Основы финансовых вычислений простые проценты. Примем такие обозначения. Влияние инфляции на валютный курс
Развитие и усложнение финансовой теории и практики, расширение круга решаемых вопросов обусловили совершенствование методов финансовых вычислений – особой области знаний, которая дает целостную концепцию количественного финансового анализа условий и результатов финансово-кредитных и коммерческих сделок. Потребность в них возникает всякий раз, когда осуществляется инвестирование средств и затем поступление дохода с этих средств: при ссудных операциях, размещении средств в ценные бумаги, производственном инвестировании. В этих случаях встает задача приведения в соответствие размеров и сроков платежей со временем расчетов и правилами сделки. Разработанная для этих целей система аналитических формул и способов исчисления получила название «финансовая математика» .
Финансовая математика или финансовые вычисления представляют собой совокупность методов определения изменения стоимости денег, происходящего вследствие их возвратного движения (предоставления в долг) в процессе воспроизводства.
Главная роль финансовых вычислений заключается в том, что они позволяют эффективно осуществлять инвестиционную деятельность, проводить проектный анализ, управление финансами. Финансовые вычисления были созданы для оценки привлекательности вложения денег, поэтому их назначение состоит в том, чтобы рассматривать возможные варианты вложения денежных средств исходя из условий сделки, а также анализировать последствия уже произведенных расходов.
Финансовые вычисления позволяют решать следующие задачи:
· исчисление конечных сумм денежных средств, находящихся во вкладах, займах, ценных бумагах путем начисления процентов, а также оценка современной стоимости ожидаемых доходов;
· учет ценных бумаг;
· установление взаимосвязи между отдельными параметрами сделки и определение параметров сделки исходя из заданных условий;
· определение эквивалентности параметров сделки для получения равной отдачи от затрат, произведенных различными способами;
· анализ последствий изменений условий операции;
· исчисление обобщающих характеристик и отдельных параметров финансовых потоков;
· разработка планов выполнения финансовых операций;
· расчет показателей доходности финансовых операций и финансовых инструментов.
На практике финансовые вычисления применяются в банковском и сберегательном деле, страховании, в работе финансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж.
Чёткое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала. Главное из таких понятий – процентные деньги (далее – проценты), определение которых составляет сущность большинства финансовых расчётов.
Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.) либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентные ставки – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Величина получаемого дохода (т.е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (сроки доходности).
Наращение (рост) первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (доходов).
Множитель (коэффициент) наращения – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.
Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Существует две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов.
Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка, или что то же, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определённый интервал дохода к сумме, имеющегося на начало данного интервала.
Антисипативный способ (предварительный). Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учётной ставкой или антисипативным процентом.
В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применяется, как правило, в период высокой инфляции. При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной сумме долга), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).
В российской практике понятие ссудного процента и учётной ставки обычно не различаются и обозначаются собирательным термином «процентная ставка» (термин «учётная ставка» можно также встретить применительно к ставке рефинансирования Центрального банка и к вексельным операциям).
По мере развития рыночных отношений вопрос различия декурсивного и антисипативного методов начисления приобретает всё большую актуальность.
Финансовые вычисления используются для решения широкого круга задач: от простейших расчетов по начислению простых и сложных процентов, определению эквивалентности процентных ставок и до количественного анализа потоков платежей, эквивалентного изменениям параметров финансовых сделок, ранжирования вариантов инвестиций, разработки планов погашения долгосрочных кредитов и займов, оценке финансовой эффективности различных кредитных и коммерческих операций.
а) Определение текущей и будущей стоимости ренты
Рента - это серия периодически осуществляемых платежей. Примером потоков с платежами произвольной величины могут служить выплаты дивидендов по обыкновенным акциям, капиталовложения в долгосрочные активы и т.д. Расчет характеристик таких потоков представляет собой определенные вычислительные трудности. В финансовых расчетах обычно возникает вопрос определения обобщающих характеристик - наращенной суммы ренты и современной величины ренты. Наращенная сумма ренты представляет сумму всех периодических платежей с начисленными на них процентами к концу ее срока. Современная величина ренты - это сумма всех периодических платежей, дисконтированных на начало срока ренты.
Если рента состоит из платежей одинакового размера и они осуществляются через одинаковые промежутки времени, то количество денег, которое может быть инвестировано в ренту, определяется по формуле текущей стоимости ренты (постнумерандо):
PV = Rс + Rс +…..+ Rс, (1)
(1+ i) (1+ i)2 .... (1+ i)n
или:
PV = ? Rс,
(1+ i)n
или:
PV = Rс - 1 Rс, (1а)
i (1+ i)n i
где PV - текущая стоимость ренты;
Rс - ежегодные выплаты равными суммами; (член ренты)
i - процентная ставка (коэффициент окупаемости капиталовложений, предпочтительный для инвестора).
Пример. Компания сдает в аренду имущество сроком на 5 лет, арендная плата составляет 50 млн руб. в год, определен барьерный коэффициент рентабельности в 20%. Следовательно, общая сумма платежей за 5 лет составит 250 млн руб. Текущая стоимость арендной платы cоставит:
PV = 50 - 1 50 = 149,5 млн.руб.
0,2 (1+ 0,2)5 0,2
Для расчета будущей стоимости обыкновенной ренты (постнумерандо) применяется формула:
FV = R ? (1+ i)n, (2)
или
FV = R (1+ i)n - 1 , или: FV = R (1+ i)n -R , (2а)
iii
где FV - будущая стоимость аннуитета;
R - ежегодные вклады равными суммами; (член ренты)
i - процентная ставка (коэффициент наращивания капиталовложений, предпочтительный для инвестора).
Подобные расчеты в страховании называют актуарными. Они позволяют рассчитать объем потоков денежных средств, накопленную сумму страхового фонда и т.д.
Пример. Для погашения пакета облигаций, выпущенных на 5 лет, создается погасительный фонд при ежегодных платежах по 20 млн руб., на которые начисляются проценты по ставке 10%. Определим итоговую (наращенную) сумму при условии, что проценты начисляются один раз в год.
FV = 20 (1 +0,l)5 -20 =1,61051х200-200= 122,102 млн руб.
0.10.1
Таким образом, по истечении 5 лет предприятие накопит 122,1 млн руб. для погашения пакета выпущенных облигаций.
б) Расчет текущей стоимости и доходности ценных бумаг
Напомним, что стоимость ценной бумаги это абсолютная величина. Различают: номинальную и рыночную стоимость.
Доходность - это относительная величина: в общем виде это отношение дохода от данного финансового актива к объему инвестиций. Различают купонную и текущую доходность, доходность к сроку погашения.
Текущая рыночная стоимость любой ценной бумаги в общем виде может быть рассчитана по следующей формуле:
РV = ? CFп, (1)
(1+ r)n
где CFп - ожидаемый денежный поток в п -периоде;
r- приемлемая норма доходности.
Таким образом, подставляя в эту формулу предполагаемые поступления, норму дохода и период прогнозирования, можно рассчитать текущую стоимость любого финансового актива. Приемлемая норма доходности может устанавливаться инвестором следующими способами:
* в размере процентной ставки по банковским депозитам;
* исходя из процента, выплачиваемого банком вкладчику за хранение его средств, и надбавки за риск инвестирования в данный финансовый актив;
* исходя из процента, выплачиваемого по правительственным облигациям, и надбавки за риск.
Традиционные методы экономической статистики
6. Методы финансовых вычислений
Финансовые вычисления, базируются на понятии временной стоимости денег, являются одним из краеугольных элементов финансового анализа и используются в различных его разделах.
a. Временная ценность денег.
Переход к рыночной экономике на предприятиях как реального, так и финансового секторов сопровождается появлением некоторых новых видов деятельности, имеющих для благополучия предприятия принципиальный характер. К их числу относится задача эффективного вложения денежных средств. Можно выделить, как минимум шесть основных моментов:
ь Были упразднены многие ограничения, в частности, нормирование оборотных средств, что автоматически исключило один из основных регуляторов величины финансовых ресурсов на предприятии.
ь Кардинальным образом изменился порядок исчисления финансовых результатов и распределения прибыли. С введением новых форм собственности стало невозможным изъятие прибыли в бюджет волевым методом, как это делалось в отношении государственных предприятий, благодаря чему у предприятий появились свободные денежные средства.
ь Произошла существенная переоценка роли финансовых ресурсов.
ь Появились принципиально новые виды финансовых ресурсов, в частности, возросла роль денежных эквивалентов, в управлении которыми временной аспект имеет решающее значение.
ь Произошли принципиальные изменения в вариантах инвестиционной политики.
ь В условиях свойственной переходному периоду финансовой нестабильности, проявляющейся в устойчиво высоких темпах инфляции и снижении объемов производства, стало невыгодным хранить свои деньги даже в государственном банке. Многие предприятия на своем опыте познали простую истину: в условиях инфляции денежные ресурсы, должны обращаться, и по возможности быстрее.
Таким образом, деньги приобретают еще одну характеристику- временную ценность. Этот параметр можно рассматривать в двух аспектах:
ь Связан с обесценением денежной наличности в течением времени;
ь Связан с обращением капитала.
b. Операции наращивания и дисконтирования.
Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя- прироста (FV-PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости а пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальных коэффициентом- ставкой.
Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом наращивания, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращивания. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае идет движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему.
c. Процентные ставки и методы их начисления.
Ссудозаемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе расчетов при анализе эффективности ссудозаемных операция заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а так же вариантов предоставления и погашения ссуд.
Понятие простого и сложного процента.
Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:
ь Схема простых процентов;
ь Схема сложных процентов.
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.
По схеме сложного процента очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.
Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:
ь Более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года;
ь Более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
ь Обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.
Внутригодовые процентные начисления.
В практике финансовых операций нередко оговаривается не только величина годового процента, но и количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки. Одно из характерных свойств наращивания по простым процентам заключается в том, что наращенная сумма не изменяется с увеличением частоты начислений простых процентов.
Начисление процентов за дробное число лет.
Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним их двух методов:
ь По схеме сложных процентов:
F n =P*(1+r) w+f ;
ь По смешанной схеме:
F n = P*(1+r) w *(1+f*r),
Где w- целое число лет;
f- дробная часть года.
Встречаются финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:
ь Схема сложных процентов:
ь Смешанная схема:
где w- целое число подпериодов в n годах;
f- дробная часть подпериода;
m- количество начислений в году;
r- годовая ставка.
Непрерывное начисление процентов.
Все рассмотренные ранее начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени. Уменьшая этот промежуток и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.
Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки - д и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:
Эффективная годовая процентная ставка.
Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая ставка. Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом числа начислений сложных процентов она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку.
Анализ реализации продукции и финансовых результатов ОАО "Планета"
Основную часть убытка в 2003 г. ОАО «Планета» получило от реализации своей продукции. В целом по предприятию прибыль от реализации продукции зависит от 4-х факторов: объема реализации продукции (VРП), её структуры (УДi)...
Анализ себестоимости продукции предприятия (на примере ОАО "ЕПК-Самара")
Существуют следующие методы группировки затрат - по экономическим элементам и по калькуляционным статьям. Затраты, образующие себестоимость продукции...
Анализ финансовых показателей деятельности предприятия на примере МКП "Бытовик"
Анализ финансовых показателей деятельности предприятия является необходимым элементом в системе функций управления предприятием, поскольку без него не могут реализоваться и многие другие функции...
Анализ хозяйственной деятельности предприятия общественного питания
Под финансовым результатом от обычных видов деятельности понимается прибыль (убыток) от операций, являющихся предметом основной деятельности организации...
Коммерческий Банк - основное звено рыночного хозяйства, его характеристика как многоцелевой системы. Основные показатели деятельности
Оценка финансовой устойчивости предприятия
Чтобы успешно управлять финансами, достигать желаемых результатов необходимо знать: Внутренние проблемы соответственного предприятия (производимые продукты, технологические возможности, издержки производства, рентабельность и т.п...
Планирование основных технико-экономических и финансовых показателей ООО "Афанасьева"
Финансовые результаты деятельности предприятия оцениваются с помощью абсолютных и относительных показателей. К абсолютным показателям относятся прибыль (убыток) от реализации продукции (работ, услуг), прибыль (убыток) от прочей реализации...
Прогноз экономического развития предприятия ООО "У Каравая"
прогнозирование экономическое управление развитие Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков...
Прогнозирование и планирование
Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков...
Пути улучшения финансовых результатов деятельности предприятия ООО "ЦАПП"
Финансовые результаты - это итоги хозяйственной деятельности компании и ее подразделений, выраженные в виде финансовых показателей, таких, как прибыль (убытки) и рентабельность. Различные стороны производства, бытовой...
Способы и методы снижения рисков
Термин «хеджирование» в переводе с английского языка означает «ограждение» и широко используется в банковской, биржевой и коммерческой деятельности для обозначения различных методов страхования...
Стратегия восстановления платежеспособности
Все хозяйствующие субъекты независимо от форм собственности вступают в определенный период в отношения с государственными органами и банками, предприятиями поставщиками и потребителями и т.д...
Экономика здравоохранения и сфера медицинских услуг
Здравоохранение может действовать в рамках различных систем финансирования. В качестве основных источников финансовых ресурсов для здравоохранения выступают бюджетные средства, средства медицинского страхования...
Экономический анализ издержек обращения торгового предприятия
Показатели финансовых результатов характеризуют эффективность хозяйствования предприятия в абсолютном выражении. Важнейшими среди них являются показатели прибыли. Горизонтальный анализ абсолютных показателей, приведенных в таблице 7...
Экономический анализ предприятия на примере ЗАО "Мираж"
Министерство высшего образования РФ
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
по дисциплине «Финансовые вычисления»
Учебное пособие: Красина Ф.А.
Вариант № 1
Выполнил студент
Специальность 80100
Максаева Татьяна Петровна
г.Томск 2014
Задача 1 .
Предприниматель поместил в банк в сумме 500 тыс. руб. по 10 % годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму он будет получать каждый квартал? Как изменится сумма к получению при выплате простых процентов каждый месяц?
Решение:= 4= 10% = 0,10
По формуле FV = PV(1+nr), имеем:
FV = 500(1 + 0,10/4) = 500*1,025 = 512,5 тыс. руб.
Клиент каждый квартал будет получать сумму F - P = 512,5 - 500 = 12,5 тыс. руб.
При выплате простых процентов каждый месяц m = 12 сумма к получению за квартал составит: FV = 500(1 + 3*0,10/12) = 500*1,025 = 512,5 тыс. руб.
Следовательно, при выплате простых процентов сумма одинакова при выплате процентов ежемесячно или ежеквартально.
10 апреля предприниматель получил ссуду в банке под простую учетную ставку 20 % годовых и должен возвратить 18 ноября того же года 750 тыс. руб. Определить точным и приближенным способами сумму, полученную клиентом.
Решение:= 750= 0,20
Для решения воспользуемся формулой наращения по простой учетной ставке:
Pn = F(1 - d * t/T)
используя обыкновенный процент с точным числом дней:= 322 - 100 = 222 дня, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 222/360) = 657,5 тыс.руб.
) используя обыкновенный процент с приближенном числе дней:= 7 * 30 + 8 = 218 дней, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 218/360) = 659,17 тыс.руб.
) используя точный процент с точным числом дней:= 322 - 100 = 222 дня, получаем: P = 750(1 - 0,20 * 222/365) = 658,77 тыс.руб.
3. Предприниматель получил ссуду в банке в размере 20 млн руб. сроком на 5 лет <#"justify">4. Вексель на сумму 800 тыс. руб. учитывается за 2 года до срока погашения. Какую сумму получит предъявитель векселя при учете по сложной учетной ставке 20 % годовых?
Используем формулу наращения по сложной учетной ставке: P = F(1 - d)n= 800(1 - 0,2)2 = 800 * 0,64 = 512 тыс. руб.
Предъявитель вексель получит сумму 512 тыс.руб.
Банк учитывает вексель за 300 дней до срока погашения по сложной учетной ставке 10 % годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, если используется временная база 365 дней и банк хочет получить такой же доход?
Для определения эквивалентности простой годовой ставки находим формулу, приравнивая соответствующие множители наращения.
P = F(1 - d*t/T) получим P = F(1 - 0,1 - 300/360) = 0,83F
Для нахождения искомой ставки воспользуемся формулой:
d = т.е. 16,9%
Следовательно, должна быть применена простая годовая процентная ставка 16,9%.
6. Три платежа: 10 000 долл., срок погашения 15 мая; 20 000 долл., срок погашения 15 июня; 15 000 долл., срок погашения 15 августа заменяются одним платежом со сроком погашения 1 августа на основе простой процентной ставки. Определить сумму нового платежа.
000 долл., срок погашения в течении -15дней (с 15августа на 1 августа)=10000(1-78/360)+20000(1-48/360)+15000(1+15/360)=
7833,33+17333,33+15625=40791,66
На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Вычислить годовую номинальную процентную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 12 %.
Сначала найдем индекс инфляции за год.
Обозначим среднемесячный индекс инфляции, тогда = (1 + 12/3) = 1,04. Тогда индекс инфляции за год составит:
= ()12 = (1,04)12 = 1,60103.
Пусть r - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда значение ставки, лишь нейтрализующие действие инфляции, находится из равенства:
Тогда искомая процентная ставка за полгода должна быть больше,
чем r = - 1 = 1,60103 - 1 = 0,60103, т.е. 60,103%.
а) При начислении процентной ставки раз в полгода, для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение: (1 + r2/2)2 = откуда:
r2 = 2() = 2() = 0,530638036992, т.е. 53,06%.
б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение:
(1 + r4/4)4 = , откуда: = 4(- 1) = 4(- 1) = 0,499, т.е. 49,9%
в) при ежемесячном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, следует решить уравнение:
(1 + r12/12)12 = , откуда: = 12(- 1) = 12(- 1) = 0,479998, т.е. 47,9998%.
В банк на депозит внесено 5000долл, срок депозита - полгода, простая ссудная ставка равна 5% годовых. Ставка налога на начисленные проценты равна 3%. Определить наращенную сумму с учетом налога на проценты и реальную доходность финансовой операции.
5000; n = 0,5; t= 0,03; r=0,05
Наращенная сумма с учетом налога на проценты составит 5121 долл.,
Страховая компания заключила договор с предприятием на 5 лет <#"27" src="doc_zip19.jpg" />
процент ставка доход
FVpst = А * FM3(10%,5) = 800 ? ((1 + 0,10)5 + (1 + 0,10)4 + (1 + 0,10) 3+(1 + 0,10)2 + (1 + 0,10))=5368 тыс. руб.
б) найдем сумму получаемую компанией по данному контракту по формуле: но с учетом того что платеж имеет размер 800/2 = 400 тыс.руб., а процентная ставка на полгода 10/2 = 5%.
FVpst = 400 * FM3(5%,6) =400 ? ((1 + 0,05)6 + (1 + 0,05)5 + (1 + 0,05)4+(1 + 0,05)3 + (1 + 0,05)2 + (1 + 0,05))=2856 тыс. руб.
в) найдем сумму получаемую компанией по данному контракту по формуле: но с учетом того что платеж имеет размер 800/4 = 200 тыс.руб., а процентная ставка на квартал 10/4 = 2.5%.
FVpst = 200 * FM3(2.5%,4) =200 ? ((1 + 0,025)4 + (1 + 0,025)3 + (1 + 0,025)2+(1 + 0,025)) =850.8 руб.
Раз в полгода делается взнос в банк по схеме постнумерандо в размере 500долл. Банк ежемесячно начисляет сложные проценты по ставке 8% годовых. Какая сумма будет на счете через 5 лет?
При А=500 r=0.67% n=10
500*10,37=5183,35 долл.
Через 5 лет на счету накопится 5183350 долл.
Репетиторство
Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку
с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.
Логика финансовых вычислений. Финансовыми вычислениями называются расчеты, производимые с данными, выраженными в стоимостной оценке, или производными от них (к числу последних относятся, например, показатели эффективности и статистические финансовые индикаторы). Как и любые расчеты, выполняемые для обоснования управленческих решений в бизнес-среде, финансовые вычисления в основном ориентированы на показатели эффекта и (или) эффективности. Вместе с тем им присуща одна особенность: непреложным элементом подавляющего большинства алгоритмов, выполняемых с помощью финансовых вычислений, является учет фактора времени. Иными словами, финансовые вычисления базируются на следующем, вполне естественном и легко обосновываемом тезисе: время есть экономическая категория, «генерирующая» деньги (или, что эквивалентно: деньгам присуща временная ценность). В подтверждение приведенного тезиса можно составить следующую цепочку довольно очевидных утверждений:
любое решение финансового характера (т. е. финансовая операция) должно основываться на принципе экономической целесообразности;
одним из акцентированных выражений упомянутой целесообразности является получение дохода от осуществления финансовой операции;
следствием неиспользования (бездействия) любого ресурса (в том числе и денежных средств) является прямой или косвенный убыток (потеря);
в приложении к денежным средствам косвенный убыток (потеря) проявляется: а) в неполучении дохода, который мог бы быть сгенерирован, если бы эти средства были пущены в оборот; б) в обесценении денежных средств (т. е. покупательная способность денежной единицы в условиях инфляции, которая, как правило, всегда сопутствует экономическому развитию, с течением времени снижается);
таким образом, денежные средства не должны бездействовать, а целесообразность типовой финансовой операции должна определяться исходя из критерия эффективности с учетом фактора времени.
В общей совокупности действий по управлению фирмой, выполняемых различными представителями менеджерского корпуса, роль финансового менеджера (аналитика) в технологическом аспекте сводится, во-первых, к финансово-аналитическому обоснованию целесообразности тех или иных хозяйственных операций и, во-вторых, к подготовке и осуществлению финансовых операций. Понятно, что совокупность хозяйственных операций гораздо шире, нежели совокупность финансовых операций: первые имеют отношение к любым аспектам деятельности фирмы, тогда как вторые касаются лишь финансовых активов и обязательств. Техника финансовых вычислений применима в обоих случаях, а возможность ее практического приложения обосновывается следующими утверждениями:
как и любые ресурсы предприятия, денежные средства должны эффективно использоваться, т. е. с течением времени приносить определенный прямой или косвенный доход;
практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов (денежных средств);
в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия растянуты во времени;
с каждой операцией можно увязать некоторый фактический или условный денежный поток;
элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без определенных преобразований не сопоставимы;
преобразования элементов денежного потока в сопоставимый вид осуществляются путем применения операций наращения и дисконтирования;
наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с различными параметрами.
Как уже упоминалось, в основе финансовых вычислений - понятие временной ценности денег, которое может быть выражено простой сентенцией: рубль «сегодня* более ценен, чем тот же самый рубль, но «завтра». Между рублем «сегодня» и рублем «завтра» есть существенное различие: первый находится в распоряжении лица, им обладающего, а потому этот рубль может использоваться им в целях потребления; второй лишь ожидается, причем не исключено, что в силу ряда причин рубль «завтра» так и не будет получен. Именно этим обстоятельством отчасти и предопределяется различие в ценности этих рублей. Однако рисковость - не единственная причина. Вторая причина - плата за отказ от потребления. Если собственник рубля «сегодня» отказывается от его использования в целях потребления (например, отдает его взаймы), то он вправе ожидать, что этот отказ будет поощрен возвратом не того же самого рубля, а рубля с некоторой добавкой. Таким образом, действительно при определенных обстоятельствах время может приносить доход.
Различие между рублем «сегодня» и рублем «завтра» распространяется и на произвольные суммы, относящиеся к разным моментам времени. А именно: денежным суммам 50 и 5Ь относящимся соответственно к моментам времени («сегодня») и («завтра»), свойственна временная несопоставимость - в частности, если аналитиком принимается во внимание вполне естественная предпосылка о временной ценности денежных средств, то непосредственное суммирование величин 5о и недопустимо.
Наращение и дисконтирование. В финансовых расчетах временная несопоставимость и плата за отказ от потребления учитываются с помощью операций наращения и дисконтирования. Операция наращения осуществляет переход от «сегодня» к «завтра» (т. е. 50 приводится к виду, сопоставимому с операция дисконтирования - наоборот (т. е. 51 приводится к виду, сопоставимому с 50). Этот переход осуществляется с помощью некоторой процентной ставки г:
Несложно понять, что наращение и дисконтирование - суть взаимообратные процедуры. Смысл этих операций и суммовых величин, в них участвующих, таков: .Р50 - это «завтрашний» аналог «сегодняшней» суммы 50 (50 как бы смещена в точку а Р51 - это «сегодняшний» аналог «завтрашней» суммы 51 (51 как бы смещена в точку?0)- Поэтому величины о и 51 уже сопоставимы между собой - они относятся к моменту?1 и их можно суммировать; точно так же сопоставимы между собой величины 5о И Р51 - ОНИ ОТНОСЯТСЯ К моменту?() Приведенные формулы расчета относятся к некоторому периоду (?1 - ?0)> называемому базисным. В случае когда этот период дробится на некоторое число равных подпериодов, формулы расчета несколько усложняются.
Как видно из (4.1), экономический смысл финансовой операции наращения состоит в определении величины той суммы ^50, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции, если исходная сумма равна 50. Раскрыв скобки в (4.1), получим:
Отсюда видно, что по окончании операции возвращается не только отложенная для целей потребления сумма 50, но и некая добавка. Поскольку 50 г > 0, видно, что время генерирует деньги или, что равнозначно, деньги имеют временную ценность. Отсюда же следует, что ставка г характеризует величину временной ценности: чем больше значение ставки, тем больше наращение. Ставка г как бы уравнивает величины 50 и ^50: владельцу суммы 50 безразлично, иметь ли 50 «сегодня» или отдать ее во временное пользование и получить ^50 «завтра»; эти суммы для него одинаковы по своей ценности. Поскольку наращение и дисконтирование взаимообратны, несложно построить подобную цепочку рассуждений и для дисконтирования.
С помощью (4.1) можно дать наглядную интерпретацию ставки г. Для этого перепишем (4.1) следующим образом:
Отсюда видно, что ставка г представляет собой отношение приращения от финансовой операции (т. е. полученного эффекта) к исходной величине исходного капитала; это показатель эффективности операции - ее доходность.
Таким образом, в типовой операции наращения (или дисконтирования) присутствует четыре величины, три из которых заданы, а четвертая ими определяется исходя из применяемой схемы начисления процентов. Так, в случае наращения к заданным величинам относятся: сумма РУ (сумма «сегодня»), процентная ставка г и количество базисных интервалов п\ сумма № (сумма «завтра») будет рассчитываться по некоторому алгоритму наращения. В случае дисконтирования к заданным величинам относятся: сумма /V(сумма «завтра», т. е. величина, ожидаемая к получению), процентная ставка г и количество базисных интервалов п; сумма РУ (сумма «сегодня», т. е. стоимостная оценка ожидаемой величины ^У) будет рассчитываться по некоторому алгоритму дискон тирования. Заметим, что в качестве определяемой может выступать любая из четырех упомянутых величин. Схематично операции наращения и дисконтирования представлены на рис. 4.1. Сделаем несколько замечаний к рисунку.
Во-первых, как показано на рис. 4.1, временные моменты, в которых находятся соответственно менеджер (аналитик), сумма PV и сумма FV, не совпадают. В большинстве практических задач чаще всего аналитик и сумма PV находятся в одной точке временной оси - точке 0. Во-вто- рых, наращение (дисконтирование) может выполняться с использова-нием различных схем начисления процентов, что сказывается на значе-нии зависимой (определяемой) величины. В-третьих, возможно варьи-рование не только схемами начисления, но и другими параметрами (на-пример, ставкой г). В-четвертых, хотя PV и FV при г > 0 разнятся по величине, для аналитика они равны (точнее, равнозначны) по своей ценности.
Уместно заметить, что идея наращения и дисконтирования имеет давнюю историю. Таблицы сложных процентов были впервые разработаны и опубликованы математиками Я. Тренченом (Jan Trenchant) и С. Стевином (Simon Stevin, 1548-1620) соответственно в 1558 и 1582 годах, причем именно Стевин как раз и высказал идею о возможности использования чистой дисконтированной стоимости для оценки финансовых инвестиций . Однако лишь в конце XIX в. эта идея получила активное развитие в работах экономистов. Так, в 1887 г. американский инженер А. Веллингтон (A. Wellington) опубликовал работу «Экономическая теория размещения железных дорог», в которой предложил подход к обоснованию целесообразности строительства новой дороги на основе сопоставления дисконтированных значений прогнозных притоков и оттоков денежных средств. В 1891 г. английский бухгалтер Ф. Mop (Francis More) впервые предложил оценивать гудвилл исходя из генерируемых им дополнительных доходов [Каш, р. 401-403]. Идея дисконтирования активно ис пользовалась А. Маршаллом (Alfred Marshall, 1842-1924) и И. Фишером (Irving Fisher, 1867-1947) при изложении логики и техники бюд-жетирования капиталовложений и оценки инвестиционных альтернатив.
Процентные ставки и схемы начисления. Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема простых и схема сложных процентов.
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р] требуемая доходность - г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р г. Таким образом, размер инвестированного капитала через п лет (Rn) будет равен:
Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, величина инвестированного капитала FVn к концу п-то года будет равна:
Несложно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:
более выгодной является схема простых процентов, если срок кредита менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);
более выгодной является схема сложных процентов, если срок кредита превышает один год (проценты начисляются ежегодно);
обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным кредитам (срок погашения до одного года). В этом случае в качестве показателя п в формуле (4.3) берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год).
Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.
Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя (1 +г)я, называемого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений г и п (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в книге, можно найти в приложении 3). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:
Экономический смысл множителя FMI (г,п) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через п периодов от «сегодня» при заданной процентной ставке г. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.
Множитель FMl(r,n) отражает наращение; в инвестиционно-финансовом анализе используется также и его противоположность - дисконтирующий множитель для единичного платежа. Базовая расчетная формула для анализа с помощью дисконтированных оценок является следствием формулы (4.5)
Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через п лет (FVn) с позиции «сегодня» (например, текущего момента) будет меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означа ет также, что для инвестора сумма Р в данный момент времени и сумма Л^ через п лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет.
Значения множителя FA^2(r,n) также табулированы, а его экономический смысл заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» ценность одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции «сегодня» равна одна денежная единица (например, один рубль), циркулирующая в сфере бизнеса п периодов спустя от «сегодня», при заданных процентной ставке (доходности) г и частоте начисления процента: Напомним еще раз, что дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим моментом (см. рис. 4.1).
В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговариваются величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле ис-ходной годовой ставки, по формуле
Поскольку / (1 + г/, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.
В финансовых контрактах могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. При этом, как правило, оговаривается номи-нальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравни-тельный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая про-центная ставка ге, обеспечивающая переход от Р к при заданных зна-чениях этих показателей и однократном начислении процентов и рас-считываемая по формуле
Из формулы (4.10) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1. Именно ставка ге является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.
Денежные потоки и их оценка. Одним из основных элементов ин-вестиционно-финансового анализа является оценка денежного потока С?г,С?т генерируемого в течение ряда временных периодов в ре-зультате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока С^ могут быть либо незави-симыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты изложения материала допускается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т. е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток на-зывается потоком пренумерандо, или авансовым, во втором - потоком постнумерандо (рис. 4.2).
На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать, исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распре-
Делено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).
Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока: к каждому элементу потока применяется формула (4.5). Поэтому будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо РУрз(рассчитывается по формуле
Для наглядности приведем пример типовой ситуации, когда возникает необходимость решения прямой задачи. Предприниматель имеет возможность делать периодические взносы в банк в течение длительного периода и пытается оценить, какая сумма будет накоплена им к концу этого периода. Подобные расчеты и представляют собой пример решения прямой задачи.
Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока: к каждому элементу потока применяется формула (4.6). Поэтому дисконтированная стоимость ис-ходного денежного потока постнумерандо РУрз(рассчитывается по фор-муле
Несложно показать, что для потоков пренумерандо формулы (4.11) и (4.12) трансформируются следующим образом:
Оценка аннуитета. Возможны два варианта его определения. Со-гласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно элементы денежного потока одинаковы по ве-личине СРХ = СЕ2 = ... = СРп = А (именно этот подход является более распространенным на практике). Для оценки будущей и дисконтиро-ванной стоимостей аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.
В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регулярного поступления (Л), продолжительности аннуитета - п периодов и соответствующей базисному периоду процентной ставке г можно воспользоваться формулами (4.15) и (4.16)
Экономический смысл РМЗ(г,п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Значения множителя зависят лишь от процентной ставки (г) и срока действия аннуитета (п), причем с увеличением каждого из этих параметров величина РМЗ(г,п) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний г и п можно табулировать.
Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться формулами (4.18) и (4.19)
Экономический смысл?М\(гуп), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регуляр-ными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п равных периодов с задан-ной процентной ставкой г. Значения этого множителя также табулиро-ваны.
При выполнении некоторых расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение для аннуитетов постнумерандо и пренумерандо делается на основе формул
Следует обратить внимание читателя на следующее обстоятельство. Во всех приведенных формулах оценивания ключевым параметром яв-ляется процентная ставка г, играющая роль либо ставки наращения, либо ставки дисконтирования. Ее экономический смысл таков: г равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал. Поскольку инвестиционные возможности различных инвесторов (аналитиков) не одинаковы, каждый из них закладывает в модель оценки свое значение ставки - отсюда появляется множественность стоимостных оценок на финансовом рынке, что и приводит к операциям купли/продажи финансовых активов. Ставку г можно представить состоящей из двух частей:
Отсюда видно, что значение ставки может варьировать даже у одного инвестора - если, по его мнению, два оцениваемых актива различаются рисковостью, значения ставки г, используемые для их оценки, будут различными.
