Из каких элементов состоит схема межотраслевого баланса. Динамическая модель экономики типа "затраты - выпуск". Экономический смысл матрицы
3. Модель межотраслевого баланса Леонтьева
3.1. Описание модели межотраслевого баланса
Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.
Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей (секторов), производящих определенные товары и услуги (например: сельское хозяйство, промышленность, транспорт, энергетика и т. п.). При производстве товаров и услуг в каждом секторе расходуются ресурсы в виде сырья, рабочей силы, оборудования и др., которые производятся как в других секторах хозяйства, так и в данном секторе. Это означает, что каждый сектор экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.
Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должен произвести каждый сектор для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.
Рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса – баланс экономики, состоящей из трех отраслей – сельского хозяйства, промышленности и домашних хозяйств. В качестве единицы измерения объемов товаров и услуг каждого сектора выберем их стоимость. Предположим, что вся продукция сельского хозяйства составляет 200 денежных единиц, из них 50 единиц потребляется внутри самой отрасли, 40 единиц – в промышленности и 110 единиц – в домашних хозяйствах. Продукция промышленности составляет 250 единиц, из них 70 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 30 единиц – в промышленности и 150 – в домашних хозяйствах. Домашние хозяйства производят 300 единиц продукции, из них 80 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 180 – в промышленности и 40 – внутри самого сектора. Эти данные можно свести в таблицу межотраслевого баланса.
Таблица 3.1 .
Таблица межотраслевых связей
Сельское хозяйство | Промыш-ленность | Домашние хозяйства | ||
Сельское хозяйство | ||||
Промышленность | ||||
Домашние хозяйства | ||||
Данной таблицей представлена экономическая система, в которой все отрасли являются производящими, вся произведенная продукция потребляется этими же производящими отраслями. Такая модель межотраслевых связей называется замкнутой . В замкнутой модели объем затрат каждого сектора (сумма элементов в столбце таблицы) равен объему произведенной продукции (сумма элементов в соответствующей строке).
Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между отраслями экономики в течение фиксированного промежутка времени, например в течение года.
Обозначим через B = {b i , j }, где I = 1, …, n, j = 1, …, n, матрицу, элемент которой b i , j – это количество товаров и услуг i-ой отрасли экономики А = {а i , j }, потребляемое в j-ой отрасли. В замкнутой экономической системе баланс между совокупным выпуском и затратами каждой отрасли можно описать равенствами:, где k = 1, …, n. Матрица В называется матрицей межотраслевого баланса, или матрицей Леонтьева.
Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса.
Обозначим:
x j – объем выпуска i-й отрасли;
b i , j – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой в j-ой отрасли;
c i – конечный продукт, т. е. объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере;
– количество продукции i -ой отрасли, которое расходует ся на производство одной единицы продукции j-ой отрасли. Числа a i , j называются коэффициентами прямых затрат j-ой отрасли и характеризуют технологию этой отрасли.
Межотраслевой баланс – это равенство объема выпуска каждой производящей отрасли суммарному объему ее продукции, потребляемой производственными отраслями и отраслью конечного спроса, т. е.
или 
или 
, i = 1… n .
Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в отрасль конечного спроса поступает та часть произведенной продукции, которая осталась после того, как обеспечены потребности производящих отраслей.
Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения:
Сложившуюся технологию производства считаем неизменной, таким образом матрица А = {а i , j } постоянна.
Пусть Х = {x i } – вектор объемов производства в отраслях, тогда А. Х – потребляемые объемы продукции этих отраслей, таким образом, вне производственной сферы – на потребление остается только Х – А. Х. Назовем экономику высокоэффективной, если А. Х С, т. е. в производственной сфере тратится меньше, чем в сфере потребления.
3.2. Продуктивность модели Леонтьева
Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором спроса, т. е. вектором С, вектор выпуска – вектором Х, структурная матрица экономики, т. е. матрица, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат, – матрицей А, то соотношение баланса в матричной форме будет иметь вид: С = Х – А. Х или С = (Е – А) . Х, где Е – единичная матрица.
Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса. То есть необходимо найти вектор производства, удовлетворяющий уравнению баланса, при этом, учитывая экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение X – AX = C имеет неотрицательное решение для любого С ³ 0, т. е. матрица А позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.
Теорема . Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если существует неотрицательная матрица, обратная к Е – А.
В самом деле, пусть Е – A имеет обратную матрицу и эта матрица (Е – А) -1 неотрицательна, тогда Х = (Е – А) -1 С и, поскольку С ³ 0, то и Х ³ 0.
Рассмотрим еще один критерий продуктивности. Пусть модель Леонтьева задана матрицей размерами n × n. Обозначим через N множество {1, …, n}. Пусть SÍN (S – подмножество N). Говорят, что подмножество S изолировано, если a ij = 0, всякий раз, когда jÎS, iÎN\S (N без S, т. е. N-S). Понятие изолированности подмножества S допускает прозрачную экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими S.
Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме S = N или S = Ø (пустое множество). Понятие неразложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если a ij ¹ 0, то j-я отрасль непосредственно использует продукцию i-й отрасли. Но если даже a ij = 0, т. е. j-я отрасль не использует продукцию i-й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга.
Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна.
Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т. е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей.
Для матрицы А число l называется собственным числом, если найдется ненулевой вектор Y, такой, что AY = lY. Такой вектор также называется собственным вектором, отвечающим данному собственному числу l (вектор Y не определяется по l однозначно – всякий вектор, ему пропорциональный, также будет собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу l).
Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если матрица имеет собственное число l А <1, которое к тому же является наибольшим по модулю из всех собственных чисел матрицы.
3.3. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева
Напомним, что модель задается матрицей А прямых затрат. В этой матрице a ij – количество единиц продукции, расходуемой на изготовление, производство одной единицы продукции j-й отрасли. Числа a ij называются коэффициентами прямых затрат j-й отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Пусть Х = (x j) обозначает вектор валового производства, тогда АХ есть израсходованные в процессе производства ресурсы и для непроизводственной сферы остается С = Х – АХ.
Обозначим D = (E – A) -1 . Запишем выражение компонент вектора Х через компоненты вектора конечного спроса С:
,
тогда становится понятным, что элемент d ij матрицы (Е–А) -1 показывает, на сколько нужно увеличить выпуск i-й отрасли x i при увеличении на единицу конечного спроса c j на продукцию j-й отрасли.
Матрица D = (E–A) -1 называется матрицей полных затрат.
В экономической системе с заданной структурной матрицей А спрос всегда удовлетворяется, если для любого вектора спроса С существует вектор выпуска.
3.4. Цены в системе межотраслевых связей
Цены в открытой системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входят не только плата за ресурсы, приобретенные в данной отрасли и других отраслях, но и добавленная стоимость (зарплата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги и др.).
Обозначим:
v i – суммарные платежи за одну единицу произведенной i-м сектором продукции;
p j – цена единицы продукции j-го сектора;
b i , j – объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе.
Тогда 
, но поскольку b ij = a ij . x j , то 
.
Разделив на ненулевые x i , получим для искомых цен систему уравнений:
.
В матричной форме система уравнений для цен имеет вид: (Е–А) Т. Р = V, где А – структурная матрица экономики; V – заданный вектор платежей; Р – искомый вектор цен. Тогда цены Р можно найти по формуле Р = ((Е–А) Т) -1 V, или, что то же самое Р = ((Е–А) -1) Т V. Аналитические выражения цены Р через платежи имеют вид:
.
Из приведенных равенств видно, что элемент d ij матрицы (Е–А) -1 = D показывает, как изменится цена р i единицы продукции i-го сектора при изменении на единицу платежа v j в j-м секторе.
Поскольку Х Т V = X T (Е–А) Т P = ((Е–А)X) T = C T P, то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество:
.
Левая часть этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть – суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.
3.5. Простейшая модель экспорта-импорта модели Леонтьева
Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей на государственном уровне. Если экономика государства перестает быть самообеспечивающейся и государство начинает импортировать и экспортировать продукцию производственных секторов, в то время как сектор конечного спроса потребляет то же количество продукции производственных секторов, то устанавливается новый баланс между затратами и выпуском. Структурная матрица экономики А, а следовательно, и матрица D = (E–A) -1 остаются прежними, изменяется конечный спрос. К величине платежей в сектор конечного спроса каждого сектора нужно добавить объем экспорта и вычесть из него объем импорта: С к = С к + EI к, к = 1, …, n. Здесь С к – объем конечного продукта к-го сектора при наличии экспорта импорта, С к – неизменившийся конечный спрос на продукцию к-го сектора, EI к – объем экспорта (EI к > 0) или импорта (EI к < 0) продукции к-го сектора. Таким образом, в таблице межотраслевого баланса (табл. 3.2) столбец сектора конечного спроса разбивается на три столбца: столбец заданного конечного спроса, столбец экспорта-импорта и столбец конечного продукта, причем каждый элемент последнего из этих столбцов равен сумме соответствующих чисел в предыдущих двух.
Таблица 3.2 .
Таблица межотраслевых связей с учетом экспорта-импорта
Конечный спрос | Экспорт-импорт | Конечный продукт |
|
Сельское хозяйство | |||
Промышленность | |||
Транспорт |
Выпуск Х вычисляется по формуле Х = (Е–А) -1 С, где С = С + EI, С – неизменившийся конечный спрос, EI – объем экспорта-импорта, А – структурная матрица экономики. Вычислив вектор выпуска Х, можно найти по формуле b ij = a ij . x j элементы матрицы нового межотраслевого баланса В.
3.6. Задачи
1. Пусть экономическая система разбита на три отрасли. Использо вание продукции этих отраслей в них таково: 
. Выпуск отраслей задан вектором
... Теоретические и прикладные аспекты случайных... , Л. Якокки, применения экономико -математических моделей в маркетинге – в... моделей и моделей марковских процессов / М. Б. Ермолаев, С. М. Комолов // Проблемы экономики , финансов и управления производством ...
Математическая модель управления предприятиями угольной промышленности российской федерации на региональном уровне
Документ... экономики и производственного менеджмента Дальневосточного Владивостокского государственного технического университета (г. Владивосток). E-mail: tai_43@ Математическая модель управления ... производство ... аспектов ... Теоретические основы и методы управления ...
08 00 05 - «экономика и управление народным хозяйством» (экономика организация и управление предприятиями отраслями комплексами)
Программа... модели экономики . 2. Место и роль сельского хозяйства в национальной экономике Сельскохозяйственное производство ... национальной экономики Теоретические ... Экономико -математические модели управления математических моделей ...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 08 00 05 – «экономика и управление народным хозяйством» (экономика организация и управление предприятиями отраслями комплексами)
Программа-минимум... экономики России: исторический аспект ... национальной экономики Теоретические основы... Экономико -математические модели управления АПК. Общая классификация зкономико-математических моделей ... технологий в производстве и управлении . Современные и...
Экономика и управление производством
Учебное пособиеОписывает факторная модель : РП = ... производства и ускорения оборачиваемости оборотных средств; – экономико -математические ... это совокупность специальных теоретических знаний и профессиональных... человеческий или социальный аспект управления : лояльность и...
Экономика стран на современном этапе представляет собой сложный многоотраслевой комплекс с перекрещивающимися связями. Состав отраслей и характер их взаимосвязей постоянно изменяются под воздействием непрерывно развивающихся и углубляющихся процессов разделения и кооперации общественного труда.
В мировой практике для выявления межотраслевых связей, анализа и формирования структуры экономики па прогнозируемый период широко используются межотраслевые балансы (МОБ).
В зарубежных странах (США, Япония, Германии и др.) межотраслевые балансы составляются в виде матрицы (таблицы) "затраты - выпуск", автором которой является известный ученый, лауреат Нобелевской премии В. Леонтьев.
На основе межотраслевого баланса рассчитываются макроэкономические показатели, промежуточное потребление, затраты ресурсов, осуществляется анализ влияния спроса, цен, изменений в заработной плате на экономику в целом и на отдельные отрасли.
Показатели межотраслевого баланса могут применяться также для международных сравнений производственных структур и результатов.
В бывшем СССР межотраслевой баланс разрабатывался в системе баланса народного хозяйства (БНХ) в соответствии с марксистской методологией, согласно которой основным макроэкономическим показателем, характеризующим развитие экономики, являлся совокупный общественный продуктами переходе к рыночным отношениям в странах СНГ и других бывших социалистических странах ведутся исследования по разработке межотраслевого баланса в Системе национальных счетов, в котором основным макроэкономическим показателем является валовой национальный продукт, т.е. осуществляется переход от МОБ в системе баланса народного хозяйства к МОБ в системе национальных счетов.
Концепция СНС рассматривает экономику как единое целое без проведения принципиальных различий между производством материальных благ и деятельностью по оказанию услуг.
Схема межотраслевого баланса в СНС (табл.1) представлена тремя заполненными квадрантами и адекватна развернутому матричному представлению четырех основных счетов нации.
В квадранте I представлены данные о промежуточных сделках между отраслями-производителями (продавцами) и отраслями-потребителями (покупателями), характеризующие промежуточный спрос (потребление).
В квадранте II представлено распределение продукции отраслей на личное потребление населения, государственное потребление, инвестиции, экспорт и импорт, объединенные общим понятием конечное использование (конечный спрос). Здесь конечный спрос имеет форму ВНП, который на стадии конечного использования может быть представлен основополагающим уравнением Кейнса.
В квадранте III отображается стоимостная структура затрат на производство валового национального продукта У по отраслям, т.е. сумма заработной платы W прибыли Пр и амортизации Ам в каждой отрасли:
Сумма промежуточного и конечного потребления по i-й строке характеризует объем валового выпуска продукции (услуг) i-й отрасли. Используя условные обозначения из табл.1, валовой выпуск i-й отрасли можно определить по формуле
По модели межотраслевого баланса можно выполнять два типа расчетов: первый, когда по заданному уровню конечного потребления определяются масштабы общественного производства и структура экономики; второй, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях формируется баланс производства и потребления продуктов.
Первый тип применяется в основном при разработке прогнозных расчетов, второй - на стадии формирования планов, их корректировки (внесения уточнений по объемам производства той или иной продукции).
Для разработки межотраслевого баланса используются коэффициенты прямых у и коэффициенты полных b затрат.
Коэффициенты прямых затрат - это среднеотраслевые нормативы расхода материальных ресурсов на производство единицы определенного вида продукции (услуг). Они имеют натуральную и денежную форму в зависимости от того, в каком виде составляется МОБ. С их помощью рассчитываются межотраслевые потоки, и определяются материальные затраты по отраслям экономики
Коэффициенты полных затрат характеризуют затраты на производство единицы конечного продукта (конечного использования ВНП) по всей цепи сопряженных отраслей. Они определяются на основе коэффициентов прямых затрат и отличаются от последних на величину косвенных затрат. Коэффициенты полных затрат используются для расчета валовой продукции по каждой отрасли путем их умножения на объем конечного продукта (конечного использования ВНП).
Введение..................................................................................................... 3
1. Модель межотраслевого баланса............................................ 4
1. 1. Динамическая модель Леонтьева.................................................... 7
1. 2. Построение динамической модели Леонтьева............................. 12
2. Модель Неймана............................................................................... 16
Заключение............................................................................................. 20
Cписок литературы............................................................................. 21
Динамические модели экономики - модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.
В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый “способ” говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y), а также критерия оптимальности.
Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.
С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.
С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрела динамическая модель фон Неймана. Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики, к которым относятся динамические модели межотраслевого баланса, а также производственная функция, теория экономического роста.
Межотраслевое моделирование является частью макроэкономического
моделирования и служит для анализа и оценки состояния общего экономического равновесия национальной экономики. Национальная
экономика в межотраслевом балансе представлена рядом чистых отраслей,
связанных между собой финансовыми потоками от реализации продукции,
работ и услуг. Чистые отрасли – это условные отрасли, представляющие
производство одного или нескольких однородных продуктов.
Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических моделей экономики; основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей: напр., капитальных вложений и основных фондов (что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).
Основные предположения модели межотраслевого баланса:
· каждая отрасль выпускает ровно один продукт
· каждый продукт выпускается ровно одной отраслью
Число продуктов равно числу отраслей
Измерять интенсивность работы отрасли можно объёмом выпуска соответствующего продукта
· затраты любого продукта в каждой отрасли прямо пропорциональны её интенсивности
Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам. Главные показатели здесь – коэффициенты полных и прямых затрат.
Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.
Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.
Таблица межотраслевого баланса производства и распределения
продукции,работ и услуг
В первом квадранте отражены данные о взаимных поставках продукции,
работ, услуг между отраслями. Первый квадрант называется квадрантом
промежуточного потребления и характеризует промежуточное потребление
(затраты) или промежуточный спрос отраслей при производстве продукции,
работ, услуг:
X ij – стоимость продукции i -й отрасли, поставленной в j -ю отрасль в
течение года, или стоимость продукции i -й отрасли, потребленной j -й
отраслью в течение года;
i -я строка – промежуточное потребление продукции i -й отрасли всеми
отраслями;
j -й столбец – потребление (затраты) в j -й отрасли продукции всех
отраслей при производстве своей продукции;
X i – стоимость валового продукта, произведенного i -й отраслью в
течение года.
Второй квадрант называется квадрантом конечного использования
(потребления) или конечного спроса. В нем представлено конечное использование продукции отраслей, распределенное на конечное потребление (С i ), инвестиции (I i ), экспорт (E i ) и импорт (M i ), сальдо во внешней торговле (E i – M i ). Конечное потребление включает потребление домашних хозяйств (населения), государства и некоммерческих организаций.
Третий квадрант называется квадрантом добавленной стоимости. В нем
представлена добавленная стоимость, присоединенная в отраслях к затратам
продукции других отраслей при производстве продукции, работ, услуг.
Добавленная стоимость, произведенная в отраслях народного хозяйства,
включает: оплату труда (V j ), амортизацию (потребление основного капитала)
(C j ), чистый доход (m j ). Четвертый квадрант не заполняется.
В состав отраслей в МОБ входят отрасли материального производства:
промышленность (энергетика, машиностроение, легкая и пищевая
промышленность, строительство, сельское хозяйство) и отрасли
нематериальных услуг (жилищно-коммунальное хозяйство, банковская сфера, здравоохранение, образование, наука и др.). В реальный межотраслевой баланс входит около 30 отраслей. Межотраслевой баланс за прошедший год называется отчетным межотраслевым балансом.
Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты – выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.
Метод “затраты – выпуск” стал универсальным способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики. Он применяется в системе ООН, в США и других странах для прогнозирования и планирования экономики, структуры производства, межотраслевых связей.
В динамических моделях отражается процесс развития экономики. В них
производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной
продукции, исследуется их структура и влияние на рост объема производства.
Схема динамического межотраслевого баланса представлена в таблице
Таблица содержит две матрицы. Элементы второй матрицы показывают, какое количество продукции i -й отрасли направлено в текущем периоде в j -ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в основные и оборотные средства.
В динамической схеме конечный продукт у i включает продукцию i- й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление
непроизводственной сферы, незавершенное строительство, на экспорт. Все
показатели даны в стоимостной форме.
В таблице выполняются следующие балансовые соотношения:
Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся к периоду
(t- 1,t ). Динамика задается дополнительными соотношениями:
Экономический смысл коэффициентов ϕ ij = Кij /ΔХj следующий: они
показывают, какое количество продукции i -й отрасли должно быть вложено в
j -ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в
рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты ϕ ij называются
коэффициентами капитальных вложений или коэффициентами приростной
фондоемкости. Систему уравнений (1) с учетом (2) можно записать как:
Представим (3) в матричном виде:
(4)
Из (4) следует, что
Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева. Система уравнений (3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X (0 ) и Y (t ) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X (t ), K (t ), t = 1, 2, …, T.
Условием разрешимости системы (3) относительно вектора Х (t ) является требование det (E − A − Ф ) ≠ 0
В данной модели предполагается, что прирост продукции в периоде
(t – 1, t ) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде.
Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют
отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в
производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели,
учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу
динамических моделей межотраслевого баланса.
Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами:
(6)
Для ее решения помимо матриц коэффициентов текущих прямых
материальных затрат A = (a ij ) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (ϕij )
необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени
t = 0 (x (0)) и закон изменения величин конечного продукта y (t ) на отрезке .
Решением системы уравнений (6) будут значения вектор-функции x (t )
на отрезке . Условием разрешимости системы (6) является det Ф ≠ 0 .
Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,
учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:
(7)
(9)
Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими
переменными:
Х t – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;
v t –вектор ввода отраслевых мощностей;
γ − диагональная матрица выбытия мощностей;
x t – вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);
l t = (l 1 , l 2 ,..., l n )t вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;
L t – объем трудовых ресурсов в экономике.
Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году
(t = 1, 2, …, T ). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║аij║ и матрицы
капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║фij║ могут
зависеть от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Y t и числовая функция L t . Решением модели являются векторы Х t и x t , удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).
Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта X t должен
обеспечивать текущие производственные затраты AХ t , затраты продукции на
ввод производственных мощностей ФV t и на непроизводственное потребление Y t. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами.
Определим величины, характеризующие изменения валового выпуска 5 отраслей по 7 временным интервалам.
| Рыбная | -25056 | -46023 | -27579 | -9222 | 18357 | -22098 | -79866 |
| Логистика | 101607 | -1499 | 56461 | 8932 | 226650 | -181033 | -583399 |
| Судоремонтная | -7076 | 29510 | 9728 | 55934 | -35028 | 15280 | -432869 |
| Пищевая | 10100 | 11822 | 39809 | -54373 | 12350 | 35889 | -532456 |
| Машино и приборо-строение | 11706 | 2156 | 16085 | -97206 | 36989 | 9201 | -543768 |
Теперь воспроизведем матрицу D. Коэффициент d ij матрицы D равен количеству продукции отрасли i, необходимой для увеличения на единицу (в стоимостном выражении) фонда отрасли j. Коэффициенты d ij именуются коэффициентами капиталоемкости приростов ОПФ.
| Производство продукции, B | Потребление продукции | Конечная продукция Y |
Валовой выпуск |
||||
| Рыбная | Логистика | Судоремонтная | Пищевая | Машино и приборо-строение | |||
| Рыбная | 1 | 5,5 | 1,5 | 5 | 6 | 56700 | 101964 |
| Логистика | 6 | 1 | 5 | 4,5 | 3 | 56430 | 204324 |
| Судоремонтная | 4,5 | 5 | 1 | 6 | 6 | 390860 | 508326 |
| Пищевая | 5 | 5 | 5 | 1 | 6 | 787890 | 1289754 |
| Машино и приборо-строение | 4 | 4 | 5 | 4 | 1 | 323630 | 734563 |
Построим матрицу К коэффициентов капитальных затрат или капитальных коэффициентов.
| Производство продукции, B | Потребление продукции | Конечная продукция Y | Валовый выпуск | ||||
| Рыбная | Логистика | Судоремонтная | Пищевая | Машино и приборо-строение | |||
| Рыбная | 0,8 | 4,4 | 1,2 | 4 | 4,8 | 56700 | 101964 |
| Логистика | 4,8 | 0,8 | 4 | 3,6 | 2,4 | 56430 | 204324 |
| Судоремонтная | 3,6 | 4 | 0,8 | 4,8 | 4,8 | 390860 | 508326 |
| Пищевая | 4 | 4 | 4 | 0,8 | 4,8 | 787890 | 1289754 |
| Машино и приборо-строение | 3,2 | 3,2 | 4 | 3,2 | 0,8 | 323630 | 734563 |
Теперь определим
Пусть Ф 0 =0,
(Матрица А - матрица прямых затрат)
Итак, мы имеем первый вектор
| Отрасль | x при t=1 | Ф при t=1 | y при t=1 |
| Рыбная | 191487 | -20044,8 | -3,601*10^4 |
| Логистика | 372281 | 81285,6 | 7,575*10^4 |
| Судоремонтная | 364521 | -5660,8 | 2,697*10^3 |
| Пищевая | 476859 | 8080 | 1,824*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 564837 | 9364,8 | -8,428*10^3 |
Аналогичным образом получаются таблицы для t = 2, 3, 4, 5, 6.
| Отрасль | x при t=2 | Ф при t=2 | y при t=2 |
| Рыбная | 166431 | -56863,2 | -6,808*10^4 |
| Логистика | 473888 | 80086,4 | -6,632*10^3 |
| Судоремонтная | 357445 | 17947,2 | 2,495*10^4 |
| Пищевая | 486959 | 17537,6 | 2,816*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 576543 | 11089,6 | 5,698*10^3 |
| Отрасль | x при t=3 | Ф при t=3 | y при t=3 |
| Рыбная | 120408 | -78926,4 | -4,702*10^4 |
| Логистика | 472389 | 125255,2 | 2,757*10^4 |
| Судоремонтная | 386955 | 25729,6 | 8,966*10^3 |
| Пищевая | 498781 | 49384,8 | 3,867*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 578699 | 23957,6 | -3,451*10^3 |
| Отрасль | x при t=4 | Ф при t=4 | y при t=4 |
| Рыбная | 92829 | -86304 | -4,489*10^4 |
| Логистика | 528850 | 132400,8 | 5,323*10^4 |
| Судоремонтная | 396683 | 70476,8 | 3,166*10^4 |
| Пищевая | 538590 | 5886,4 | -3,038*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 594784 | -53807,2 | -6,271*10^4 |
| Отрасль | x при t=5 | Ф при t=5 | y при t=5 |
| Рыбная | 83607 | -71618,4 | 8,141*10^3 |
| Логистика | 537782 | 313720,8 | 1,671*10^5 |
| Судоремонтная | 452617 | 42454,4 | -2,388*10^4 |
| Пищевая | 484217 | 15766,4 | -2,626*10^3 |
| Машино и приборо-строение | 497578 | -24216 | -2,208*10^4 |
| Отрасль | x при t=6 | Ф при t=6 | y при t=6 |
| Рыбная | 101964 | -89296,8 | -9,557*10^3 |
| Логистика | 764432 | 168894,4 | -1,595*10^5 |
| Судоремонтная | 417589 | 54678,4 | 1,239*10^4 |
| Пищевая | 496567 | 44477,6 | 3,563*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 534567 | -16855,2 | 3,836*10^4 |
В модели Неймана представлены n продуктов и m способов их
производства. Каждый j- й способ задается вектор-столбцом затрат продуктов
a j и вектор-столбцом выпусков продуктов b j в расчете на единицу
интенсивности процесса:
(1)
Это означает, что при единичных интенсивностях j -го производственного процесса потребляется вектор продуктов a j и производится продуктов b j . Векторы (1) рассматриваются в натуральных единицах или в постоянных ценах.
Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат А и выпусков
В с неотрицательными коэффициентами затрат a ij и выпусков b ij :
Матрицы А и В обладают следующими свойствами:
1) 
a
ij
≥0 ,b
ij
≥0,т.е. все элементы матриц неотрицательны;
2) что означает: в каждом из m способов
производства потребляется хотя бы один продукт;
3) что означает: каждый продукт
производится хотя бы одним способом производства;
Таким образом, каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В
должны иметь по крайней мере один положительный элемент.
Через Х (t ) обозначим вектор-столбец интенсивностей
Тогда AX (t ) – вектор затрат, BX (t ) – вектор выпусков при заданном
векторе Х (t ) интенсивностей процессов.
Модель Неймана является обобщением динамической модели
межотраслевого баланса Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта несколькими способами производства, и совпадает с ней, если В = Е.
В модели Неймана имеют место следующие соотношения:
(2)
Соотношения (2) означают, что при производстве продукции в году
(t + 1) расходуется продукция, произведенная в году t.
Вектор p (t )=(p 1 (t ), p 2 (t ),..., p n (t ))≥0 называется вектором цен
продуктов, произведенных в году t , если он удовлетворяет следующим соотношениям:
(3)
Если коэффициенты матриц А и В – стоимостные величины в постоянных ценах, то р (t ) будет вектором индексов цен.
Первое векторное неравенство в (3) означает, что стоимость выпуска
продукции для каждого технологического способа производства в году t + 1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.
Из (2) и (3) следует, что имеют место следующие соотношения:
(4)
Первое соотношение в (4) означает, что цена i -го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).
Второе соотношение (4) означает, что j -й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).
Определение. Векторы Х (t ) и p (t ), t = 1, 2, …, T называются траекторией
сбалансированного роста в модели Неймана, если они удовлетворяют
условиям:
(5)
Здесь λ − темп, ρ − норма процента сбалансированного роста.
Из (5) следует, что в состоянии сбалансированного роста значения компонент вектора Х (t ) пропорционально возрастают, а вектора p (t ) снижаются. При этом имеют место соотношения:
(6)
где Х (0) и р (0) – начальные значения векторов в году t = 0.
Из (5), (6) следует, что на траектории сбалансированного роста должны выполняться соотношения.
(7)
Вопрос о существовании траекторий сбалансированного роста решается
следующими теоремами.
Первая теорема Неймана . Если матрицы А и В удовлетворяют
свойствам 1-3, то система неравенств (7) имеет решение X (t), p (t),λ ,ρ ,
т.е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного роста.
Вторая теорема Неймана. Существует решение X * (t ), p * (t ),λ * ,ρ *
системы (7), у которого будет максимальный темп роста λ * ≥λ и
минимальная норма процента ρ * ≤ ρ по сравнению с другими решениями.
При этом выполняется соотношение:
(8)
Данное решение называется магистралью , или траекторией
максимального сбалансированного роста в модели Неймана.
Модель Неймана является невычислимой, чисто теоретической моделью. Выход к практическим результатам осуществляется через динамическую модель В. Леонтьева, являющуюся частным случаем модели Неймана. Цены, полученные на основе динамического баланса, обладают свойствами цен модели Неймана. Модель Леонтьева использует данные динамического межотраслевого баланса. На основе динамического баланса также возможно построение неймановского луча максимального сбалансированного роста экономики и вычисление цен, соответствующих этому лучу, которые отражают альтернативную стоимость. Отличие динамической межотраслевой модели от модели Неймана состоит в том, что она базируется на предположении, что в каждой отрасли возможен один и только один производственный процесс. Таким образом, выбор решения по каждой отрасли сводится лишь к определению интенсивности производственного способа.
В заключение отметим, что с помощью межотраслевого баланса решают
следующие задачи:
1. По таблице межотраслевого баланса найти матрицу прямых и полных затрат.
2. Задав вектор конечной продукции, определить вектор валовой продукции.
3. Задав вектор валовой продукции, определить вектор конечной продукции.
4. При новых значениях добавленной стоимости найти индексы цен и построить новую таблицу межотраслевого баланса.
5. Найти векторы валового выпуска, добавленной стоимости, затрат,
доли затрат и добавленной стоимости в валовом продукте, межотраслевые
поставки продукции, составить таблицу межотраслевого баланса.
Аналитический метод «затраты-выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата. Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.
Модель Леонтьева "Затраты-выпуск" строится на основе схемы межотраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары?
Магистральная траектория - это луч Неймана. Основным вопросом магистральной теории является анализ близости траекторий оптимизационных моделей к соответствующим магистралям. Оптимальные траектории в динамических моделях Леонтьева и Неймана обладают такими свойствами при выполнении некоторых дополнительных условий.
1. Колемаев В.А. "Экономико-математическое моделирование" ЮНИТИ-ДАНА, 2005 295 с.
2. Поттосина С. А., ЖуравлевВ. А. " Экономико-математические модели и методы" Учебное пособие для студентов экономических специальностей, 2003. – 94 с.
3. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000.
4. http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm
5. http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm
Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») -- экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.
Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
В межотраслевом балансе расположены три квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором - структура конечного использования ВВП, в третьем - стоимостная структура ВВП.
Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923--1924 гг. В 30-е гг. для изучения американской экономики американский экономист Василий Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры. Метод стал известен под названием «затраты -- выпуск».
Балансовый метод применяется для анализа, нормирования, прогноза, планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельно предприятия до народного хозяйства в целом. Характерные черты и особенности этого метода описываются с помощью матричных моделей баланса. К этим моделям относят межотраслевые балансы районов республик и народного хозяйства в целом, межпродуктовые балансы в натуральном выражении, матричные модели трудоемкости и фондоемкости продукции, модели промфинплана предприятий. Все эти модели построены по единой матричной схеме, которую удобнее всего рассмотреть на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.
В модели межотраслевого баланса предполагается, что народное хозяйство состоит из множества отраслей, каждая из которых производит преимущественно один какой-либо продукт или оказывает определенные услуги. В процессе производства одна отрасль использует продукцию другой отрасли (сырье, материалы, оборудование, топливо, энергию, услуги) и между ними неизбежно возникают взаимные потоки товаров и услуг. Сложившаяся в соответствии с потребностями отраслей структура потоков товаров и услуг отражается в математической модели межотраслевого баланса системой уравнений следующего вида:
х 1 = х 11 + х 12 + … + х 1n + 0у 1;
х 2 = х 21 + х 22 + … + х 2n + у 2;
………………………………………………
х n = х n1 + х n2 + … + х nn + у n.(1)
Различают два вида баланса: стоимостной - по отраслям производства и натуральный - по видам продукции в натуральном выражении.
В стоимостном балансе переменные х 1, х 2, … , х n означают объемы валовой продукции первой, второй, …, n-ой отрасли, x ij - объемы затрат i-й отрасли на производство продукции j-й отрасли, у i - конечный продукт, который не поступает в сферу текущего производственного потребления, а идет на конечное потребление (в личное и общественное, на накопление, экспорт, возмещение потерь и т.д.). Систему (1), которую учитывает структуру сложившихся взаимных затрат отраслей, можно назвать «экономической картой» народного хозяйства.
В натуральном балансе переменные х 1, х 2, … , х n означают объемы n видов производственных продуктов в натуральных единицах (автомобилей в штуках, угля в тоннах и т.д.). Величина x ij означает объем потребления продукта I при производстве продукта j (угля при производстве автомобилей, электроэнергии при добыче угля и т.д.), а величина у i - конечный продукт - ту часть продукции, которая не используется в производственном потреблении. Например, для производства сахара в необходимом объеме х i требуется предусмотреть объемы его расходов x ij в кондитерской и молочной, промышленности, расходы на производство безалкогольных напитков, винодельческое, плодоовощное и консервное производства, а также необходимо удовлетворить спрос населения на сахар как конечный продукт личного потребления.
В матричной форме системы уравнений (1) межотраслевой стоимостной и межпродуктовый натуральный балансы имеют одинаковое выражение. В том и другом случае общий объем продукции х i разделяется на объем производственного потребления - промежуточный продукт х i1, х i2, … , х in и объем непроизводственного потребления - конечный продукт у i, причем удельный вес их для разных отраслей стоимостного баланса и различных продуктов натурального баланса неодинаков.
Однако стоимостной баланс в отличие от натурального наряду с уравнениями
x j = в форме распределения продукции допускается построение уравнений в форме потребления продукции
где - материальные затраты j-й потребляющей отрасли; Vj + mj - ее чистая продукция; Vj - сумма оплаты труда; mj - чистый доход - прибыль.
Сделаем преобразование системы уравнений (1) - каждое из слагаемых x ij разделим и умножим на x j и обозначим
………………………………………………………………………….
Это преобразование системы(1) приводит ее к обычной математической форме системы n линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, … , х n (или у 1, у 2, … , у n) при заданных значениях коэффициентов а ij и величин у 1, у 2, … , у n (или х1, х2, … , хn).
Коэффициенты называются коэффициентами прямых затрат. Для всех отраслей их задают в виде матрицы:
Коэффициенты прямых затрат в натуральном балансе означают технологические нормы расхода продукта i на производство единицы продукта j (например, расход сахара на банку плодово-ягодных консервов или на килограмм мороженного, киловатт-часов электроэнергии и тонн угля на один автомобиль и т.д.). в стоимостном балансе коэффициенты а ij означают затраты отрасли I на каждый рубль валовой продукции отрасли j.
В модели межотраслевого баланса коэффициенты прямых затрат а ij предполагаются постоянными. Это предположение позволяет с помощью уравнений (3) перейти от изучения и анализа сложившихся хозяйственных взаимосвязей к прогнозу пропорционального развития отраслей и планированию темпов их роста.
В системе уравнений (3) все неизвестные х 1, х 2, … , х n перенесем в левую часть уравнения ми получим новую фору записи системы уравнений межотраслевого баланса:
Модель межотраслевого баланса (5) имеет простую матричную форму записи (Е - А) Х = У и позволяет решить следующие задачи:
1) определить конечный объем конечной продукции отраслей у 1, у 2, … , у n по заданным объемам валовой продукции у 1, у 2, … , у n (в матричной форме У = (Е - А) Х);
2) по заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат Р, элементы которой служат важными показателями для планирования развития отраслей (в матричной форме Р = (Е - А) -1);
3) определить объемы валовой продукции отраслей х 1, х 2, … , х n по заданным объемам конечной продукции у 1, у 2, … , у n (в матричной форме Х = (Е - А) -1 У = Р У);
4) по заданным объемам конечной или валовой продукции отраслей х 1, х 2, … , х n определить оставшиеся n объемов.
В первой задаче планируется валовой выпуск продукции, а конечная продукция является производным показателем. Такой подход легче осуществить на практике, но он может привести к нерациональной структуре национального дохода и диспропорциям в развитии отдельных отраслей третья задача предлагает более прогрессивный принцип планирования - от национального дохода. Однако рассчитанные уровни валовой продукции для одних отраслей могут оказаться завышенными и ресурсно-необеспеченными, а для других - заниженными, не загружающими даже действующие производственные мощности. Четвертая задача в определенной степени отражает существую практику планирования.
Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А) -1 0;
2) матричный ряд Е + А + А 2 + А 3 +….= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А) -1 ;
3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения, строго меньше единицы;
4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.
Более простым способом проверки продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие являеться достаточным, но не необходимым условием продуктивной.
Введение
Экономический рост в любой стране невозможен без реализации новых крупномасштабных проектов, инвестиций и инноваций, без политической стабильности и устойчивости финансово-банковской системы, уверенности инвесторов и собственников капитала в твердости реализуемого политического курса, нацеленности на эффективность развития производства, разумности правил налогообложения. Экономико-математическое моделирование, являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики.
В данном реферате рассмотрена экономико-математическая модель межотраслевого баланса.. Это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические, так и динамические МОБ.
Одной из важных задач исследователей в области экономической мысли является изучение действующих экономических механизмов и поиск путей возможного их совершенствования.
Ценный вклад в методику численного решения экономических моделей был сделан в 1940-х годах Василием Васильевичем Леонтьевым, американским экономистом российского происхождения создавшим метод затраты - выпуск. Развитие любого общества неизбежно связано с изменениями объёмов производства и структуры межотраслевых поставок продукции. Изменение объёмов и структуры поставок продукции может иметь различные последствия для функционирования национальной экономики.
Отныне стало возможным численное решение больших систем уравнений. Современный компьютер способен с феноменальной скоростью решить систему из тридцати уравнений с таким же числом неизвестных. Метод затраты - выпуск вполне себя оправдывает, по крайней мере в теоретическом плане. Как заметил Леонтьев, имеется определенная связь между, скажем, продажей автомобилей в Нью-Йорке и спросом на хлеб в Детройте. По сути дела, всю страну можно рассматривать как единую систему учета, где каждый сектор имеет собственный "бюджет" экономической активности.
В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты--выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.
1. Макроэкономические модели в прогнозировании
Экономико-математические модели в прогнозировании широко используются при составлении социально-экономических прогнозов на макроэкономическом уровне. К таким моделям относятся:
однофакторные и многофакторные модели экономического роста;
модели распределения общественного продукта (ВВП, ВНП, НД);
модели воспроизводства основных фондов;
модели движения инвестиционных потоков;
модели уровня жизни и структуры потребления;
модели распределения заработной платы и доходов и др.
При использовании этих моделей необходимо учитывать воздействие факторного, лагового и структурного аспектов сбалансированности экономики и их синтеза на основе принципа оптимальности.
Факторный аспект сбалансированности экономики основывается на взаимосвязи между объемом выпуска продукции и затратами факторов производства. Он сводится к определению такой пропорции между факторами производства, которая позволяет обеспечить заданный выпуск продукции. Для определения таких количественных пропорций используются показатели эффективности затрат живого и овеществленного труда и объемы этих затрат.
Лаговый аспект сбалансированности основан на распределении во времени затрат факторов производства и достигаемого при их взаимодействии эффекта. Главные лаговые характеристики связаны с воспроизводством основных фондов, а значит и с затратами капитальных вложений. Лаг – это запаздывание, временной интервал между двумя взаимозависимыми экономическими явлениями, одно из которых является причиной, а второе – следствием.
Структурный аспект сбалансированности основывается на пропорциях между I и II подразделениями общественного производства и взаимосвязях межотраслевых потоков продукции с элементами конечного потребления. Структурные межотраслевые модели широко используются для составления прогноза отраслевой структуры производства, основных производственных фондов, производственных капитальных вложений и трудовых ресурсов. Структурная сбалансированность народного хозяйства основывается на пропорциях между производством и распределением продукции. Производство общественного продукта может быть обеспечено при различной интенсивности потоков взаимозаменяемых предметов труда, а следовательно при разном соотношении между промежуточной и конечной продукцией.
2. Модель межотраслевого баланса Леонтьева
Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.
Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.
Уравнение строк матрицы записывается следующим образом:
Хij + Уi = Хi
j =1
i= 1,2,…m;
Хij – поставка продукции отрасли i в отрасль j;
У i – конечная продукция отрасли i;
Хi – валовая продукция отрасли i.
Элементы строк представляют собой баланс распределения продукции, произведенной в различных отраслях экономики. Сумма внутренних производственных поставок и конечного продукта составляет валовой выпуск отрасли.
Уравнение столбцов матрицы выглядит следующим образом:
Хij + Zj = Хj, где
Хij – затраты продукции отрасли i на производство продукции отрасли j;
Zj – затраты первичныхресурсов и вновь созданная стоимость в отрасли j;
Хj – валовые затраты включая вновь созданную стоимость в отрасли j.
Хi = Хj при i=j. При этом равенство одноименных строк и столбцов означает, что стоимость распределенных и накопленных материальных благ и услуг равна сумме стоимостей произведенных затрат и вновь созданной стоимости.
Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты – выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.
Метод “затраты – выпуск” стал универсальным способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики. Он применяется в системе ООН, в США и других странах для прогнозирования и планирования экономики, структуры производства, межотраслевых связей.
3. Динамическая модель межотраслевого баланса Леонтьева
Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам. Главные показатели здесь – коэффициенты полных и прямых затрат.
В процессе совершенствования и усложнения статической модели был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.
В отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.
В рассматриваемой ниже динамической модели (которая является развитием статической межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.
Ниже приведена схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса (таблица 1).
∆Ф11 | ∆Ф12 | ∆Ф1n |
∆Ф21 | ∆Ф22 | ∆Ф2n |
. . . |
N | ∆Фn1 | ∆Фn2 | ∆Фnn |
Таблица 1. Динамическая модель МОБ
Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами xij совпадает с соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы ∆Фij показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.
Для сравнения, в статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yi каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт Yi включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса (1,141):
∑∆Фij + Yi’= Yi
поэтому уравнение распределения продукции вида (1.2) преобразуется в динамическом балансе в следующее (11,257):
Xi =∑xij +∑∆Фij + Yi’ i=1…n (3.1)
Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как и в статической модели через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:
xij = aijXj
полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать (11,257):
∆Фij =φij∆Xj i,j =1…n (3.2)
φij – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-той отрасли должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты φij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.
Они образуют квадратную матрицу n-го порядка (13):
||φ11 φ12 … φ1n ||
||φ21 φ22 … φ2n ||
(φij) =
|| . . … . ||
||φn1 φn2 … φnn ||
Эта матрица коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.
Xi = ∑aijXj + ∑φij∆Xj + Yi’ i=1…n (3.3)
Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определён в сравнении с (t-1)-м периодом (11,258):
Xi(t) = ∑aijXj(t) + ∑φij(Xj(t) – Xj(t-1)) + Yi’(t)
Отсюда можно записать следующие соотношения:
Xi(t) = ∑(aij+ φij) Xj(t) - ∑φij Xj(t-1) + Yi’(t) , i=1…n (3.4)
Пусть нам известны уровни валовой продукции всех отраслей в предыдущем периоде (величины Xj(t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения (3.4) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t-го периода.
Таким образом, решение динамической системы линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений φij, характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.
Эти более сложные по своему экономическому содержанию выводы из анализа динамической модели В. Леонтьева были опубликованы в форме дифференциальных уравнений в СССР в 1958 г. книге «Исследование структуры американской экономики».
Заключение
Межотраслевой баланс - это способ представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий.
Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.
В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты--выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты.
Подводя итоги реферата, следует отметить, что метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.
По мнению В. Леонтьева, межотраслевой анализ может служить основным инструментом стратегического планирования.
В настоящее время в национальной экономике существуют и продолжают возникать сложные проблемы, требующие межотраслевых обоснований. Использование же метода “затраты-выпуск” межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать следующие задачи:
Прогноз основных макроэкономических показателей (выпуск валового и конечного продукта, чистая продукция, материальные затраты, производственное потребление продукции и др. в разрезе отраслей материального производства) в зависимости от изменения как внешних, так и внутренних факторов; - прогноз оптовых цен продукции отраслей материального производства, уровня инфляции, стоимости потребительской корзины;
Прогноз уровня безработицы;
Прогноз экологической обстановки и оценка затрат на проведение природоохранных мероприятий; - оценка эффективности конкретных предложений по размещению производительных сил;
Оценка эффективности межтерриториальных экономических связей;
И многих других.
Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом.
Итак, в заключении реферата можно сделать вывод, что в отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.
Список использованной литературы.
1. Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Макроэкономика. Учебник. СПб.: СПбГУЭФ., 1999. – 656 с.
2. Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства: Учебное пособие / М.: Экономика, 1985. - 240 с.
3. Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики: Учебное пособие / М.: Экономика, 1988. - 352 с.
4. Леонтьев В.В. и др. Исследования структуры американской экономики: Теорет. и эмпир. анализ по схеме "затраты - выпуск" / Пер. с англ. М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.
5. Мэнкью Н.Г. Макроэкономика / Пер. с англ. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – 736 с.
