Процентным ставкам. Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов
. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:
P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),
S - наращенная сумма на конец срока ссуды,
п - срок, число лет наращения,
i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна
(4.1)
Процентыза этот же срокв целом таковы:
(4.2)
Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет
(4.3)
Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.
Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.
Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем
(4.4)
· Пример 4.1
2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,
где
· Пример 4.2
3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
(4.5)
где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.
· Пример 4.3
4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
(4.6)
Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
,(4.7)
где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе
метода расчета следует иметь в виду, что мно
житель наращения по смешанному методу
оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п
<
1 справедли
во соотношение 
Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.
· Пример 4.4
5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :
1) для простых процентов
2) для сложных процентов
Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:
Сложные проценты
Наращение по сложным процентам
Сложными называются ставки процентов, которые применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчётного периода к другому. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией процентов.
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.
Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Рассмотрим декурсивный метод расчёта сложных процентов. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:
S =P (1+i ).
В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму
S =P (1+i )(1+i )=P (1+i ) 2 ,
S=P (1+i ) n . (1.11)
Формула (1.11) называется формулой наращения по сложным процентам (формулой сложных процентов ). Множитель (1+i ) n в формуле (1.11) является коэффициентом наращения.
Формулы удвоения суммы
В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастёт в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем коэффициент наращения величине N , в результате получим:
а) для простых процентов 1+ni =N , тогда
б) для сложных процентов (1+i ) n =N , тогда
Для случая N= 2 формулы (1.12) и (1.13) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
а) для простых процентов
n= 1/i ; (1.14)
б) для сложных процентов
При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (1.22) можно использовать приближённую формулу, если учесть, что ln 2»0,7, а ln(1+i )»i . Тогда
n» 0,7/i. (1.16)
□ Пример 1.5. За сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5%?
1. Случай простых процентов:
n= 1/0,05=20 лет.
2. Случай сложных процентов, вычисленных по точной формуле:
лет.
3. Случай сложных процентов, вычисленных по приближённой формуле:
n »0,7/0,05=14 лет.
Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближённая формулы дают практически одинаковые результаты.■
Начисление сложных процентов при дробном числе лет
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти различными способами:
S=P (1+i ) n ,
2. смешанным методом, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые
S=P (1+i ) [n ] (1+{n }i ), (1.17)
где [n ] - целая часть числа n ; {n } - дробная часть числа n .
3. в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.
S=P (1+i ) [n ] . (1.18)
Номинальная ставка
В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной . Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле
, (1.19)
где N=mn - число периодов начисления, n - число лет.
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена несколькими способами, приводящими к различным результатам:
1. по формуле сложных процентов
, (1.20)
где N/t - число периодов начисления процентов, t - период начисления процентов;
2. по смешанному методу
, (1.21)
где [N/t ] - число полных периодов начисления процентов, {N/t } - дробная часть одного периода начисления процентов.
□ Пример 1.6. На сумму 600 ден. ед. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами.
Решение. Общее число периодов начисления процентов составит , т. е. 4 квартала и 2 месяца. По формуле сложных процентов наращенная сумма будет равна
ден. ед.
Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:
ден. ед.
Если дробную часть не учитывать, то наращенная сумма будет равна:
ден. ед.
Из полученных результатов расчёта следует, что для ссудодателя выгоднее смешанный метод начисления процентов, т. к. итоговая сумма получается максимальной, а для заёмщика предпочтительнее третий вариант, т. к. итоговая сумма минимальна. ■
Переменные ставки сложных процентов
Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:
где P - первоначальная сумма; i t - ставка простых процентов в периоде с номером ; n t - продолжительность периода начисления по ставке i t .
1.2.2 Сложные учётные ставки
Наращение по сложной учётной ставке
Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле
во втором периоде она будет равна
,
где d - учётная ставка сложных процентов; n - число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам (формулой сложных антисипативных процентов ). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения.
Номинальная учётная ставка процентов
В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m раз в году, используют номинальную учётную ставку f . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m , и наращенная сумма определяется по формуле
где, N=mn - число периодов начисления, n - число лет.
□ Пример 1.7. Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d =15% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение. Наращенная сумма составит
ден. ед.
Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m =2), то наращенная сумма будет равна:
ден. ед. ■
И расчет параметров этой сделки.
Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.
В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.
Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .
Проценты — основные понятия
Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:Ответ: больше на
| первоначальная сумма долга | |
| (дни) | фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней) |
| процентная (учетная) ставка за период | |
| срок долга в днях | |
| срок долга в долях от периода | |
| сумма долга в конце срока |
Процентная ставка
Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.
Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.
Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.
Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.
Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).
Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.
Интерпретация процентной ставкиПри схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .
При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.
Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .
Интерпретация учетной ставкиПри схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.
При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.
Простая и сложная процентные ставки
"Прямые" формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| — процентная ставка |  |
 |
наращение |
| — процентная ставка |
 |
 |
дисконтирование (банковский учет) |
"Обратные" формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| — процентная ставка | дисконтирование (математический учет) | ||
| — процентная ставка | наращение |
Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов
Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,
— при схеме простых процентов
1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.
Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель
Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.
Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.
Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"
Различают номинальные и реальные процентные ставки
Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:
Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).
Способы начисления процентов:
Простая процентная ставка
График роста по простым процентам
Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.
- I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
- S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.
Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления
Временная база может быть равна:- 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
- 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .
- Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
- Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.
- Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.
Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.
Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)
- S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.
Переменные ставки
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.
Сложные проценты
2.2.1. Формула сложых процентов
2.2.2. Эффективная ставка процентов
2.2.3. Переменная ставка процентов
2.2.4. Непрерывное начисление процентов
2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
- проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
- срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i )
– за один период начисления;
FV = (PV + I ) (1 + i ) = PV (1 + i ) (1 + i ) = PV (1 + i ) 2
– за два периода начисления;
отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:
FV = PV (1 + i ) n = PV k н ,
где FV – наращенная сумма долга;
PV – первоначальная сумма долга;
i – ставка процентов в периоде начисления;
n – количество периодов начисления;
k н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
Эта формула называется формулой сложных процентов.
Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + i ).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1 + i ) n .
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i . 5>>>
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.
(возьмем для примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут быть вложены деньги, суммы 5j и 52 имеют различные современные величины PJ и />2
Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудного процента 22% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 30 000 000 через два года или 36 000 000 через три года. Какой вариант предпочтителен
Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов , учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
Пример 2. Определить величину первоначальной суммы, необходимой для получения через 10 лет капитала в 500 000 000 руб. если используется сложная ставка ссудного процента 12% годовых.
Поскольку в финансовом управлении рассматриваются вопросы, связанные с принятием решений , касающихся денег, а ценой денег является ссудный процент , при разработке большей части решений по финансированию учитывают ставку ссудного процента . В этой главе рассматривается математическая сторона определения сложных процентов и текущей стоимости . Из гл. 1 мы знаем, что задача дирекции - увеличение капитала акционеров, и выполнение этой задачи частично зависит от распределения во времени потоков денежной наличности. Следовательно, одним из важнейших направлений деятельности является оценка потоков движения денежной наличности. Действительно, многие выводы, приведенные в этой книге, сделаны в зависимости от поднимаемых вопросов. Несмотря на то, что дискуссия имеет математическую основу, в изложении вопросов внимание уделяется лишь нескольким формулам, поэтому суть не теряется в частностях. В примерах нередко используется возведение в степень, что легко выполнить на калькуляторе.
Если депозит двухгодичный, первоначальные 100 дол. в конце первого года превратятся в 108 дол. при ставке ссудного процента 8 годовых. По окончании второго года 108 дол. становятся 116,64 дол., т. е. добавляются еще 8 дол. как проценты по основной сумме и 0,64 дол. как проценты на проценты за первый год. Другими словами, набегают проценты по уже полученным процентам, отсюда название "сложные проценты ". Следовательно, конечная стоимость на конец второго года равна 100 дол. умножить на 1,08 в квадрате (или 1,1664).
Несмотря на то что мы рассматривали только ставку ссудного процента , этот подход применим при сложном росте любого рода. Предположим, депозит фирмы равен 100 000 дол., мы ожидаем прирост этой суммы в течение пяти лет по ставке 10% годовых
Исходя из того, что в нашей стране только осуществляется переход к рыночной экономике , финансово-кредитный механизм еще не отработан в должной мере по сравнению с его состоянием в странах с развитой рыночной экономикой . Представляется, что сегодня сложно учесть такие факторы, как налоговая политика , спрос на заемные средства , изменение показателей валового национального продукта , инфляционные процессы , состояние бюджета страны, возросшая самостоятельность банков. В отечественной практике также не отработан механизм действия двух видов процентных ставок - фиксированной за весь срок предоставления кредитов и плавающей, которая пересматривается через определенные промежутки времени в связи с изменением рыночных и валютных курсов , а также кредитоспособности должника. Поэтому в дальнейшем принимаем фиксированную ставку ссудного процента.
В рассмотренной упрощенной модели денежного предложения не учитывался ряд факторов, которые в значительной мере определяют количество денег, находящихся в обращении. Так, не принималось во внимание соотношение между наличными деньгами и депозитами. Каждый экономический субъект самостоятельно решает, какую часть денег сохранять в виде наличности, а какую - положить в банк. На его выбор оказывает влияние ряд факторов. Во-первых, чем выше доля потребления в ВВП, тем большую часть денег население будет держать на руках. Во-вторых, объем наличных денег зависит от ставки ссудного процента , ибо хранение наличности "лишает" их владельцев дохода. Поэтому, чем выше ставка ссудного процента , тем меньше наличных денег будет у экономических субъектов . В-третьих, объем наличности зависит и от того, насколько легко или сложно изъять их из банка, т.е. от трансакционных издержек изъятия. Так как СU - наличные деньги , a D - депозиты, то отношение наличности к депозитам сd будет равно
По ссудам с погашением в рассрочку банки и другие кредиторы обычно устанавливают проценты на базе сложения. Это означает, что процент прибавляют к сумме выплат средств для того, чтобы определить номинальную стоимость векселя. Предположим, что в нашем примере ссуда с погашением в рассрочку предоставлялась на условиях 12 равных ежемесячных выплат, а ссудный процент составил 12%. Заемщик получил 10 000 дол., а номинал векселя, следовательно, равен 11 200 дол. Таким образом, 1200 дол. и идут на выплату процентов. Однако заемщик использует все 10 000 дол. только в первый месяц, в конце этого месяца он должен выплатить 1/12 часть от 11 200 дол., т. е. 933,33 дол. Выплаты на такую же сумму производятся в конце каждого из последующих 11 месяцев до тех пор, пока вексель не будет полностью погашен. На протяжении всего года заемщик использует только около половины первоначальной суммы в 10 000 дол. По сравнению с 12% эффективная ставка процента почти удваивается, что составляет около 22% с учетом сложных процентов . Таким образом, данный ссудный процент выплачивается на основе исходной суммы займа, а не уменьшающегося остатка, что обычно происходит в случаях с другими типами ссуд.
ПРИМЕР 14.7. Поданным примера 14.1 (варианта) при условии, что сложная ставка, которая характеризует средний уровень ссудного процента на рынке, равна, допустим, 15% годовых, что соответствует ставке за полугодие q = 1,1 51/2 - 1 = 0,07238, или 7,238%. Величины Vt приведены в табл. 14.1 значение z = = 0,994375 найдено в примере 14.2. Получим
Процент за кредит отражает сложные экономические отношения , которые возникают в процессе обращения ссудных капиталов на рынке. Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).
Следовательно, руководство фирмы должно располагать информацией о стоимости капитала , т.е. о ставке процента на заемный и ссудный капитал , с тем, чтобы принимать грамотные управленческие решения по инвестиционным проектам . На практике нахождение внутренней нормы прибыли требует сложных расчетов.
Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.
ПРИМЕР 10.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов По формуле (10.2) находим
Неэффективность системы финансирования НИОКР, созданной в рамках существующих государственных программ , низкая инвестиционная активность
