Главная Приказы Исследование операций в экономике теория. Геометрический метод решения матричной игры. Раздел ii модели нелинейного программирования

Исследование операций в экономике теория. Геометрический метод решения матричной игры. Раздел ii модели нелинейного программирования

МЕТОД - совокупность приемов и способов теоретического познания или практического освоения действительности. Например, в области познания существуют следующие методы: наблюдение, эксперимент, идеализация, аналогия, индукция, дедукция, анализ, синтез, формализация и пр.

Словарь терминов и понятий по обществознанию. Автор-составитель А.М. Лопухов. 7-е изд. переб. и доп. М., 2013, с. 216.

Научный метод

НАУЧНЫЙ МЕТОД (от др.-греч. μέθοδος - способ, путь познания). Выделяются два подхода (стратегический и тактический) к дефиниции научного метода: 1) метод как способ, средство достижения цели и задач исследования; 2) метод как система принципов, правил, приемов и процедур познания. Структура научного метода включает: методологические подходы и принципы; процедуры и операции, направленные на сбор, регистрацию, хранение, поиск, систематизацию и преобразование информации. Основу научного метода, по мнению большинства исследователей, составляют подходы и принципы (теория метода). Подход определяет основной путь решения исследовательской задачи, т. е. раскрывает стратегию исследования. В современной исторической науке используются различные подходы - эволюционный, системный, структурно-функциональный, модельный, цивилизационный, формационный и проч. Все методологические подходы связаны с определенными теориями познания...

Методы исторического исследования

МЕТОДЫ ИСТОРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - 1) категория частнонаучных методов, используемых в исторической науке; 2) вспомогательная историческая дисциплина, объектом исследования которой выступают методы исторического исследования, их информационный потенциал, возможности и ограничения, методологические и методические вопросы реализации. В исторической науке при определении содержания методов исторического исследования выделяется два подхода: 1) акцент делается на их тесную связь с изучением исторических источников: под историческими методами подразумеваются приемы критики исторических источников, прежде всего письменных...

Классификации метод

КЛАССИФИКАЦИИ МЕТОД - 1) процесс отнесения (распределения) классифицируемого объекта к определенной группе (разделу) на основе нахождения у объекта заданного признака; 2) система классов, предназначенных для характеристики качественно однородной совокупности предметов (понятий). В исторической науке метод классификации используется для систематизации и анализа исторических явлений (источников, массовых объектов) и представляет собой последовательность логических процедур: определение объекта классификации; обоснование принципа (основания) деления; выделение разделов классификации. Классификация должна отвечать требованиям однозначности, всеобщности и единства основания...

Вспомогательные методы исторического исследования

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИСТОРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ - методы исторического исследования, разработанные в рамках вспомогательных исторических дисциплин, которые выступают в качестве самостоятельных отраслей исторической науки, обладающих своим объектом и предметом исследования и ориентированных на изучение определенных видов исторических источников или их свойств.

Метод (Шапарь, 2009)

МЕТОД (метод исследования) (греч. methodos) - способ организации деятельности, обосновывающий нормативные приемы осуществления научного исследования. Путь исследования, вытекающий из общих теоретических представлений о сущности изучаемого объекта. Сюда относятся и самые общие принципы, лежащие в основе познания и практики, и вполне конкретные приемы обращения с тем или иным предметом - понятие метода распространяется на различные области практики.

Метод (Грицанов, 1998)

МЕТОД (греч. methodos - путь к чему-либо, прослеживание, исследование) - способ достижения цели, совокупность приемов и операций теоретического или практического освоения действительности, а также человеческой деятельности, организованной определенным образом. М. в науке - это также и заданный сопряженной гипотезой путь ученого к постижению предмета изучения. В границах античной философии было впервые обращено внимание на взаимосвязь результата и М. познания. Систематическое исследование М. связано с генезисом экспериментальной науки.

Метод (Райзберг, 2012)

МЕТОД - способ поиска, выработки, построения, обоснования, передачи новых знаний, умений, совокупности процедур и операций теоретического и эмпирического познания, освоения реальной действительности, преобразования и использования всего сущего. В экономике и социологии широко используются исторический, сравнительный, генетический, статистический, опросно-наблюдательный, документальный, модельный, математический, эвристический методы.

Райзберг Б.А. Современный социоэкономический словарь. М., 2012, с. 277.

Метод аксиоматический

МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ - способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые ее положения - аксиомы или постулаты, из которых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых доказательствами. Правила, по которым должны проводиться эти рассуждения, рассматриваются в логике - в учении о дедукции-, все понятия, с которыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа первоначальных понятий), вводятся на основе определений, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия.

1. Предмет и задачи исследования операций в экономике. Основные понятия теории исследования операций.

Предмет исследования операций - системы организационного управления или организации, которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений не всегда согласующихся между собой и могут быть противоположны.

Цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации называется оптимальным, а решение наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям будет субоптимальным.

Исследование операций - наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Оптимальным называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими.

Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения.

Множеством допустимых решений называются заданные условия, которые фиксированы и не могут быть нарушены.

Показатель эффективности - количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности.

2. Понятие о сетевом планировании и управлении. Сетевая модель процесса и ее элементы.

Метод работы с сетевыми графиками – сетевое планирование – базируется на теории графов. В переводе с греческого граф (grafpho – пишу) представляет систему точек, некоторые из них соединены линиями – дугами (или ребрами). Это топологическая (математическая) модель взаимодействующих систем. С помощью графов можно решать не только задачи сетевого планирования, но и другие задачи. Метод сетевого планирования применяется при планировании проведения комплекса взаимосвязанных работ. Он позволяет наглядно представить организационно-технологическую последовательность выполнения работ и установить взаимосвязь между ними. Кроме этого, он позволяет обеспечить координацию операций различной степени сложности и выявить операции, от которых зависит продолжительность всей работы (т.е. организационного мероприятия), а также сосредоточить внимание на своевременном выполнении каждой операции.

Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основные понятия сетевой модели:

Событие, работа, путь.

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени.

Путь - это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

3. Построение и упорядочивание сетевого графика.

В качестве модели, отражающей технологические и организационные взаимосвязи процесса производства строительно-монтажных работ в системах сетевого планирования и управления (СПУ), используется сетевая модель.

Сетевой моделью называется графическое изображение процессов, выполнение которых приводит к достижению одной или нескольких поставленных целей, с указанием установленных взаимосвязей между этими процессами. Сетевой график представляет собой сетевую модель с расчетными временными параметрами.

Структура сетевого графика, определяющая взаимную зависимость работ и событий, называется его топологией.

Работа - это производственный процесс, требующий затрат времени, труда и материальных ресурсов, который при его выполнении приводит к достижению определенных результатов.

Зависимость (фиктивная работа), не требующая затрат времени изображается пунктирной стрелкой. Фиктивная работа используется в сетевом графике для отражения связей между событиями и работами.

В сетевом графике применяются временные, стоимостные и другие характеристики работ.

Продолжительной работы – время выполнения данной работы в рабочих днях или других единицах времени, одинаковых для всех работ сетевого графика. Продолжительность работ может быть как определенной (детерминированной), так и случайной величиной, задаваемой законом ее распределения.

Стоимость работы – это прямые затраты, необходимые для ее выполнения, зависящие от длительности и условий выполнения этой работы.

Ресурсы характеризуются потребностью в физических единицах, необходимых для выполнения данной работы.

Качество, надежность и другие показатели работ служат дополнительными характеристиками работ.

Событие - это факт окончания одной или нескольких работ, необходимый и достаточный для начала одной или нескольких последующих работ. Каждому событию присваивается номер, называемый кодом. Каждая работа определяется двумя событиями: кодом начального события, обозначаемого i и кодом конечного события, обозначаемого буквой j.

События, не имеющие предшествующих работ, называются начальными; события, не имеющие последующих – конечными.

1 Направление построения сети может иметь различный характер. Сетевой график может строиться от начального события к завершающему и от завершающего к исходному (начальному), а также от любого из событий к исходному или конечному.

2 При построении сети решаются вопросы:

Какие работы (работу) необходимо выполнить, чтобы начать данную работу;

Какие работы целесообразно выполнять параллельно с данной работой;

3 Первоначальный сетевой график строится без учета продолжительности работ, составляющих сеть.

4 Форма графика должна быть простой и зрительно легко воспринимаемой.

5 Между двумя событиями может заключаться только одна работа. При строительстве зданий и сооружений работы могут выполняться последовательно, параллельно или одновременно, часть последовательно, а часть параллельно, в результате чего между отдельными работами складываются различные зависимости.

Нумерация (кодирование) событий производится после окончания построения сети, начиная от исходного события до конечного.

4. Критический путь сетевого графика. Резервы времени. Ранние и поздние сроки событий и работ в сетевом графике.

В сетевом графике между начальным и конечным событиями может быть несколько путей. Путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим. Критический путь определяет общую продолжительность работ. Все остальные пути имеют меньшую продолжительность, и поэтому в них выполняемое работы имеют резервы времени.

Критический путь обозначается на сетевом графике утолщенными или двойными линиями (стрелками).

Особое значение при составлении сетевого графика имеют два понятия:

Раннее начало работы - срок, раньше которого нельзя начать данную работу, не нарушив принятой технологической последовательности. Он определяется наиболее долгим путем от исходного события до начала данной работы

Позднее окончание работы - самый поздний срок окончания работы, при котором не увеличивается общая продолжительность работ. Он определяется самым коротким путем от данного события до завершения всех работ.

Раннее окончание - срок, раньше которого нельзя закончить данную работу. Он равен раннему началу плюс продолжительность данной работы

Позднее начало - срок, позже которого нельзя начинать данную работу, не увеличив общую продолжительность строительства. Он равен позднему окончанию минус продолжительность данной работы.

Если событие является окончанием лишь одной работы (т.е. в него направлена только одна стрелка), то раннее окончание этой работы совпадает с ранним началом последующей.

Общий (полный) резерв - это наибольшее время, на которое можно задержать выполнение данной работы, не увеличивая общую продолжительность работ. Он определяется разностью между поздним и ранним началом (или поздним и ранним окончанием - что то же самое).

Частный (свободный) резерв - это наибольшее время, на которое можно задержать выполнение данной работы, не меняя раннего начала последующей. Этот резерв возможен только тогда, когда в событие входят две или более работы (зависимости), т.е. на него направлены две или более стрелки (сплошные или пунктирные). Тогда лишь у одной из этих работ раннее окончание будет совпадать с ранним началом последующей работы, для остальных же это будут разные значения. Эта разница у каждой работы и будет ее частным резервом.

5. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и управления Беллмана.

Динамическое программирование – один из наиболее мощных методов оптимизации. С задачами принятия рациональных решений, выбора наилучших вариантов, оптимального управления имеют дело специалисты разного профиля. Среди методов оптимизации динамическое программирование занимает особое положение. Этот метод исключительно привлекателен благодаря простоте и ясности своего основного принципа – принципа оптимальности. Сфера приложения принципа оптимальности чрезвычайно широка, круг задач, к которым он может быть применен, до настоящего времени еще полностью не очерчен. Динамическое программирование с самого начала выступает как средство практического решения задач оптимизации.

Кроме принципа оптимальности, основного приема исследования, большую роль в аппарате динамического программирования играет идея погружения конкретной задачи оптимизации в семейство аналогичных задач. Третьей его особенностью, выделяющей его среди других методов оптимизации, является форма конечного результата. Применение принципа оптимальности и принципа погружения в многошаговых, дискретных процессах приводят к рекуррентно-функцио-нальным уравнениям относительно оптимального значения критерия качества. Полученные уравнения позволяют последовательно выписать оптимальные управления для исходной задачи. Выигрыш здесь состоит в том, что задача вычисления управления для всего процесса разбивается на ряд более простых задач вычисления управления для отдельных этапов процесса.

Главным недостатком метода является, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» – его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи.

6. Задача о распределении средств между предприятиями.

Можно сказать, что процедура построения оптимального управления методом динамического программирования распадается на две стадии: предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ зависящее от состояния системы (достигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация - также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только "прочесть" рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.

Биткойн задумывался разработчиками как «электронный кэш», однако криптовалюта не оправдала надежд. В качестве средства накопления она не состоялась, а расплачиваться BTC за товары и услуги слишком неудобно. К таким заключениям пришел управляющий Банка Англии Марк Карни во время встречи со студентами Лондонского университета Риджентс.

Глава Банка Англии Марк Карни пополнил список скептиков, которые выступают против криптовалют. На встрече со студентами Лондонского университета Риджентс управляющий банка признал биткойн провальным проектом. «С точки зрения традиционных денег биткойн провалился. Его нельзя использовать как средство накопления из-за постоянных колебаний. И никто не пользуется им как средством обмена», - цитирует Reuters Карни.

Говоря об искусственном интеллекте и автоматизации, Маск отметил, что в течение нескольких десятилетий отрасль логистики станет практически автоматизированной. Однако, внедрение автоматизации не ограничится только этой сферой: она будет охватывать все больше и больше отраслей промышленности.

Что мешает нам развиваться и жить. Почему мы бедные

1. Регистрация предприятия

Почти все нынешние регистрационные документы и процедуры -- липа, туфта, никому не нужная бюрократия и очковтирательство.

Устав. В теории, устав -- это конституция будущего предприятия, он закрепляет права и обязанности учредителей и директора. На практике, уставы пишутся "юридическими компаниями". Они просто копируются. Устав не нужен никому, кроме учредителей и директора. А раз они уставы копируют, значит они не нужны и им. Устав должен быть делом добровольным. Нужен для бизнеса -- пусть будет, не нужен, нечего и требовать.

1. Предмет и задачи исследования операций в экономике. Основные понятия теории исследования операций.

Цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями

Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения.

Множеством допустимых решений называются заданные условия, которые фиксированы и не могут быть нарушены.

Показатель эффективности - количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности.

2. Понятие о сетевом планировании и управлении. Сетевая модель процесса и ее элементы.

Основные понятия сетевой модели:

Событие, работа, путь.

Путь - это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

3. Построение и упорядочивание сетевого графика.

Структура сетевого графика, определяющая взаимную зависимость работ и событий, называется его топологией.

В сетевом графике применяются временные, стоимостные и другие характеристики работ.

Ресурсы характеризуются потребностью в физических единицах, необходимых для выполнения данной работы.

Качество, надежность и другие показатели работ служат дополнительными характеристиками работ.

2 При построении сети решаются вопросы:

Какие работы (работу) необходимо выполнить, чтобы начать данную работу;

Какие работы целесообразно выполнять параллельно с данной работой;

3 Первоначальный сетевой график строится без учета продолжительности работ, составляющих сеть.

4 Форма графика должна быть простой и зрительно легко воспринимаемой.

Критический путь обозначается на сетевом графике утолщенными или двойными линиями (стрелками).

Особое значение при составлении сетевого графика имеют два понятия:

5. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и управления Беллмана.

6. Задача о распределении средств между предприятиями.

7. Постановка задачи линейного программирования.

Линейное программирование -- популярный инструмент решения экономических задач, которые характиризуются наличием одного критерия (например, максимизировать доход от производства продукции за счет оптимального выбора производственной программы, или, например, минимизировать транспортные расходы и пр.). Для экономических задач характерны ресурсные ограничения (материальные и / или финансовые). Они записываются в виде системы неравенств, иногда в виде равенств.

С точки зрения прогнозирования допустимых интервалов цен (или объемов продаж) в рамках обобщенного непараметрического метода, применение линейного программирования означает:

Критерием является MAX цена очередного продукта из интересуемой группы f.

Управляемыми переменными величинами являются цены всех продуктов из группы f.

Ограничениями в нашей задаче прогнозирования с использованием обобщенного непараметрического метода, являются:

a) система неравенств (ограничения рациональности поведения потребителя) (см. 4.2. Прогнозирование в рамках обобщенного непараметрического метода);

б) требование неотрицательности управляемых переменных (в нашей задаче прогнозирования мы потребуем, чтобы цены на продукты из группы f не опустились ниже 80% от значений цен в последней временной точке) ;

в) бюджетное ограничение в виде равенства - требование постоянства суммы затрат на покупку продуктов из группы f (с учетом 15% инфляции, например).

8. Графический метод решения задач линейного программирования.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Найти минимальное значение функции

(2.1) Z = С1х1+С2х2

a11x1 + a22x2 b1

(2.2)a21x1 + a22x2 b2

aM1x1 + aM2x2 bM

(2.3) х1 0, х2 0

Допустим, что система (2.2) при условии (2.3) совместна и ее многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2.2) и (2.3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 = bi,(i = 1, 2, ..., n), х1=0, х2=0. Линейная функция (2.1) при фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии: С1х1 + С2х2 = const. Построим многоугольник решений системы ограничений (2.2) и график линейной функции (2.1) при Z = 0 (рис. 2.1). Тогда поставленной задаче линейного прграммирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая С1х1 + С2х2 = const опорная и функция Z при этом достигает минимума.

Значения Z = С1х1 + С2х2 возрастают в направлении вектора N =(С1, С2), поэтому прямую Z = 0 передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора Х. Из рис. 2.1 следует, что прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках А и С), причем минимальное значение принимает в точке А. Координаты точки А (х1, х2) находим, решая систему уравнений прямых АВ и АЕ.

Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.

Случай 1. Прямая С1х1 + С2х2 = const, передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу (рис. 2.2).

Случай 2. Прямая, пере-двигаясь, все же становится опорной относительно многоу-гольника решений (рис. 2.2, а – 2.2, в). Тогда в зави-симости от вида области ли-нейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (рис. 2.2, а), ограниченной снизу и неограниченной сверху (рис. 2.2, б), либо ограниченной как снизу, так и сверху (рис. 2.2, в).

9. Симплекс- метод.

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X1, X2, ..., Xr. Тогда наша система уравнений может быть записана как

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

10. Постановка транспортной задачи. Методы определения опорных планов.

Имеется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара. Для каждого пункта определены:

ai – объемы производства i -го поставщика, i = 1, …, m;

вj – спрос j-го потребителя, j= 1,…,n;

сij – стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта Ai– i-го поставщика, в пункт Вj – j-го потребителя.

Для наглядности данные удобно представлять в виде таблицы, которую называют таблицей стоимостей перевозок.

Требуется найти план перевозок, при котором бы полностью удовлетворялся спрос всех потребителей, при этом хватало бы запасов поставщиков и суммарные транспортные расходы были бы минимальными.

Под планом перевозок понимают объем перевозок, т.е. количество товара, которое необходимо перевезти от i-го поставщика к j-му потребителю. Для построения математической модели задачи необходимо ввести m·n штук переменных хij, i= 1,…, n, j= 1, …, m, каждая переменная хij обозначает объем перевозок из пункта Ai в пункт Вj. Набор переменных X = {xij} и будет планом, который необходимо найти, исходя из постановки задачи.

Это условие для решения закрытых и открытых транспортных задач (ЗТЗ).

Очевидно, что для разрешимости задачи 1 необходимо, чтобы суммарный спрос не превышал объема производства у поставщиков:

Если это неравенство выполняется строго, то задача называется «открытой» или «несбалансированной», если же , то задача называется «закрытой» транспортной задачей, и будет иметь вид (2):

– условие сбалансированности.

Это условие для решения закрытых транспортных задач (ЗТЗ).

11. Алгоритм решения транспортной задачи.

Применение алгоритма требует соблюдения ряда предпосылок:

1. Должна быть известна стоимость перевозки единицы продукта из каждого пункта производства в каждый пункт назначения.

2. Запас продуктов в каждом пункте производства должен быть известен.

3. Потребности в продуктах в каждом пункте потребления должны быть известны.

4. Общее предложение должно быть равно общему спросу.

Алгоритм решения транспортной задачи состоит из четырех этапов:

Этап I. Представление данных в форме стандартной таблицы и поиск любого допустимого распределения ресурсов. Допустимым называется такое распределение ресурсов, которое позволяет удовлетворить весь спрос в пунктах назначения и вывезти весь запас продуктов из пунктов производства.

Этап 2. Проверка полученного распределения ресурсов на оптимальность

Этап 3. Если полученное распределение ресурсов не является оптимальным, то ресурсы перераспределяются, снижая стоимость транспортировки.

Этап 4. Повторная проверка оптимальности полученного распределения ресурсов.

Данный итеративный процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

12. Модели управления запасами.

Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отвечать на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математический аппарат.

Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным основанием для классификации моделей управления запасами является характер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спросом).

Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть

детерминированными;

вероятностными.

В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, когда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамическим, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.

Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рисунок.

Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречается достаточно редко. Наиболее сложные модели - модели нестационарного типа.

Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управления запасами приходится учитывать множество других факторов, например:

сроки выполнения заказов. Продолжительность заготовительного периода может быть постоянной либо являться случайной величиной;

процесс пополнения запаса. Может быть мгновенным либо распределенным во времени;

наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.

13. Системы массового обслуживания (СМО) и показатели их эффективности.

Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Подобные системы играют важную роль во многих областях экономики, финансов, производства и быта. В качестве примеров СМО в финансово-экономической; сфере можно привести банки различных типов (коммерческие, инвестиционные, ипотечные, инновационные, сберегательные), страховые организации, государственные акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы). Такие системы, как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, транспортные системы, автоматизированные производственные участки, поточные линии, различные военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны, также могут рассматриваться как своеобразные СМО

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами (приборами, линиями) обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, парикмахеры, продавцы), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в этом случае, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многиx случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в иное время на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, а иногда при свободных каналах на входе СМО заявки не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Показатели эффективности функционирования пары «СМО - потребитель», где под потребителем понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени, и т.п.). Эта группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок, и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых заявок и дисциплиной обслуживания.

14. Уравнения динамики для вероятностных состояний (уравнения Колмогорова). Предельные вероятности состояний.

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова-Чепмена по s при s = 0 получаем прямое уравнение Колмогорова:

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова - Чепмена по t при t = 0 получаем обратное уравнение Колмогорова

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

В том случае, если число состояний системы S является конечным и из каждого состояния представляется возможным перейти (за то или иное количество шагов) в каждое другое состояние, то предельные вероятности состояний существуют, а также не зависят от начального состояния системы.

На рис. показаны граф состояния и переходов, удовлетворяющие поставленному условию: из любого состояния система рано или поздно может перейти в любое другое состояние. Условие не будет выполняться при изменении направления стрелки 4-3 на графе рис, а на противоположное.

Допустим, что поставленное условие выполнено, и, следовательно, предельные вероятности существуют:

Предельные вероятности будут обозначаться теми же буквами что и вероятности состояний, при этом под ними подразумеваются числа, а не переменные величины (функции времени).

Ясно, что предельные вероятности состояний должны давать в сумме единицу: Следовательно, в системе при устанавливается некоторый предельный стационарный режим: пусть система и меняет собственные состояния случайным образом, однако вероятность каждого из этих состояний не зависит от времени и каждое из них осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, представляющей собой среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

15. Процесс гибели и размножения.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем назовем такой с.п., который может принимать только целые неотрицательные значения; изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени t, при этом в любой момент времени он может либо увеличиваться на единицу, либо остаться неизменным.

Потоками размножения λi(t) будем называть пуассоновские потоки, ведущие к увеличению функции X(t). Соответственно μi(t) – потоки гибели, ведущие к уменьшению функции X(t).

Составим по графу уравнения Колмогорова:

Если поток с конечным числом состояний:

Система уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения с ограниченным числом состояний имеет вид:

Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю.

Процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.

16. Системы массового обслуживания с отказами .

Наиболее простой из рассматриваемых задач в рамках теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами или потерями.

Следует отметить, что в данном случае количество каналов равно 1 (). Этот канал принимает пуассоновский поток заявок, интенсивность которого равняется . Время оказывает влияние на интенсивность:

Если заявка прибыла в канал, который в данный момент не является свободным, она получает отказ и больше не числится в системе. Обслуживание заявок осуществляется в течение случайного времени , распределение которого реализуется в соответствии с показательным законом с параметром :

17. Системы массового обслуживания с ожиданием .

Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):

Канал свободен;

Канал занят, очереди нет;

Канал занят, одна заявка стоит в очереди;

Канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди;

Канал занят, т заявок стоят в очереди.

18. Методы принятия решений в условиях конфликта. Матричные игры. Чистые и смешанные стратегии игр.

Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=), 2 – свою j-ю стратегию (j=), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij<0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij|). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i=; j = часто называется чистой стратегией.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Таким образом, если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x– это набор чисел x = (x1,..., xm) удовлетворяющих соотношениям

xi³ 0 (i= 1,m), =1.

Аналогично для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y– это набор чисел

y = (y1, ..., yn), yj ³ 0, (j = 1,n), = 1.

Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.

19. Геометрический метод решения матричной игры.

Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Такие игры можно решать графически.

На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A1A2 (рисунок 5.1). Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию U = (u1, u2). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до правого конца этого отрезка – это вероятность u1 выбора стратегии A1, расстояние до левого конца - вероятность u2 выбора стратегии A2. Точка А1 соответствует чистой стратегии А1, точка А2 – чистой стратегии А2.

В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY) покажем выигрыш игрока А при использовании стратегии А1, на втором – при использовании стратегии A2. Если игрок А применяет стратегию A1, то его выигрыш при стратегии B1 игрока B равен 2, а при стратегии B2 он равен 5. Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют точки B1 и B2. Аналогично на втором перпендикуляре найдем точки B"1 и B"2 (выигрыши 6 и 4).

Соединяя между собой точки B1 и B"1, B2 и B"2, получим две прямые, расстояние от которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.

Например, расстояние от любой точки отрезка B1B"1 до оси OX определяет средний выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A1 и A2 (с вероятностями u1 и u2) и стратегии B1 игрока B.

Ординаты точек, принадлежащих ломаной B1MB"2 определяют минимальный выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия U* = (,), а ее ордината равна цене игры v.

Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых B1B"1 и B2B"2.

Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения можно, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:

Составим уравнения прямых для нашей задачи.

Прямая B1B"1: = или y = 4x + 2.

Прямая B2B"2: = или y = -x + 5.

Получим систему: y = 4x + 2,

Решим ее: 4x + 2 = -x + 5,

x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.

Таким образом, U = (2/5, 3/5), v = 22/5.

20. Биматричные игры.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

21. Статистические игры. Принципы и критерии принятия решений в условиях полной и частичной неопределенности.

В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей:

неопределенность целей;

неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);

неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.

В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.

С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Мы приводим его лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которые надо иметь в виду в процессе принятия решений.

Дело в том, что кроме рассмотренной выше классификации неопределенностей надо учитывать их тип (или "род") с точки зрения отношения к случайности.

о этому признаку можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистический характеристики (законы распределения и их параметры).

Примером таких задач могут быть, в частности, система технического обслуживания и ремонта любого вида техники, система организации рубок ухода и т.д.

Другим крайним случаем может быть неопределенность нестохастического вида (по выражению Е.С.Вентцель - "дурная неопределенность"), при которой никаких предположений о стохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить о промежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основании каких-либо гипотез о законах распределения случайных величин. При этом ЛПР должен иметь в виду опасность несовпадения его результатов с реальными условиями. Эта опасность несовпадения формализуется с помощью коэффициентов риска.

Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном из следующих критериев:

критерий ожидаемого значения;

комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

известного предельного уровня;

наиболее вероятного события в будущем.

Задача №1

Решить транспортную задачу по данным таблицы 1.

Таблица 1 - Исходные данные

В таблице 1 введены следующие обозначения:

Аi-запасы продукции на i-м пункте отправления (ПО);

Bj-заявки на продукцию от Bj пунктов назначения (ПН);

Cij-стоимость перевозки единицы продукции с i-го ПО в j-й ПН.

Сумма всех заявок должна быть равна сумме всех запасов. Общую стоимость перевозки обозначим Z.

Для сформированной задачи выполнить транспортную таблицу и применить к ней метод циклического переноса.

Решение задачи 1

Исходя из данных таблицы 1 исходная транспортная таблица имеет вид, представленный в таблице 2.

Таблица 2 Исходная транспортная таблица

Пункт отправления / Пункт назначения	заявки на продукцию


запасы продукции

Шаг 1: При заполнении таблицы учитывалось условие закрытости транспортной задачи, т.е. сумма всех заявок равна сумме всех запасов: общее число заявок = 87, общие запасы = 87. Задача является сбалансированной (закрытой).

Шаг 2: Начальное опорное решение находится методом минимальной стоимости.

Для этого запасы в Аi пунктов отправления распределяются в соответствии с заявками Bj пунктов назначения и заполняются клетки с минимальными стоимостями перевозок. При этом все запасы должны быть распределены в соответствии с заявками. Хij - количество перевозимого груза.

Опорный план, полученный методом минимальной стоимости

Вычислим затраты для этого опорного решения:

Zнач = C13 ? X13 + C14 ? X14 + C15 ? X15 + C25 ? X25 + C33 ? X33 + C41 ? X41 + C42 ? X42 +C44 ? X44 = 1 ? 2 + 6 ? 5 + 4 ? 4 + 27 ? 2 + 19 ? 1 + 14 ? 2 + 9 ? 13 + 7 ? 4 = 204.

Шаг 3: Проверим полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=n+m-1. В нашем случае N=8, n+m=5+4=9 , что удовлетворяет условию невырожденности плана.

Шаг 4: Проведем поэтапное улучшение начального решения, используя метод потенциалов. Для определения сомножителя опорного решения необходимо найти потенциалы заполненных клеток. Сумма потенциалов равна стоимости перевозок

Пусть a4 = 0. Тогда: a1 = 1; a2 = -1; a3 = 0; a4 = 0; b1 = 2; b2 = 3; b3 = 1; b4 = 4; b5 = 3.

Значение потенциалов записываем в таблицу рядом с Аi и Bj. Проверяем опорное решение на оптимальность для всех незаполненных клеток таблицы

a1 + b3 - c13 = 1 + 1 - 2 = 0 ? 0 a1 + b4 - c14 = 1 + 4 - 5 = 0 ? 0

a1 + b5 - c15 = 1 + 1 - 4 = -2 < 0 a2 + b5 - c25 = -1 + 3 - 2 = -4 < 0

a3 + b3 - c33 = 0 + 1 - 1 = 0 ? 0 a4 + b1 - c41 = 0 + 2 - 2 = 0 ? 0

a4 + b2 - c42 = 0 + 3 - 3 = 0 ? 0 a4 + b4 - c44 = 0 + 4 - 4 = 0 ? 0

Начальное опорное решение является оптимальным, т.к. нет положительных оценок. Значение целевой функции: Zопт=204.

2. Задача № 2

Соорудить траекторию движения ВС, соединяющую т. А и т. В. Затраты на перелет должны быть минимальны. Стоимость полета на каждом отрезке приведена внутри отрезка. Определить условное и безусловное оптимальные управления.

Решение задачи 2

Динамическое программирование специально приспособлено к так называемым многошаговым операциям.

Процесс динамического программирования разворачивается от конца (т.В) к началу (т.А) - условная оптимизация (условно оптимальное управление и условно минимальные затраты). Затем производится оптимизация от начала (т.А) к концу (т.В) - безусловная оптимизация (безусловно оптимальное управление и безусловно оптимальные затраты).

Для проведения условной оптимизации расстояние от А до В разделено в восточном направлении на 5 частей, а в северном - на 4 части. Тогда любой путь из А в В состоит из m = 4 + 5 = 9 отрезков, направленных на восток или на север. Процедуру условной оптимизации будем разворачивать в обратном направлении - от конца к началу. Прежде всего, произведем условную оптимизацию последнего, 9-го шага. Рассмотрим отдельно правый верхний угол нашей прямоугольной сетки. После 8-го шага мы можем быть в точке с затратами либо 7 (В1), либо 8 (В2). Перемещаемся в точку В1, из которой можно двигаться вниз (6 единиц), либо влево (5 единиц). Аналогичные операции проводятся по всем точкам, причем передвигаются в сторону, где затраты меньше. Условно минимальные затраты составили 47, что представлено в таблице 1.

Таблица 3 Процедура условной оптимизации

Затем проводиться безусловная оптимизация с движением из точки А в точку В, выбирая направления минимальной стоимости, что представлено в таблице 2, траектория, ведущая из А и В самым дешевым способом отмечена красным цветом.

Таблица 4 Безусловное оптимальное управление

3. Задача № 3

Определить комплексные показатели надежности нерезервированных средств связи. Исходные данные приведены в табл. 3.

Для решения задания 3 необходимо:

- определить состояние средства;
- написать систему линейных алгебраических уравнений;
-установить взаимосвязь между финальными вероятностями и определить их количественные значения.

Таблица 5

Решение задачи 3

Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система, состоящая из n элементов, у которой отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы. В этом случае система S имеет логически последовательное соединение элементов (рисунок 1).

Схема логического соединения элементов нерезервированной системы

Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном G0 или неработоспособном G1. Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рисунок 2):

Граф состояний нерезервированной системы

Из состояния S0 в состояние S1 система переходит в результате отказов с интенсивностью л, а из S1 в S0 - в результате восстановления с интенсивностью µ. В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: л = const, µ = const. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения

Одним из основных показателей надежности системы является ремонтопригодность - это степень приспособленности системы к предупреждению, обнаружению и устранению отказов. Ремонтопригодность системы можно оценить, например, средним значением времени устранения неисправности, другими словами, средним значением времени восстановления работоспособности после отказа TB.

В задаче TB = 1,5, следовательно µ = 1 / 1,5 ? 0,667.

Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности Кг.

Для его определения рассмотрим работу системы на интервале времени (t,t+?t). Обозначим через P0(t), P0(t+?t) и P1(t),P1(t+?t) - вероятности того, что в момент времени t и t+?t система находится в состоянии S0 и S1. Тогда

P0(t)+P1(t)=1 и Kг=P0(t).

Обозначим также через P01(?t) и P10(?t) - условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в состоянии S0 или в состоянии S1, а в момент времени t+?t или в состоянии S1 или в состоянии S0, т.е. за интервал времени?t произошел отказ (восстановление) системы.

Будем считать, что за время?t может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда на интервале?t могут произойти четыре несовместимые события: A1(S0, S0) - в момент времени t система находилась в состоянии S0, в момент времени t+?t она осталась в том же состоянии, т.е. отказа не произошло;A2(S0, S1) - отказ произошел;A3(S1, S0) - восстановление произошло; A4(S1, S1) - восстановление не произошло.

Положим. Тогда получим систему дифференциальных уравнений

которая дополняется условием P0(t)+P1(t).

Решение системы при начальных условиях P0(t)=1 и P1(t)=0, т.е. в начальный момент времени система работоспособна, имеет вид

Если в начальный момент времени система неработоспособна, то P0(0)=0, P1(0)=1 и решение системы имеет вид

При независимо от начального состояния системы (S0 или S1) вероятности Po(t)=Kг, P1(t) стремятся к постоянным значениям

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Учитывая, что данный процесс является марковским, в системе дифференциальных уравнений при можно положить

и получить систему линейных алгебраических уравнений, откуда непосредственно находятся P0=Kг и P1:

Для нашего случая нам известно значение µ ? 0,667.

Откуда можно определить значение л (по формуле

Зная значения л и µ из последней системы уравнений можно определить финальные вероятности Р0 и Р1, которые равны 0,9995 и 0,0005 соответственно.

4. Задача № 4

Определить показатели надежности резервированных средств связи. Исходные данные приведены в табл. 4.

Для решения задачи 4 необходимо:

- определить состояние резервированной системы;
- построить размеченный граф состояний;
- написать систему линейных алгебраических уравнений Колмогорова;
- установить взаимосвязь между финальными вероятностями и определить их количественные значения;
- определить показатели надежности (среднее время безотказной работы и коэффициент готовности резервированной системы).

транспортный затрата нерезервированный алгебраический

Таблица 6

Решение задачи 4

В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов (рисунок 1), при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным (m-1)-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны.

Схема логического соединения элементов резервированной системы

Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рисyнок 2).

Граф состояний резервированной системы

В отличие от нерезервированной системы резервированная система имеет 4 состояния: S0 - исправное; S1 - первый полукомплект работоспособен, а второй неисправен (ремонтируется); S2 - второй полукомплект работоспособен, а первый неисправен (ремонтируется); S3 - неработоспособное (оба комплекта ремонтируются).

С учетом условий задачи линейные алгебраические уравнения Колмогорова имеют вид:

2 · л · Р0 = µп · (Р1 + Р2) (1)
(л+ µп) · Р1 = л · Р0 + µв · Р3 (2)
(л+ µп)·Р2 = л · Р0 + µв · Р3 (3)
2 · µв · Р3 = л ·(Р1 + Р2) (4) ,

где л и µв - интенсивность отказа и восстановления;

µп - интенсивность переключения.

Система дополняется нормировочным уравнением

Р0+Р1+Р2+Р3=1. (5)

Из уравнений (2) и (3) видно, что Р1 = Р2. Тогда уравнение (1) запишется в виде:

Уравнение (4) имеет вид:

Уравнение (5) имеет вид:

Р0 = Т0 / (Т0 + 2Тп) = 3000 / (3000+2·45/3600) = 0,999991667.

Р1 = Р0 · Тп / Т0 = 0,999991667 · (45/3600) / 3000 = 0,00000417.

Р2 = Р0 · Тп / Т0 = 0,999991667 · (45/3600) / 3000 = 0,00000417.

Р3 = Р0 · ((Тп·Тв)/ Т0) = 0,999991667 · ((45/3600·1,5)/3000) = 0,00000625.

Определим среднее время безотказной работы резервированной системы:

Т01 = (Р0 · Тв) / (1- Р0) = (0,999991667 ·1,5) / (1 - 0,999991667) = 180 000 часов.

В вероятностной трактовке коэффициент готовности определяют по формуле:

где To - наработка на отказ (по условию задачи равна 3000),

TB - среднее время восстановления (по условию задачи равно 1,5).

Следовательно, коэффициент готовности равен Кг = 3000 / (3000 + 1,5) = 0,9995.

Список использованных источников

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология / Е.С.Вентцель. - М.: Наука, 1986.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. - М.: ЮНИТИ, 2002.
3. Демидов Ю. М. Исследование операций. Пособие по выполнению контрольной работы.- М.: МГТУ ГА, 2010- 20 стр.
4. Волков И.K., Загоруйко Е.А. Исследование операций. Учебное пособие для вузов / под ред. B.C. Зарубина, A.П. Крищенко. - М.: Изд-во MГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
5. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. Учебное пособие / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: ИНФРА-М, 2003.

Размещено на Аllbest.ru