Финансовая логика операций наращения и дисконтирования. Операции дисконтирования

Процесс определения текущей стоимости денег называется дисконтированием.

Наиболее распространенное применение дисконтирования :
1) авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, т.е. до наступления срока ее погашения; 2) учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока гашения; 3) оценка облигаций путем дисконтирования будущих купонных платежей, а также оценка акций на основе использования модели дисконтирования дивидендов.

Выделяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование (приведение по вкладу) и банковский учет (приведение по платежу).

Математическое дисконтирование определяет современное или приведенное значение Р на некоторый момент времени T, которое соответствует заданному значению F в другой момент времени t. Таким образом, математическое дисконтирование – это формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени. Можно еще определить математическое дисконтирование как приведение по вкладу Р – это такой подход к расчету искомой предшествующей суммы Р, который дает сумму F (известную к началу расчета) при начислении процентов (простых или сложных) через n периодов. В этом случае за базовую величину, то есть за 100% принимается размер вклада Р.

Величину Р, найденную с помощью процесса дисконтирования, называют в зависимости от контекста приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью.

Приведем некоторые из формул математического дисконтирования.

1. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по простой процентной ставке равно:

где r – простая годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов;

k D - коэффициент дисконтирования (приведения), равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при простой процентной ставке.

2. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной процентной ставке равно:

где r с – сложная процентная ставка за единичный период начисления;

n – число периодов начисления процентов;

k DC - коэффициент дисконтирования, равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при сложной процентной ставке.

Формулы (1) и (2) используются в частности для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.

Пример 1. Из какого капитала можно получить 3,4 млн. руб. через 3 года наращения по простым процентам при ставке 12%?

Решение . Р=3,4/ (1*30,12)=2,5 млн. руб. Дисконт=Р 2 -Р 1 =F-P=3,4-2,5=0,9 млн. руб.

Пример 2. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Решение . Д=F-P=2,14-2=0,14 т.р.

Банковское дисконтирование или приведение по платежу (второй подход) состоит в том, что неизвестен размер платежа, к которому придем при удержании с конечной суммы F за срок n. В этом случае за 100% берется будущая сумма F.

Формула дисконтирования приведением по платежу по простым процентам: P n =F-n*d*F=F(1-nd), где d – учетная ставка, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы F на один период назад.

Формула дисконтирования приведением по платежу по сложным процентам: P n =F(1-d) n .

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств банком. Поэтому далее в задачах будет использовано понятие векселя. Вексель – это долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал векселя F) в конкретный срок. Вексель может быть простым, переводным, коммерческим, казначейским и т.д. Чаще всего работа с векселем – это принятие векселя к погашению. Учет векселя означает оплату векселя с дисконтом, т.е. со скидкой с его номинала. Дисконт представляет собой проценты, начисленные за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму F, подлежащую оплате в конце срока. Чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Вексель, допускающий участие третьих лиц, называется переводным или траттой. Учет векселя чаще всего осуществляется способом: приближенное число дней в году (360) и точное число дней в периоде от момента учета векселя до момента погашения (365/360). Приведем некоторые из формул банковского учета, содержащие дисконт.

Для простой учетной ставки:

1. Если срок n от даты учета до даты погашения составляет часть года, то дисконт определяется по формуле где

d –относительная величина годовой учетной ставки;

t- период начисления в днях; К- количество дней в году.

2. Цена покупки векселя банком или сумма, выдаваемая предъявителю учитываемого денежного обязательства по простой учетной ставке, рассчитывается по формуле:

F-номинальная сумма данного обязательства;

Р- цена покупки векселя банком или это деньги, которые получает владелец векселя, в случае операции дисконтирования;

D d -дисконт, сумма процентных денег;

(1-nd) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

3. Процентный доход покупателя (банка) векселя по простой ставке:
Для сложной учетной ставки:

4. Формула для определения стоимости капитала, учтенного за n лет при m-кратном дисконтировании в течение года, примет вид:

С ростом числа дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

Для облегчения расчетов при удержании сложных процентов используются дисконтные множители , которые показывают, во сколько раз уменьшится сумма при удержании с нее сложных процентов по ставке d в течение n промежутков удержания: Dis(n,d)=(1-d) n .

5. Соотношение между простыми годовыми процентными ставками r и d, обеспечивающими через период времени n получение одной и той же наращенной величины F из начального капитала Р: d(1+nr)=r.

Ставки d и r, связанные между собой этим соотношением называются эквивалентными, так как они приводят к одинаковому финансовому результату.

Пример . 3. Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 19%, при наращении капитала за год.

Решение . N=1, r =0,19, d=0,19/(1+0,19)»0,15966, d»16%. Т. о., учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.

Если время измеряется в днях t, n=t/T, где Т – временная база, равная количеству дней в году. В этом случае

Пример 4. Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.

Решение . Если разные временные базы, то получим равенство: . Отсюда следует, что

нахождения сложной годовой учетной ставки.

Пример 5. Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Решение . P=0,8; n=1,5; при m=1 d=1-0,8 1/1,5 =0,1382, т.е. d=13,82%

Пример 6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 т.р. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель.

Решение . P=f*(1-nd)=50*(1-15/360*0,3)=49,375 т.р.

Непрерывное наращение и дисконтирование. Уменьшая частоту начисления в пределе можно перейти к непрерывным процентам. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Где е примерно равно 2,718281 –число Эйлера и r (¥) =d -обозначение непрерывной ставки и называют ее силой роста. Сила роста характеризует интенсивность наращения за год при непрерывном начислении процентов.

Аналогично другим множителям наращения е d n равен индексу роста суммы Р за n лет.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (при выборе и обосновании инвестиционных решений). Также бывает целесообразно предполагать при оценке работы учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов.

Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется непосредственно и при работе с клиентами.

Пример. На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые 2 года равна 8%, в следующие три года 10% и в каждый оставшийся год увеличивается на о,5%.

Решение .

Кредитные операции также связаны с дисконтированием. Рассмотрим операцию удержания процентов с суммы, взятой заемщиком в кредит. Проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, которую следует вернуть. Удержание процентов можно проводить по простым и сложным процентам:

1. , где d – простая учетная ставка;

2. , где d с - сложная учетная ставка;

3. Срок, на который выдан кредит, рассчитывается по формуле: ,

4. Учетная ставка рассчитывается по формуле:

5. При непрерывном исчислении процентов, т.е. при мультиплицирующий множитель М(m, r/m) имеет предел, равный е r , где е-основание натуральных логарифмов (е=2,71). Непрерывным наращением процентов по ставке r называется увеличение суммы в е r раз за единичный промежуток начисления. Непрерывным дисконтированием называется обратная операция непрерывному наращению, т.е. уменьшение суммы в е i раз за единичный промежуток. Также справедливо следующее соотношение: .

Пример .На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 8%. Определить наращенную сумму за 5 лет.

Простейшим примером финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы (PV) с условием, что через какое-то время (t) будет возвращена большая сумма (FV). При этом FV называется будущей стоимостью, а PV – настоящей стоимостью.

Будущая стоимость денег денег (FV) – это сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.

Настоящая стоимость денег (PV) – это сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной ставки процента (процентной ставки) к настоящему периоду времени.

Результативность приведенной сделки может быть охарактеризована:

· или с помощью абсолютного показателя (FV – PV), но как было уже сказано, абсолютные показатели не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости во временном аспекте;

· или расчетом относительного показателя, специального коэффициента – ставки.

Ставка рассчитывается как отношение приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

· темп прироста

· темп снижения

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия «процентная ставка», «процент», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй – «учетная ставка», «дисконт».

Обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная одну ставку, можно рассчитать другую:

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения:

· в формуле процентной ставки (1.1) за базу сравнения берется исходная сумма;

· в формуле учетной ставки (1.2) – возвращаемая сумма.

Очевидно, что , а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок на конкретный момент времени. Например:

· если i t = 8 %, то d t = 7,4 %, т.е.

расхождение сравнительно невелико;

· если i t = 80 %, то d t = 44,4 %, т.е. ставки существенно различаются по величине.

Как мы видим, при разумных значениях ставок расхождения между процентной и дисконтной ставками относительно невелики и потому в прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов может быть использована любая из них.

Итак, в любой простейшей сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка называется процессом наращения , а процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования . В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении денежного потока от будущего к настоящему (рисунок 1.1).

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Экономический смысл операции наращения (формула 1.1.) состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1.1) получается:

то видно, что время генерирует деньги. Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.

На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей, главным образом, от степени риска, ассоциированного с данным видом бизнеса. Связь здесь прямо пропорциональная: чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, сегодняшнюю стоимость будущей величины FV. Например, предприятие получило кредит на один год в размере 5 млн. руб. с условием возврата 10 млн. руб. в этом случае процентная ставка равна 100 %, а дисконт – 50 %.

Тема 3. Основы финансовой математики

3.1. Временная ценность денег.

3.2. Операции наращения и дисконтирования.

3.3. Процентные ставки и методы начисления. Понятие простого и сложного процента.

3.4. Виды денежных потоков.

3.5. Оценка денежного потока с неравными поступлениями.

3.6. Оценка аннуитетов.

3.7. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка.

Временная ценность денег.

Временную ценность денег рассматривается в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с тече­нием времени. Представим, что предприятие имеет свободные денеж­ные средства в размере 15 тыс. руб., а инфляция составляет 20% в год (т.е. цены увеличиваются в 1,2 раза). Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 тыс. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой дело­вой операции, которая принесет доход в размере 10 тыс. руб. по исте­чении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное по­лучение всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получе­ния доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистека­ет из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пушена в оборот и, таким образом, принесет дополнительные доходы.

Операции наращения и дисконтирования

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сум­ма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для по­добной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-времен­ном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения ис­ходной суммы к базовой величине, в качестве которой, очевидно, мож­но взять либо РV, либо FV.

2 формулы расчета ставки:

r t = FV – PV (1)

d t = FV – PV (2)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще назва­ния «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт».

Оче­видно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, мож­но рассчитать другой:

r t = d t

d t = r t

d t -дисконт, r t - учетная ставка

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)-исходная сумма, в форму­ле (2) - возвращаемая сумма.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом на­ращения, искомая величина - наращенной суммой, ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приве­денной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дискон­тирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к на­стоящему (рис. 1).

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Рис. 1 Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой форму­лой состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (3)

FV = PV + РУ *r t ,

Разность I = FV - PV называется процентом. Это величина дохо­да от предоставления в долг денежной суммы PV.

На практике доходность является величиной непостоянной, зави­сящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная - чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государствен­ные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невысока.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняш­ней» величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во времен­ном упорядочении денежных потоков различных временных перио­дов. Одна из интерпретаций ставки, используемой для дисконтирова­ния, такова: ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегод­няшнюю» стоимость будущей величины FV.

Предприятие получило кредит на один год в размере 5 тыс. руб. с условием возврата 10 тыс. руб. В этом случае процентная ставка рав­на 100%, а дисконт - 50%.

Рыночная экономика предоставляет предприятиям, осущест­вляющим производственную деятельность, возможность разме­щать свои временно свободные денежные средства на условиях срочности, платности, возвратности с целью:

1) получения процентного или дисконтного, а также курсово­го дохода;

2) сохранения денежных средств от инфляционного обесце­нения.

Основными характеристиками любого объекта инвестирова­ния являются:

1) первоначально размещаемая (исходная, номинальная) сум­ма денежных средств (PV);

2) доход в процентном выражении (процентная ставка - г или ставка дисконта - d);

3) единичный промежуток (стандартный интервал) начисле­ния дохода;

4) возвращаемая сумма (сумма погашения) (FV).

В зависимости от того, какие заданы характеристики, изме­няются направления движения денежных потоков, генерируемых инвестицией.

Классификацию процессов инвестирования по способу на­числения дохода наглядно иллюстрирует рисунок.

Процесс инвестирования, в котором заданы исходная (номи­нальная) сумма (PV) и процентная ставка (r), называется процес­сом наращения. Возвращаемая сумма (сумма погашения) называ­ется наращенной суммой (FV). Доход представляет собой разни­цу между возвращаемой и номинальной суммой. Доходность операции характеризует процентная ставка (процент).

Формула наращения имеет следующий вид:

PV + r PV = FV;

FV = PV + r PV;

FV = PV (1 + r).

Процесс инвестирования, в котором заданы возвращаемая сумма (сумма погашения) (FV) и дисконтная ставка (d), называ­ется процессом математического дисконтирования. При этом возвращаемая сумма (сумма погашения) (FV) равна номинальной сумме объекта вложения денежных средств, а исходная сумма (PV) - меньше номинальной. Инвестируемая сумма в данном случае называется приведенной суммой. Доходность операции ха­рактеризует дисконтная ставка (дисконт).

Формула математического дисконтирования имеет следую­щий вид:

PV = FV (1 - d).

Так как процесс дисконтирования является обратным про­цессу наращения, формула дисконтирования является резуль­татом преобразования формулы наращения:

PV + d FV = FV;

PV = FV - d FV;

PV = FV (1 - d).

От математического дисконтирования следует отличать так называемое банковское дисконтирование, под которым понима­ется поиск исходной суммы для наращения заданной суммы по заданной процентной ставке. Формула (банковского) дисконти­рования имеет следующий вид:

PV = FV/(1 + r).

Формула банковского дисконтирования является результатом преобразования формулы наращения:

PV + r PV = FV;

PV = FV/(1 + r).

Применительно к банковскому дисконтированию говорят о дис­контировании по простой или сложной ставке процентов. Взаимосвязь процентной и дисконтной ставки. Процентная ставка, характеризующая доход при наращении, и дисконтная ставка, характеризующая доход при дисконтировании, являются взаимосвязанными и взаимозависимыми. Если известна про­центная ставка, можно рассчитать дисконтную ставку, и наобо­рот.

Из формулы операции наращения (FV = PV + r PV) следует формула определения процентной ставки:

r РV = FV - PV;

r = (FV - PV)/PV.

Из формулы операции дисконтирования (PV = FV - d FV) следует формула определения дисконтной ставки:

d FV - FV - PV;

d = (FV - PV) / FV.

Процентную ставку можно выразить через дисконтную ставку. Если

r PV = FV - PV;

PV = FV - d FV,

r (FV - d FV) = FV - (FV - d FV);

r FV (1 - d) - FV - FV + d FV;

r FV (1 - d) = d FV; r (1 - d) = d.

r = d/(l-d)

Дисконтную ставку, в свою очередь, можно выразить через процентную ставку. Если

d FV = FV - PV;

FV = PV (1 + r),

d PV (1 + r) = PV (1 + r) - PV;

d PV (1 + r) = PV + PV r - PV;

d PV (1 + r) = PV r; d (1 + r) = r.

d = r/(l+r)

Мультиплицирующие и дисконтирующие множители. Для об­легчения расчетов наращенных и дисконтированных сумм со­ставлены таблицы, соответственно, мультиплицирующих и дис­контирующих множителей.

Мультиплицирующий множитель FM 1 (n, r) показывает, во сколько раз увеличится сумма, вложенная на n лет под r процен­тов годовых, т.е. характеризует будущую стоимость одной денеж­ной единицы на конец периода n:

FM 1 (n, r) = (1 + r) n .

Дисконтирующий множитель FM 2 (n, r) показывает, какую долю от наращенной суммы составит начальная сумма, вложен­ная на n лет под r процентов годовых к концу n-го года, т.е. ха­рактеризует приведенную стоимость одной денежной единицы, ожидаемой к получению через л периодов:

FM 2 (n, r) = 1 / FM (n, r) = 1 / (1 + r) n = (1 + r) -n .

Величина FM (n, r) в случае дисконтирующего множителя называется приведенной (текущей, временной) стоимостью одной денежной единицы, вложенной на n лет под r процентов годо­вых. С помощью данной величины можно привести в соответст­вие вложенную и возвращаемую суммы.

Мультиплицирующий и дисконтирующий множители можно рассчитать для срочного аннуитета постнумерандо в одну денеж­ную единицу продолжительностью n периодов.

Мультиплицирующий множитель FM 3 (n, r) характеризует бу­дущую стоимость срочного аннуитета постнумерандо в одну де­нежную единицу продолжительностью n периодов:

Дисконтирующий множитель FM 4 (n, r) характеризует приве­денную стоимость срочного аннуитета постнумерандо в одну де­нежную единицу продолжительностью n периодов.

Операции наращения и дисконтирования являются основами финансовой математики. Они применяются как в бизнесе, так и в обычной жизни, например, при оформлении депозитного вклада или потребительского кредита. Используя эти показатели, можно рассчитывать стоимость будущих денег на данный момент или сегодняшних средств в будущем. Такие операции являются основой финансового анализа инвестиционных инициатив.

Большинство из нас сталкивалось с понятием банковского процента при размещении денег на депозитном счету и просчитывало, какой пассивный доход удастся получить, благодаря удачному вложению. Дисконтированием в быту пользуются гораздо реже, его основная сфера применения – бизнес. Операции наращивания и дисконтирования, по сути, схожи между собой, но имеют разную направленность во времени:

• наращение направлено в будущее и показывает цену сегодняшним деньгам через определенное время;
• дисконтирование имеет обратный вектор и характеризует цену ожидаемых прибылей по состоянию на сегодняшний день с учетом дисконта.

Основным элементом, отражающим временной фактор, выступает процентная ставка. Ее можно понимать как цену за использование денег, взятых взаймы.

Ставка в финансовом менеджменте применяется как норма доходности проводимых операций. Она исчисляется в процентах или долях единицы в результате деления полученного дохода на объем инвестированных средств.

Проценты бывают двух видов:

• Декурсивные (обычные). Они выплачиваются в конце установленного договором периода. Применяются при страховании, а также оформлении депозитов и кредитов.
• Антисипативные (авансовые). Они начисляются на начальной стадии установленного временного отрезка относительно количества денег, которое ожидается в конце (с учетом процентов), и выплачиваются получателем сразу при оформлении кредита. Используются в расчетах с иностранными контрагентами, а также при работе с ценными бумагами дисконтированными.

Рыночная экономика дает возможность частным инвесторам, инвестиционным компаниям или предприятиям разместить свободные деньги на условиях возвратности, платности и срочности, преследуя такие цели:

• гарантирование сохранности своих финансовых ресурсов от обесценивания, вызванного инфляционными процессами;
• получение дополнительного дохода (курсового, дисконтного или процентного).

Если известны начальная и конечная сумма, а также период вложения, то по формулам можно рассчитать значения дисконтной и процентной ставок. Например, известно, что предприниматель взял трехлетний кредит на 300 тысяч рублей, а в конце должен возвратить банку 400 тысяч рублей:

r = (FV - PV) / PV * n = (400 - 300) / 300 * 3 = 100 / 900 = 0,11, то есть 11%.

d = (FV - PV) / FV * n = (400 - 300) / 400 * 3 = 100 / 1200 = 0,08, то есть 8%.

Всегда существуют предприниматели или компании, которые нуждаются в деньгах для развития своего бизнеса, они готовы платить за предоставленную им ссуду. С другой стороны, имеются учреждения или организации, готовые за плату предоставить необходимый ресурс. Важно только понимать, на какое время, и на каких условиях можно брать деньги в долг, чтобы остаться в выигрыше. Именно для прогнозирования процессов такого роды и применяются методы наращения и дисконтирования.

Метод наращивания капитала

Наращивание (компаундирование) представляет собой увеличение начальной суммы (PV, Present Value) капитала за счет прибавления к ней через определенное время процентов как следствие какой-то финансовой операции. После этого можно увидеть итоговую сумму (FV, Future Value).

Определяют две разновидности процентов:

• Простые, когда начисление вознаграждения производится один раз в конце срока вклада. Обычно они применяются в краткосрочных операциях (длительностью до одного года), по окончании срока которых нужно снимать всю сумму вместе с пассивным доходом, а при необходимости снова вкладывать ее и оформлять все заново.
• Сложные, когда при расчете выгоды от каждого временного отрезка, учитываются уже начисленные на начальную сумму проценты за предыдущий временной отрезок. Такая методика характерна для долгосрочных вкладов.

Формула простых процентов имеет такой вид:

FV = PV * (1 + r* n)

• r – процентная ставка;
• n – количество периодов времени.

Просчитаем наращение по простым процентам при вкладе 20 тысяч рублей сроком на 1 год по ставке 7% годовых:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 1) = 21400

Таким образом, сумма начисленных процентов за год составит 1400 рублей. Если на тех же условиях положить деньги на 3 года, то получим такой результат:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 3) = 24200 рублей.

Теперь рассмотрим вариант, при котором те же деньги вкладывают на 3 года под аналогичный процент с начислением вознаграждения ежегодно. Здесь можно применить формулу сложных процентов:

FVn = PV (1 + r) n

FV1 = FV1 + FV1 * r = PV (1 + r) = 20000 (1 + 0,07) = 21400 ;

FV2 = FV2 + FV2 * r = PV (1 + r)2 = 20000 (1 + 0,07)2 = 22898 ;

FV3 = FV3 + FV3 * r = PV (1 + r)3 = 20000 (1 + 0,07)3 = 2450 0

Из наших вычислений можно увидеть, что наращение с применением сложных процентов за 3 года составит 4501 рубль. Вспомним, что если бы речь шла о простых процентах, то вкладчик получил бы несколько меньшую сумму. Разница составляет 300 рублей (24500 - 24200). На первый взгляд, это совсем немного, однако когда речь идет о крупных вкладах это различие становится существенным.

Если же по условиям договора начисление процентов производится чаще, чем раз в году (ежеквартально или ежемесячно), то наращивание первоначальной суммы идет более высокими темпами. Чем чаще период начисления, тем быстрее растет вложенный капитал.

Метод дисконтирования капитала

Понятие дисконтирования является важнейшим элементом оценки и анализа денежных потоков, возникающих в результате инвестирования финансов в любые начинания. Использование дисконтирования при совершении сделок и заключении договоров дает возможность собственникам избежать убытков и заработать на своих вложениях.

Дисконтирование – это механизм приведения будущей стоимости средств к состоянию на момент расчета. Он дает возможность, зная размер конечной суммы FV, найти величину суммы PV, которую следует вложить. Примерами дисконтирования могут служить такие случаи:

• При оформлении депозита клиент хочет знать, сколько ему необходимо денег положить на счет, чтобы через 3 года у него было 400 тысяч рублей.
• При получении ссуды клиент сразу должен выплатить проценты за ее использование, такая сделка носит название учет, а проценты в таком случае называют дисконтом.
• При покупке векселя раньше наступления времени его оплаты (учет векселя). В этом случае банк выплачивает держателю сумму, которая меньше номинала, а разница между номиналом и реально полученной суммой называется дисконтом.

Поскольку дисконтирование и наращение, по сути, являются зеркальным отражением друг друга, то формула дисконтирования легко находится путем преобразования формулы наращивания:

PV = FV * 1/(1 + r) n

Ставка дисконтирования (d) и процентная ставка (r) взаимосвязаны между собой соотношениями, которые можно выразить таким образом:

d = r * (PV / FV) – определяется относительно начальной суммы

r = d * (FV / PV) – определяется относительно наращенного денежного показателя.

Решим несложную задачу. Человек желает купить новую модель автомобиля, которая выйдет на рынок через 3 года. Заявленная производителем ориентировочная стоимость автомобиля составляет 22 тысячи долларов. Необходимо найти, сколько денег требуется положить на депозит сейчас при ставке 7% годовых, чтобы через три года выйти на искомый показатель. Подставляем исходные данные в формулу дисконтирования:

PV = 22000 * 1 / (1 + 0,07) 3 = 22000 * 1 / 1,225 = 22000 * 0,8163 = 17959

Для выхода на показатель 22000 долларов, сегодня под 7% годовых следует вложить 17959 долларов.

В нашем случае все достаточно очевидно, поскольку размер процентной ставки известен заранее. Гораздо сложнее определить значение этого критерия в случае оценки инвестиционного предложения. В этом случае ставка определяется различными методами, в которых используются такие показатели, как средний банковский процент, величина активов компании, размер и рентабельность капитала, размер дивидендов по ценным бумагам, потенциальные риски. Кроме того, учитывается темп инфляции и общеэкономические ожидания.