рост суммы по формулам простых и сложных процентов

Обе линии на рисунке начинаются в одной точке. При t = 0:

Если длина промежутка времени t меньше длины периода, то простые проценты дают больший рост суммы, чем сложные.

Если 0 < t < 1, то

График линейной функции, определяющей рост по формуле простых процентов, лежит при этом выше графика показательной функции, определяющей рост по формуле сложных процентов. Поэтому, если банк объявляет годовую процентную ставку по вкладам, а срок вклада меньше года, то вкладчику выгоднее, чтобы банк вел с ним расчеты по простой процентной ставке. Заемщику, взявшему в банке ссуду на срок меньше года, напротив, выгоднее рассчитываться по сложным процентам.

Если промежуток времени t равен одному периоду, то расчет по простым и сложным процентам дает один и тот же результат:

Оба графика при t = 1 проходят через одну точку. Если срок равен длине периода начисления процентов (например, году), то вкладчику или заемщику безразлично, ведутся ли с ним расчеты по простым или сложным процентам.

Если же длина промежутка t больше одного периода, то сложные проценты дают большой рост суммы, чем простые. Если t > 1, то

График показательной функции лежит выше прямой, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения. Если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгода возрастает. Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами.

2.3.2. Формулы срока удвоения

Для оценки скорости роста денежной суммы часто используют так называемые формулы срока удвоения. Такие формулы позволяют рассчитать срок, за который удваивается вложенная сумма денег.

Такой срок рассчитывается путем решения уравнения, определяющего удвоение коэффициента нарастания.

Для простых процентов уравнение имеет вид

1 + i t = 2.

Для сложных процентов уравнение имеет вид

Решением этого уравнения является:

2.3.3. Связь между простыми и сложными ставками

Процентные ставки являются финансово эквивалентными, если замена в контракте одной ставки на другую не приводит к изменению финансовых результатов контракта, к изменению отношений участвующих в сделке сторон.

Если рост по простой процентной ставке за определенное время приводит к тому же результату, что и рост по сложной процентной ставке за то же время, то эти ставки финансово эквивалентны. Пусть in и ic — простая и сложная процентные ставки с одним и тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Приравняем множители роста по этим ставкам за время t:

Отсюда можно получить формулы, позволяющие по сложной ставке рассчитать эквивалентную ей простую и по простой ставке определить эквивалентную ей сложную.

Отметим, что в формулах расчета эквивалентных ставок участвует величина промежутка времени t. При изменении длины промежутка изменяется и величина эквивалентной ставки.

Из полученных формул непосредственно следует, что при t = 1, т. е. когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, эквивалентные ставки равны друг другу:

если t = 1, то in = ic .

Как показывают наши предыдущие рассуждения, для эквивалентных процентных ставок in и ic выполняются условия:

если t < 1, то in < ic ,

если t > 1, то in > ic .

2.3.4. Непрерывный рост суммы и сила роста

В банковской практике часто используется смешанная форма перевода процентных ставок, при которой сложная годовая ставка переводится, например, в квартальную не как сложная, а как простая. Дальнейшее же начисление процентов идет по формуле сложной ставки.

Например, банк объявляет условия вклада как «48 % годовых с ежеквартальным начислением процентов». Это означает, что проценты ежеквартально приплюсовываются к уже накопленной величине вклада и на них в дальнейшем начисляются проценты. Речь, таким образом, идет о сложной ставке. Однако сами квартальные проценты рассчитываются по формуле простой ставки, т. е. по формуле

i кв = i год / 4 = 12 (%).

В обратном переводе в сложную годовую ставку это дает

т. е. 57,35 % годовых вместо 48 %. Результат всегда оказывается завышенным, так что самому банку такая форма перевода невыгодна. Она выгодна клиентам банка и используется практически.

Посмотрим, к чему это приведет, если постепенно уменьшать период начисления процентов. Предположим, что такая форма перевода процентов применяется не к квартальному, а к месячному периоду.

Ежемесячное начисление по ставке

определяет годовой коэффициент роста

1,04 12 = 1,6010,

что соответствует ставке 60,10 % годовых.

Предположим, что период начисления уменьшается дальше, т. е. что год дробится на m одинаковых промежутков времени, и величина m растет. Тогда общая формула нового коэффициента годового роста выглядит следующим образом:

(1 + i/m) m .

В пределе, при , получаем величину е i . При этом рост вклада за время t (измеряемое в годах) определяется формулой

S = P e it .

Число e, участвующее в формуле, — это основание натуральных логарифмов. Оно играет важную роль в математическом анализе самых разнообразных процессов. Число е — иррациональное, его значение есть

е = 2,7182818...

Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются символом ln. В табличном процессоре Excel соответствующая функция имеет обозначение LN.

Мы пришли к понятию непрерывных процентов через смешанную форму начисления, через соединение расчетов по простой и сложной ставке. Однако смешанная форма здесь не важна. Существенно лишь участие сложной ставки.

От понятия сложной ставки к понятию непрерывных процентов можно прейти и другим путем. Для этого достаточно формулу сложных процентов, определяющую рост первоначальной суммы Р:

S = P (1 + i) t ,

записать в другом, равносильном виде.

Формула сложных процентов определяет рост суммы по закону показательной функции. Основанием этой функции является величина (1 + i). При разных значениях процентной ставки i основания оказываются различными. Формулу сложных процентов для непрерывного времени преобразуют таким образом, чтобы при разных ставках основание оказывалось одинаковым, а изменялся бы показатель степени.

Обозначим буквой натуральный логарифм от величины (1 + i):

и, следовательно,

Таким образом, формулу сложных процентов можно заменить равносильной формулой:

Эту формулу используют обычно при анализе непрерывного роста суммы денег.

В этой формуле величина α характеризует скорость роста суммы. Величину α называют силой роста , или силой процента . Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. Сила процента представляет собой особый вид процентной ставки, предназначенный для изучения процесса роста денежной суммы в непрерывном времени.

Сила роста тесно связана со ставкой процента. Чем больше ставка процента i, тем больше сила роста α , и наоборот, чем больше сила роста α , тем больше ставка процента. Однако связь между ними не является прямо пропорциональной, линейной связью. Она имеет логарифмический характер.

Для малых значений процентная ставка практически совпадает с силой роста, однако с увеличением ставки расхождения между их численными значениями нарастают. При этом ставка процента по своему численному значению всегда больше силы роста.

Следует подчеркнуть, что эти различия не приводят к различию в росте денежной суммы. Напротив, соответствующие друг другу, но численно различающиеся величины ставки процента и силы роста обеспечивают одинаковое наращение денежной суммы за одинаковые промежутки времени.

2.4. Дисконтирование по сложной ставке

2.4.1. Дисконтирование по сложной ставке процента

Дисконтирование — это операция, позволяющая будущую сумму денег привести к настоящему моменту времени. Эта операция позволяет определить современную величину будущей суммы. Выше мы рассматривали дисконтирование по простой процентной ставке. Такое дисконтирование подразумевает рост денежной суммы по формуле простых процентов. Теперь мы рассмотрим дисконтирование по сложной процентной ставке, соответствующей росту суммы денег по формуле сложных процентов.

Исходная денежная сумма Р по формуле сложных процентов со ставкой i за время t превращается в сумму S:

Отсюда следует, что

Эта формула позволяет осуществить дисконтирование, т. е. по конечной величине S определить начальную величину Р. Множитель

называется дисконтным множителем за время t. Он является величиной, обратной множителю нарастания. Величину Р называют современной, или приведенной, величиной S. Ее называют также величиной, полученной дисконтированием S. Разность S — P называют дисконтом и обозначают обычно буквой D:

D = S — P.

Операция дисконтирования обратная операции роста суммы. Поэтому свойства дисконтирования тесно связаны со свойствами наращения. Выше было проведено сравнение роста по простым и сложным процентам. Для дисконтирования имеют место обратные соотношения.

Если длина промежутка времени меньше периода начисления (например, года), то рост по простым процентам дает большую сумму, чем рост по сложным процентам. Дисконтирование по простым процентам дает меньшую величину, чем дисконтирование по сложным процентам.

Если же длина промежутка времени больше периода начисления, то больший рост суммы дает сложная процентная ставка. Однако сложная ставка дает меньшую величину при дисконтировании.

Дисконтирование можно проводить не только для дискретного, но и для непрерывного измерения времени. Из формулы для непрерывного времени с использованием силы роста, имеющей вид

получаем формулу дисконтирования:

применяемую в дисконтных расчетах с непрерывным временем.

2.4.2. Сложная учетная ставка

В учетных операциях используют как простую, так и сложную учетную ставку. Процедуры расчетов с простой учетной ставкой были изучены выше. Теперь мы рассмотрим соответствующие процедуры для сложной учетной ставки.

Простая учетная ставка при дисконтировании применяется к одной и той же первоначальной сумме, снижение этой суммы по периодам времени происходит равномерно.

Сложная учетная ставка на каждом шаге дисконтирования применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге. Процесс дисконтирования идет при этом с замедлением.

Если конечная сумма есть S и учетная ставка равна d, то дисконтирование по сложной учетной ставке за t периодов времени дает первоначальную сумму P, определяемую формулой

2.5. Годовые, квартальные, месячные учетные ставки

Выше мы рассмотрели переход от годовой сложной процентной ставки к квартальной, месячной и другим сложным процентным ставкам. В более общем виде это соответствует переходу от ставки с одним периодом начисления к ставке с другим периодом начисления. Были изучены два способа перехода: переход к уравновешенной ставке и переход к относительной ставке. Преимущество первого способа в его точности, преимущество второго способа в его простоте.

Переход от годовой учетной ставки к квартальной, месячной и другим ставкам осуществляется теми же двумя способами. Один из них дает уравновешенную учетную ставку, а другой позволяет получить относительную учетную ставку. Рассмотрим их по порядку.

2.5.1. Уравновешенные учетные ставки

Уравновешенные учетные ставки определяются в соответствии с принципом финансовой эквивалентности результатов.

Финансовый результат, получаемый за год при годовой учетной ставке dгод , должен быть равен результату, получаемому за 4 квартала по сложной учетной ставке dкв . Другими словами, должно выполняться равенство

Полученные связи между ставками обеспечивают равенство финансовых результатов не только за годовой, но и за любой промежуток времени.

Промежуток, состоящий из t лет, содержит 4 . t кварталов. Дисконтирование за этот промежуток времени по сложной годовой и по сложной квартальной ставке приводит к одинаковым результатам, т. к.

Мы установили связь между годовой и квартальной учетной ставкой. Аналогично формируем связь между годовой dгод и месячной dмес , дневной dднев и другими сложными учетными ставками:

Аналогично выражаются связи между квартальной и месячной сложной учетной ставкой:

Следовательно,

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда учетная ставка d, связанная с этими промежутками, определяется через ставку d с помощью соотношения:

В общем случае таким способом может быть получена связь между любыми двумя сложными учетными ставками, начисляемыми за два различных периода времени.

Пусть периоды времени t и t измеряются в одинаковых временных единицах (годах, месяцах и т. п.). Пусть периоду t соответствует сложная учетная ставка d, а периоду t — сложная учетная ставка d. Эти ставки эквивалентны, если они дают одинаковые финансовые результаты за равные промежутки времени, т. е. если одинаковы соответствующие дисконтные множители.

В качестве единого промежутка времени выберем промежуток длины txt. В нем содержатся периоды t в количестве t единиц и периоды t в количестве t единиц. Условие эквивалентности выражается в виде равенства дисконтных множителей за соответствующие промежутки времени, т. е. в виде равенства

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

Обычно устанавливается годовая учетная ставка, называемая номинальной учетной ставкой. По ней рассчитываются учетные ставки за другие периоды времени. Если эти ставки устанавливаются указанным здесь способом, то они называются уравновешенными (иногда их называют уравновешивающими) сложными учетными ставками.

Уравновешенные сложные учетные ставки обеспечивают финансовую эквивалентность результатов на любых промежутках времени. В этом смысле и сами такие ставки являются эквивалентными.

2.5.2. Относительные учетные ставки

Уравновешенные учетные ставки вводятся аналогично уравновешенным процентным ставкам. Относительные учетные ставки аналогичны относительным процентным ставкам.

Если годовая учетная ставка равна dгод , то относительные квартальная учетная ставка dкв , месячная учетная ставка dмес , дневная учетная ставка dднев определяются формулами:

В общем случае, пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда относительная учетная ставка d для этих промежутков связана со ставкой d соотношениями:

Можно установить связь между относительными учетными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена учетная ставка d, а за период t — учетная ставка d. Эти ставки являются относительными друг для друга, если для них выполняется соотношение

т. е. если их доли, приходящиеся на единицу времени, равны друг другу. Это равенство равносильно следующему:

Отсюда легко можно получить формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

Эти формулы позволяют не только выражать относительные учетные ставки через номинальную годовую учетную ставку, но и выражать относительные учетные ставки непосредственно друг через друга.

Расчет относительных учетных ставок соответствует преобразованиям по формулам простых ставок. Однако использование относительных учетных ставок соответствует формулам сложных ставок.

Дисконтный множитель, например, за 6 месяцев, рассчитанный по месячной учетной ставке, имеет вид

Тот же множитель, рассчитанный по квартальной ставке, имеет вид

Этот множитель можно определить и непосредственно через полугодовую учетную ставку d полугод:

1 — d полугод = 1 — d год /2.

Указанные здесь способы расчета одной и той же величины приводят к численно различающимся результатам.

Таким образом, с уравновешенными и относительными учетными ставками дело обстоит так же, как и с соответствующими видами ставки процента. А именно: уравновешивающие учетные ставки дают точный результат, но связаны с довольно громоздкими вычислениями. Относительные учетные ставки проще для расчетов, но дают приближенный результат.

Следует иметь в виду, что при переходе к промежуткам времени меньшей длины (например, от года к месяцу) относительная учетная ставка имеет меньшую величину, чем уравновешенная учетная ставка. Дисконтный множитель по относительной учетной ставке, следовательно, больше, чем дисконтный множитель по уравновешенной учетной ставке.

Таким образом, если установлена номинальная годовая учетная ставка и до окончания срока векселя осталось меньше года, то владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по относительной учетной ставке.

При переходе к промежуткам времени большей длины (например, от месяца к году) дело обстоит противоположным образом. Здесь относительная учетная ставка будет больше, чем уравновешенная. Дисконтный множитель, рассчитанный по относительной ставке, будет, соответственно, меньше дисконтного множителя, рассчитанного по уравновешенной ставке. В этом случае владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по уравновешенной ставке.

2.6. Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам

2.6.1. Характеристики дисконтирования по простым и сложным учетным ставкам

Дисконтирование суммы при учете по простой учетной ставке определяется формулой

P = S (1 — d t).

Дисконтирование при учете по сложной учетной ставке — формулой

На рис. 2.2 представлены графики зависимости суммы Р, полученной при учете, от срока учета t.

Рис. 2.2. Убывание суммы по простой и сложной учетной ставке

Убывание суммы по простой учетной ставке происходит по закону линейной функции, равномерно. Графиком зависимости суммы от времени (от срока дисконтирования) является прямая.

Убывание суммы по сложной учетной ставке происходит неравномерно, с замедлением. Графиком зависимости суммы от времени является график показательной функции с основанием меньее 1.

Оба графика начинаются в одной точке при t = 0 и пересекаются при t = 1. Если срок дисконтирования равен 0, то, естественно, безразлично, проводить ли дисконтирование по сложной или простой ставке. Точно так же это безразлично и при сроке дисконтирования, равном одному периоду (1 году при годовой ставке). Действительно, при t = 1 по простой и по сложной ставке получаем одинаковые результаты:

P = S (1 — d t) = S (1 — d).

P = S (1 — d) t = S (1 — d).

Во всех остальных случаях дисконтирование по простой и сложной ставке дает различные результаты. При этом, если срок дисконтирования меньше одного периода, то более высокая сумма (и соответственно более низкая величина дисконта) получается по простой ставке. Держателю долгового обязательства при оставшемся сроке, меньшем одного периода (одного года при годовой ставке), выгоднее учитывать обязательство по простой учетной ставке. Если же оставшийся срок больше одного периода, то выгоднее учитывать обязательство по сложной учетной ставке, причем эта выгодность возрастает с ростом срока.

График линейной функции, соответствующий простой ставке, при некотором значении t пересечет ось абсцисс. Это означает, что при данном сроке сумма, получаемая в результате учета обязательства, равна 0, а дисконт равен всей сумме обязательства. Учитывать обязательства при этих условиях не имеет смысла. Тем более не имеет смысла учет при дальнейших значениях t, когда график опускается ниже оси абсцисс.

Реально простую учетную ставку применяют при не слишком больших сроках учета. В отличие от этого сложную учетную ставку можно применять при любых сроках. График показательной функции, соответствующий сложной ставке, никогда не пересечет горизонтальную ось, хотя и будет с ростом времени неограниченно к ней приближаться. Сумма, выдаваемая при учете обязательства на таких условиях, будет неограниченно уменьшаться с ростом срока, но никогда не станет равной 0. Соответственно величина дисконта будет неограниченно приближаться к сумме самого обязательства, но никогда не совпадет с ним.

2.6.2. Связь между простыми и сложными учетными ставками

Эквивалентность учетных ставок связана с эквивалентностью финансовых результатов по этим ставкам за определенный промежуток времени.

Пусть dn и dc — простая и сложная учетные ставки с одним тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Эквивалентность ставок за промежуток времени t означает равенство дисконтных множителей, связанных с этим промежутком:

Отсюда получаем формулы расчета простой ставки по эквивалентной ей сложной и расчета сложной ставки по эквивалентной ей простой:

Для учетных ставок, так же как и для процентных, эквивалентность определяется для конкретного промежутка времени.

Ставки, эквивалентные для одного промежутка времени, при изменении длины промежутка времени перестают быть эквивалентными.

Эквивалентные ставки равны друг другу, когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, т. е.:

если t = 1, то dn = dc .

Это непосредственно следует из полученных формул. Проведенные ранее рассуждения показывают, что эквивалентные учетные ставки удовлетворяют следующим условиям:

если t < 1, то dn > dc ,

если t > 1, то dn < dc .

2.6.3. Основные соотношения между сложными процентными и учетными ставками

Дисконтирование денежной суммы может проводиться по процентной или по учетной ставке.

При дисконтировании по сложной процентной ставке начальная величина денежной суммы Р определяется по ее конечной величине S, выросшей за время t по процентной ставке i, по формуле

При дисконтировании по сложной учетной ставке d начальная величина денежной суммы определяется по формуле

Процентная и учетная ставка эквивалентны, если они дают один и тот же финансовый результат, т. е. если они по одинаковым конечным суммам S за одно и то же время t дают одинаковые начальные суммы P.

Таким образом, для эквивалентных ставок должно выполняться равенство

Извлекая из обеих частей корень степени t, получаем

Это можно записать следующим образом:

(1 + i) (1 — d) = 1.

Отсюда легко можно выразить процентную ставку через учетную и учетную ставку через процентную:

Важно отметить, что в эти формулы не входит длина промежутка времени t . Следовательно, эквивалентные сложные ставки являются эквивалентными не только для какого-то определенного промежутка времени, а для любого промежутка времени. Напомним, что для простых ставок это не так.

2.6.4. Непрерывное дисконтирование и сила дисконта

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке за время t

может применяться не только в дискретном, но и в непрерывном времени. Как и в случае сложного процента, при переходе к непрерывному времени формулу преобразуют так, чтобы при изменении учетной ставки d изменялось не основание показательной функции, а ее показатель. С этой целью вводят величину :

Подлогарифмическое выражение меньше 1, т. е.

ln (1- d) < 0,

и, следовательно, величина b положительна. Из определения получаем

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке принимает вид

По аналогии с силой процента величину называют иногда силой дисконта . Полученная формула дисконтирования с участием силы дисконта позволяет вести расчеты в удобной форме для непрерывного времени. Сила дисконта характеризует относительную скорость убывания дисконтируемой суммы.

С ростом учетной ставки растет и соответствующая ей сила дисконта. Связь между этими величинами является не прямой, не прямо пропорциональной, а логарифмической.

С ростом учетной ставки расхождения между численными значениями учетной ставки и силы дисконта постепенно нарастают. Сила дисконта по своей величине выше учетной ставки. Следует, однако, иметь в виду, что соответствующие друг другу величины учетной ставки и силы дисконта задают один и тот же процесс дисконтирования, один и тот же размер уменьшения долговой суммы при учете долгового обязательства

2.7. Параметры расчетов с процентными и учетными ставками

Полученные нами формулы позволяют, исходя из условий договора, рассчитать конечную сумму денег по ее начальной сумме или, наоборот, вычислить начальную сумму по известной конечной сумме. Большую роль в финансовых расчетах играет и другая задача: по известной начальной и конечной сумме определить условия договора. Важнейшими численными характеристиками договора являются продолжительность срока и величина ставки.

2.7.1. Расчет продолжительности срока по процентным ставкам

В соответствии с формулой сложных процентов имеем

Проведя элементарные преобразования и логарифмируя, получаем отсюда:

Эта формула позволяет по заданной начальной и конечной сумме и при известной ставке сложного процента определить продолжительность того срока t, за который начальная сумма Р вырастет до конечной суммы S по ставке сложного процента i. Логарифмы, участвующие в формуле, могут иметь любое основание (но оба логарифма должны иметь одинаковое основание). В частности, можно пользоваться натуральными или десятичными логарифмами.

Предположим теперь, что период начисления раздроблен на m одинаковых промежутков времени и расчеты ведутся по ставке, пересчитанной для этих промежутков. Например, от расчетов по номинальной годовой ставке перешли к расчетам по месячной. Как мы знаем, при этом используют месячную уравновешенную и месячную относительную ставку.

Величина уравновешенной ставки i для промежутка времени, составляющего 1/m от периода начисления по ставке i, определяется по формуле

Рост денежной суммы за время t по ставке i будет идти в соответствии с формулой

При расчетах на основе силы роста используют формулу

Взяв натуральный логарифм (по основанию e ) от обеих частей формулы после несложных преобразований получим:

Силу роста (ставку непрерывных процентов) α и исходную ставку процента i связывает соотношение

Таким образом, продолжительность срока, рассчитанная по ставке непрерывных процентов, совпадает с продолжительностью, рассчитанной по исходной процентной ставке:

2.7.2. Расчет продолжительности срока по учетным ставкам

В соответствии с формулой дисконтирования по сложной учетной ставке имеем:

После простых преобразований этой формулы получаем:

Эта формула позволяет рассчитать срок дисконтирования по конечной сумме S, сумме учета Р и учетной ставке d. Как и в случае со сложными процентами, логарифмы в расчетах можно брать по любому основанию (по одинаковому в числителе и знаменателе дроби).

Рассмотрим ситуацию, когда период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков равной длины (например, год разбит на месяцы). В таком случае наряду с исходной учетной ставкой d используют уравновешенные и относительные учетные ставки d, для которых периодами начисления являются эти малые одинаковые промежутки.

Величина уравновешенной учетной ставки d для промежутка, составляющего часть от периода начисления по ставке d, определяется по формуле

Дисконтирование денежной суммы за время t по учетной ставке d рассчитывается по формуле

Отсюда получаем:

Учетные ставки d и d связаны соотношением

Мы получили, что расчет срока дисконтирования t по исходной учетной ставке d и по уравновешенной учетной ставке d дает один и тот же результат.

Для относительной ставки дело обстоит не так. Относительная ставка рассчитывается по формуле

Дисконтирование денежной суммы за время t в соответствии с относительной учетной ставкой d определяется по формуле

Отсюда получаем:

При увеличении числа промежутков m скорость дисконтирования по относительной учетной ставке уменьшается, а срок дисконтирования растет. С увеличением m этот срок все сильнее расходится со сроком, рассчитанным по исходной и уравновешенной ставке.

В расчетах на основе силы дисконта используют формулу

Из этой формулы получаем:

Поскольку силу дисконта и учетную ставку d связывает соотношение

то продолжительность срока, рассчитанная на основе силы дисконта, и продолжительность, рассчитанная по учетной ставке, совпадают. Действительно,

2.7.3. Расчет величины процентной ставки

Из формулы сложных процентов

следует, что

Последняя формула позволяет по объему начальной суммы Р, конечной суммы S и времени нарастания t определить необходимую величину процентной ставки i.

Предположим, что период начисления разбит на m одинаковых промежутков. Таким промежуткам соответствует своя величина процентной ставки i.

Величину ставки i можно рассчитать двумя разными способами. Первый способ — найти i исходя из уже полученной ставки i. Результат здесь будет зависеть от того, является ли эта ставка i уравновешенной или относительной. Для уравновешенной ставки расчет следует проводить по формуле

Отсюда, воспользовавшись уже полученной формулой для i, можно вывести следующую формулу:

Для относительной ставки расчет следует вести по формуле

Второй способ — найти величину ставки i непосредственно, не прибегая к ставке i, а уже затем по ней определить ставку i.

Формула сложных процентов, выраженная через ставку i, имеет вид:

Если ставка i рассматривается как уравновешенная ставка, то из последней формулы можно получить:

Таким образом, для расчета ставки i получаем прежнюю формулу. Для уравновешенной ставки результаты расчетов по первому и по второму способу совпадают.

Если же ставка i рассматривается как относительная ставка, то из формулы ее расчета получаем:

Эта формула расходится с первоначальной формулой для ставки i, дает иной результат.

Таким образом, для относительной ставки важен способ ее вычисления.

Рассмотрим теперь непрерывное начисление процентов на основе силы роста. В этом случае формула нарастания имеет вид

Отсюда получаем расчетную формулу для определения силы роста (непрерывной ставки процента) :

2.7.4. Расчет величины учетной ставки

По формуле дисконтирования,

Отсюда следует, что

Эта формула позволяет вычислить величину учетной ставки d по конечной сумме S, сумме на момент учета Р и срока дисконтирования t.

Пусть период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков. Определим величину ставки d, соответствующей таким промежуткам. Как и для процентной ставки, здесь возникают два способа расчета. Первый способ — определить величину учетной ставки d на основе уже полученной ставки d.

Уравновешенную учетную ставку d в этом случае следует рассчитывать по формуле

Это равенство можно продолжить:

что позволяет вычислить величину ставки d непосредственно через исходные данные.

Для относительной учетной ставки расчет ведется по формуле

Второй способ основан на том, чтобы найти величину ставки d, не прибегая к ставке d. Ставку d затем можно рассчитать на основе ставки d.

Формула дисконтирования по учетной ставке d имеет вид

Таким образом, мы еще раз получили ту же формулу, что была выведена для уравновешенной ставки. Следовательно, для уравновешенной ставки оба способа расчета дают одинаковые результаты, как для d, так и для d.

Для относительной ставки дело обстоит по-иному. Определим ставку d и d:

Эта формула и формула непосредственного расчета ставки d, приведенная в начале этого параграфа, отличаются друг от друга и приводят к разным результатам.

Таким образом, для относительной учетной ставки, как и для относительной процентной, важен способ ее исчисления.

Перейдем к рассмотрению непрерывного дисконтирования. Формула, использующая силу дисконта, имеет вид

Отсюда силу дисконта (непрерывную ставку учета) можно рассчитать по формуле

Поскольку Р < S , то подлогарифмическое выражение меньше 1, сам логарифм отрицателен, а с учетом знака «минус» числитель дроби положителен. Таким образом, величина непрерывной учетной ставки положительна.

Выводы

Рост по простой процентной ставке определяется линейной функцией, или арифметической прогрессией. Рост по сложной процентной ставке определяется показательной (экспоненциальной) функцией, или геометрической прогрессией.

Таким образом, сложная процентная ставка на длительных промежутках времени выгоднее для вкладчика, чем простая, причем с ростом срока вклада выгодность возрастает.

Напомним основные формулы роста и дисконтирования по сложным ставкам.

Рост по сложной процентной ставке определяется формулой

Дисконтирование по сложной процентной ставке определяется формулой

Дисконтирование по сложной учетной ставке определяется формулой

Формула роста на основе силы роста :

Формула дисконтирования на основе силы дисконта :

Вопросы для самопроверки

Библиография

Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М., 1998.
Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.
Чернов В. П. Математика для топ-менеджеров. СПб., 2002.
Чернов В. П. Математические методы финансового анализа. СПб., 2005
Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М., 1998.
Четыркин Е. М. Финансовая математика. М., 2000.

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
Р – первоначальная величина вклада;
n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

К – количество дней в текущем году,
J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

Стоит задача выбора наилучшего банка и наиболее выгодного типа счета. И если с банками более-менее все понятно - можно сориентироваться по многочисленным рейтингам и выбрать то отделение, которое недалеко расположено от места проживания, то с выбором типа счета дело обстоит куда сложней. Ведь помимо величины процента нужно учитывать еще возможность пополнения депозита, досрочного снятия, способ начисления процентов и прочие факторы. Помимо размера самого процента большое значение имеет его вид. Рассмотрим подробно, чем отличаются между собой простой и сложный процент.

Простой процент. Формула расчета

С все предельно ясно, ведь его изучают еще в школе. Единственное, что нужно помнить, это то, что ставка всегда указывается за годовой период. Непосредственно сама формула имеет такой вид:

КС = НС + НС*i*п = НС*(1 + i*п), где

НС - начальная сумма,

КС - конечная сумма,

i - величина Для депозита сроком на 9 мес и ставкой 10%, i =0,1*9/12 = 0,075 или 7,5%,

п - число периодов начисления.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Вкладчик размещает 50 тыс. рублей на срочном депозите, под 6% годовых на 4 месяца.

КС = 50000*(1+0,06*4/12) = 51000,00 р.

2. 80 тыс. рублей, под 12% годовых на 1,5 года. При этом проценты ежеквартально выплачиваются на карточку (к депозиту не присоединяются).

КС = 80000*(1+0,12*1,5) = 94400,00 р. (поскольку ежеквартальная выплата процентов не прибавляется к сумме депозита, то на конечную сумму это обстоятельство не влияет)

3. Вкладчик решил положить 50000 рублей на срочный вклад, под 8% годовых на 12 месяцев. Разрешено пополнение депозита и на 91 день было сделано пополнение счета в сумме 30000 рублей.

КС1 = 50000*(1+0,08*12/12) = 54000 р.

КС2 = 30000*(1+0,08*9/12) = 31800 р.

КС = КС1+КС2 = 54000 + 31800 = 85800 р.

Сложный процент. Формула расчета

Если в условиях размещения вклада указано, что возможна капитализация или реинвестирование, то это говорит о том, что в этом случае будет использован сложный процент, расчет которого выполняется по такой формуле:

КС = (1 + i) n *НС

Обозначения такие же, как и в формуле для простого процента.

Бывает так, что проценты выплачиваются чаще, чем один раз в год. В этом случае сложный немного по-другому:

КС = (1 + i/к) nk *НС, где

к - частота накоплений в год.

Вернемся к нашему примеру, в котором банк принял срочный депозит в 80 тыс. рублей, под 12% годовых на 1,5 года. Допустим, что проценты также выплачиваются ежеквартально, но на этот раз они будут прибавляться к телу вклада. То есть, наш депозит будет с капитализацией.

КС = (1+0,12/4) 4*1,5 *800000 = 95524,18 р.

Как вы уже успели, наверное, заметить, полученный результат оказался на 1124,18 рублей больше.

Преимущество сложных процентов

Сложный процент по сравнению с простым всегда приносит больше прибыли, причем эта разница со временем увеличивается все быстрее и быстрее. Этот механизм способен превратить любой стартовый капитал в сверхприбыльную машину, стоит лишь дать ему достаточное время. В свое время Альберт Эйнштейн назвал сложный процент самой мощной силой в природе. По сравнению с другими видами инвестиций такой имеет значительные преимущества, особенно когда инвестор выбирает долгосрочный период. По сравнению с акциями, сложный процент имеет намного меньший риск, а стабильные облигации дают меньший доход. Конечно, любой банк может со временем разориться (всякое случается), но выбирая банковское учреждение, которое участвует в государственной программе страхования депозитов, можно свести к минимуму и этот риск.

Таким образом, можно утверждать, что сложный процент имеет намного большие перспективы по сравнению с практически любым финансовым инструментом.