Формула расчета процентов по кредиту. Простые и сложные проценты. Формула простых и сложных процентов по кредиту. Как поможет сложный процент в построении капитала? Какие вклады выгоднее

Наращение может осуществляться по схеме простых и слож­ных процентов.

Формула наращения простых процентов (simple interest). Нара­щение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

FV = PV (1 + r n).

Формула наращения сложных процентов (compound interest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очеред­ной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвести­рованного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно оп­ределить по формуле:

FV = PV (1 + r) n .

При одном и том же значении процентной ставки:

1) темпы наращения сложных процентов выше темпов нара­щения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов на­ращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных опера­циях, так и одновременно. Области применения простых и слож­ных процентов можно разделить на три группы:

1) операции с применением простых процентов;

2) операции с применением сложных процентов;

3) операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

1. Областью применения простых процентов чаще всего явля­ются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с од­нократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, век­сельные кредиты) и реже - долгосрочные операции.

При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается го­довая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денеж­ных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процент­ной ставки имеет следующий вид:

FV = PV (1 + f r),

FV = PV (1 + t r / Т),

t - срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т - расчетное количество дней в году.

При долгосрочных операциях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

FV = PV (1 + r n),

где n - срок вложения денежных средств (в годах). ,

2. Областью применения сложных процентов являются дол­госрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r) n .

Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества вы­плат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m = 2);

2) поквартальным (m = 4);

3) ежемесячным (m = 12);

4) ежедневным (m = 365 или 366);

5) непрерывным (m -» ?).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, еже­месячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV (1 + r / m) nm ,

где PV - исходная сумма;

г - годовая процентная ставка;

n - количество лет;

m - количество внутригодовых начислений;

FV - наращенная сумма.

Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

FV n = Р e rn ,

FV n = P e ? n ,

где: e = 2, 718281 - трансцендентное число (число Эйлера);

е? n - множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

Специальное обозначение процентной ставки при непрерыв­ном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

n - количество лет.

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сро­ке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использова­ния обычной формулы начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r / m) nm > FV = PV (1 + r) n .

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Таким образом, первоначально заявленная годовая процент­ная ставка для начисления сложных процентов, называемая но­минальной, не отражает реальной эффективности сделки. Про­центная ставка, отражающая фактически полученный доход, на­зывается эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллю­стрирует рисунок.

Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании мож­но рассчитать эффективную процентную ставку (r е).

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

FV = PV (1 + r) n ;

(1 + r e) = FV / PV.

Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

FV = PV (1 + r / m) nm .

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

(1 + r e) = (1 + r/m) m ,

r e = (l + r/m) m - 1,

где r е - эффективная процентная ставка; r - номинальная процентная ставка; m - количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от коли­чества внутригодовых начислений (m):

1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых со­ставляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную сте­пень:

FV = PV (1 + r) n + f ,

где f - дробная часть срока вложения денежных средств.

Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления слож­ных процентов с целым числом лет и формулу начисления про­стых процентов для краткосрочных операций:

FV = PV (1 + r) n (1 + f r),

FV = PV (1 + r) n (1 + t r / Т).

Начисление процентов — одна из основных операций в экономике и . Самый близкий всем пример — депозит в банке, где вложенные деньги в конце периода возвращаются к владельцу с прибылью.

А что будет, если повторить этот цикл несколько раз ? Тут то и появляется понятие простых и сложных процентов , которым посвящена эта статья.

Инвесторы, которые работают на , сталкиваются с повторным вложением денег (реинвестированием) постоянно. Если банковские депозиты приносят владельцам прибыль через несколько месяцев или даже год, то на валютном рынке прибыль/убыток появляется после каждой сделки.

Поэтому все, кто интересуется , будут регулярно работать с простыми и сложными процентами. Давайте же разберемся, что же означают эти понятия.

Простой процент — прибыль по многоразовым вкладам за каждый период времени всегда начисляется только на первоначальную сумму .

Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. По схеме простого процента и в первый, и во второй, и в любой другой год прибыль составит 1000$. Чтобы узнать прибыль за N лет, просто умножьте прибыль за один год на число N.

Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов всегда равна начальной сумме вложений . Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.

Сложный процент — проценты по многоразовым вкладам за каждый период начисляются на первоначальную сумму и всю полученную до этого прибыль .

Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. В первый год прибыль составит 5000$ * 20% = 1000$, во второй (5000$ + 1000$) * 20% = 1200$, в третий (5000$ +1000$ + 1200$) * 20% = 1440$ и так далее.

Каждый раз, когда инвестор хочет несколько раз «прокрутить» свои деньги через инвестиционный инструмент, он сталкивается со сложным процентом. Полученная прибыль на первом круге реинвестируется и проценты уже начисляются на более крупную сумму.

В инвестициях на рынке Форекс сложный процент используется постоянно, потому что сумма вложений меняется постоянно — фактически после каждой сделки. Многие инвесторы используют тактику «вложил и забыл», оставляя полученную прибыль работать вместе со стартовым вкладом.

Разница между простыми и сложными процентами на первый взгляд кажется не такой уж большой. Но чем больше проходит времени, тем очевиднее становится преимущество сложных процентов:

Простые и сложные проценты на одном графике

Конечно, это всё теория и на практике добиться 30-кратного реинвестирования прибыли совсем непросто. Но факт остаётся фактом — сложные проценты могут сослужить хорошую службу инвестору. И чтобы умело их использовать, нужно правильно их считать, в чём помогут несколько полезных формул.

Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач

• начальная сумма вклада (K нулевая или К 0)
• (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
• количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:

K = 10000$ * (1 + 0.1) 5 = 16105.1$

Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:

P = K — К 0 = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$

P (%) = K/К 0 — 1 = 16105.1$ / 10000$— 1= 61.05%

Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером.

Используем формулу:

К 0 = 1000000₽ / (1 + 0.2) 3 = 578703.7₽

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

Начнем с процентной ставки:

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

K = К 0 + P = 20000$ + 10000$ = 30000$

А теперь можно использовать формулу:

R = (30000$ / 20000$) ^ 1/3 — 1 = 14.47%

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный — вполне.

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Подставляем в формулу:

n = log 1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

Многие формулы сложных процентов по вкладам на обычном калькуляторе не посчитаешь — нужно использовать специальные программы или сайты. Microsoft Excel позволяет делать практически любые прикладные расчёты быстро и удобно — всего-то нужно скачать файл и работать с ним.

По формулам из статьи я сделал небольшой калькулятор для расчёта сложных процентов. Вот так выглядит одна из страниц:

Скриншот из калькулятора сложных процентов с капитализацией.

С помощью файла вы сможете решить задачи, которые мы рассматривали по ходу статьи:

• расчёт конечной суммы вклада;
• расчёт начальной суммы вклада;
• расчёт нужной процентной ставки;
• расчёт срока инвестирования;
• расчёт конечной суммы вклада с учётом добавочных вложений или снятия прибыли.

Как получить калькулятор сложных процентов от Вебинвеста? Очень легко — воспользуйтесь формой ниже:

Sp-force-hide { display: none;}.sp-form { display: block; background: #ffffff; padding: 10px; width: 450px; max-width: 100%; border-radius: 0px; -moz-border-radius: 0px; -webkit-border-radius: 0px; border-color: rgba(214, 189, 90, 1); border-style: solid; border-width: 2px; font-family: Arial, "Helvetica Neue", sans-serif; background-repeat: no-repeat; background-position: center; background-size: auto;}.sp-form input { display: inline-block; opacity: 1; visibility: visible;}.sp-form .sp-form-fields-wrapper { margin: 0 auto; width: 430px;}.sp-form .sp-form-control { background: #ffffff; border-color: #cccccc; border-style: solid; border-width: 1px; font-size: 15px; padding-left: 8.75px; padding-right: 8.75px; border-radius: 4px; -moz-border-radius: 4px; -webkit-border-radius: 4px; height: 35px; width: 100%;}.sp-form .sp-field label { color: #444444; font-size: 13px; font-style: normal; font-weight: bold;}.sp-form .sp-button { border-radius: 4px; -moz-border-radius: 4px; -webkit-border-radius: 4px; background-color: #b3901e; color: #ffffff; width: 100%; font-weight: 700; font-style: normal; font-family: Arial, sans-serif; box-shadow: none; -moz-box-shadow: none; -webkit-box-shadow: none; background: linear-gradient(to top, #7f6615 , #ddb432);}.sp-form .sp-button-container { text-align: center; width: auto;}

В большинстве финансовых расчетов менеджерам приходится сталкиваться со сложным, а не с простым процентом. Если сумму, начисляемую по процентам, каждый раз инвестировать (капитализировать), иначе говоря, присоединять к основной сумме, т.е. в качестве приращения использовать не постоянную величину, как в случае простого процента, а процентную ставку от всей накопленной предыдущей суммы, то в данном случае речь будет идти о сложной процентной ставке.

Сложная процентная ставка – такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды ("проценты на проценты").

Последовательность расчетов по сложной ставке процента в общем виде такова:

сумма, начисленная за первый год: ;

сумма, начисленная за второй год: .

В общем случае

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующий процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых при реинвестировании средств в конце каждого периода.

Итак, справедлива следующая формула, называемая формулой сложных процентов:

где – наращенная по сложным процентам сумма; – основной капитал; r – процентная ставка за период; t – срок (в периодах, соответствующих процентной ставке); – множитель наращения .

Примечание. Нестабильность экономической ситуации вынуждает использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов.

В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле

где – последовательные значения ставок процентов; – периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Формула дисконтирования по сложным процентным ставкам имеет следующий вид:

Пример. 250 тыс. долл. США инвестированы на четыре года под 6% годовых. Вычислите сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты; различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (), при сроке ссуды менее одного года () наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам. При сроке сделки больше года () наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, ибо в этом случае

где в фигурных скобках раскрыто по формуле бинома Ньютона.

Будущая стоимость и частота капитализации

Как правило, в финансовых контрактах фиксируется годовая процентная ставка, хотя проценты при этом могут начисляться по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Очевидно, что чем чаще проценты капитализируются, тем быстрее растет стоимость соответствующего актива. Годовая ставка в этом случае должна быть соответствующим образом преобразована. Так, если годовая ставка процента 12%, то при полугодовом варианте капитализации она составит 6 при квартальном – 3% и т.д.

Для расчета будущей стоимости, например, при полугодовой капитализации можно представить, что сумма РV инвестируется на два периода с процентной ставкой r/2 за каждое полугодие. Таким образом, следует рассчитать будущую стоимость FV через два периода (полугодия). Обобщив, можно сказать, что если т – число периодов капитализации в году, то будущая стоимость FV через t лет при ставке г процентов в год, выражается формулой

Пример. Вкладчик размещает в банке 1000 долл. США под 20% годовых. Какую сумму денежных средств он будет иметь на своем счете через пять лет, если сложный процент начисляется: а) ежеквартально; б) ежемесячно?

Решение.

Как следует из приведенного примера, чем чаще периодичность начисления сложного процента, тем бо́льшую сумму получит инвестор за тот же период времени при одинаковой годовой процентной ставке.

Непрерывное начисление процентов

Сложный процент может начисляться достаточно часто. Если периодичность начисления процента будет стремиться к бесконечности (т → ∞), получим случай непрерывного начисления процента. Несмотря на то, что логически непросто представить себе частоту начисления процента, равную бесконечности, математически возможно определить ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит денежные средства на условиях непрерывно начисляемого процента. В частности:

При непрерывном начислении процентов , следовательно, . В этом случае Нетрудно убедиться в том, что множитель наращения действительно ограничен в росте по мере увеличения параметра т. Читатель сможет это сделать самостоятельно, например, для частного случая, когда и . Уже при множитель наращения будет равен 2,717, а при примет значение 2,718 .

Непрерывное наращение – допущение, существующее только в теории и применяющееся в финансовых моделях, таких, как, например модель определения стоимости опционов (см. гл. 4).

Эффективная (фактическая) процентная ставка

Итак, мы выяснили, что чем чаще происходит капитализация, тем быстрее растет будущая стоимость. Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками.

Эффективная ставка процента () – совокупно начисленная за год процентная ставка, которая эквивалентна годовой процентной ставке при капитализации чаще, чем один раз в год.

Эта последняя известна так же как номинальная, или заявленная, ставка процента. Эффективная и номинальные ставки эквивалентны, когда обеспечивают одинаковую будущую стоимость. Таким образом, для того, чтобы найти эффективную ставку процента, необходимо, очевидно, решить следующее уравнение:

В левой части данного уравнения показана будущая стоимость (через один год) 1 ден. ед., на которую начисляется эффективная процентная ставка, а в правой части – будущая стоимость 1 ден. ед., на которую начисляется сложный процент в течение т периодов при ставке за период. Так как т периодов в совокупности составляют год, то рассматриваемое уравнение отражает совершенно естественное требование того, чтобы оба эти значения будущей стоимости были равны.

Для произвольного количества лег () имеем

Эффективная процентная ставка часто используется для сравнения инвестиционных альтернатив при разных процентных ставках и периодах капитализации. Рассчитав в этом случае эффективные ставки процента, предпочтение должно быть отдано (при прочих равных условиях) варианту с бо́льшим значением эффективной (фактической) ставки процента.

Пример. Предположим, что вы планируете инвестировать 100 000 долл. США, и имеете возможность вложить их под 12% годовых с ежемесячной капитализацией. Есть и другой вариант: можете вложить свои средства под 12,4% годовых с полугодовой капитализацией. Какой вариант предпочесть?

Для ответа вычислим эффективные ставки процента по обоим вариантам:

Сравнительный анализ результатов расчетов свидетельствует о более высокой эффективности второго инвестиционного варианта вложения средств.

Определение неизвестной процентной ставки

В некоторых финансовых расчетах инвесторы для обоснования своих решений сталкиваются с необходимостью определения неизвестной процентной ставки, связывающей конкретные значения настоящей (приведенной) и будущей стоимости при известном сроке их разделяющем. Например, некоторые виды облигаций требуют платежа сегодня и предполагают будущий платеж на заданную сумму, но подразумеваемая при этом процентная ставка не указывается, и поэтому ее приходится рассчитывать.

Это можно сделать после соответствующего преобразования формулы, связывающей настоящую (приведенную) и будущую стоимости. В результате получим

Пример. Вам предлагают инвестировать денежные средства, гарантируя удвоить их объем через пять лет. Целесообразно ли последовать данному предложению, если у вас имеется альтернативная возможность размещения денег под 14% годовых?

Решение.

Следовательно, сделанное предложение экономически выгодно.

Определение неизвестного числа периодов

Иногда финансовым менеджерам требуется вычислить, какое время понадобится для того, чтобы инвестированная в конкретный проект сумма достигла, при известной процентной ставке, определенного (заданного) размера. Например, менеджера пенсионного фонда, располагающего конкретным объемом денежных средств сегодня для обеспечения будущих пенсионных платежей, может интересовать, за какой период эти средства вырастут до некоторой величины, позволяющей обеспечить выполнение обязательств фонда. Здесь, как и в предыдущем случае, решение может быть найдено из уравнения, связывающего настоящую (сегодняшнюю) и будущую стоимости:

Перепишем ее следующим образом:

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства:

Согласно свойству логарифма запишем

Решение этого уравнения для t дает

Пример. В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10000 долл. США с целью получения по счету 11881 долл. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Для приблизительного расчета количества дискретов (периодов) времени, требуемых для удвоения инвестиций, можно воспользоваться известным "правилом 72", дающим очень хорошее приближение. Искомая величина здесь может быть рассчитана делением числа "72" на ставку процента, задаваемую в процентах.

• Значение множителя наращения (1 + г)", а также обратного ему коэффициента дисконтирования 1/(1 + г)" табулированы и приводятся практически в любом учебном пособии по финансовым вычислениям (приложение 1).
• Экспонента е имеет бесконечное число знаков после запятой: 2,71828182845904523536287...

2.5. Способы начисления процентов

Существуют два способа определения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов: проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется, исходя из величины начального капитала.

Антисипативный способ начисления процентов (предварительный) : проценты начисляются в начале каждого интервала начисления . Сумма процентных денег определяется, исходя из наращенной суммы.

2.6. Основные схемы начисления процентов

А. В зависимости от базы начисления процентов , известны две основные схемы дискретного начисления процентов: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов (simple interest ) предполагает постоянную базу для начисления процентов - одну и ту же первоначальную денежную сумму в течение всего периода начисления.

Инвестированный капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Схема сложных процентов (compound interest ) предполагает переменную базу для начисления процентов. Очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные за предыдущие интервалы и не востребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Сложные проценты иначе называют "проценты на проценты ".

Б. Процентные ставки в зависимости от постоянства значения в течение действия контрактамогут быть фиксированными и плавающими .

В. В зависимости от постоянства интервала времени начисления процентов (год, полугодие, квартал и т.п.) проценты могут быть дискретными и непрерывными ( за бесконечно малые промежутки времени).

3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ

Обозначения :

Величина первоначальной денежной суммы - долга, инвестиции,

Наращенная сумма в конце срока,

% - простая годовая ставка ссудного процента (ставка наращения),

Проценты за весь срок ссуды (ден. ед.),

Продолжительность периода начисления в годах (срок ссуды),

Число месяцев ссуды,

Число дней ссуды,

Сумма процентных денег, выплачиваемых за год,

Временнáя база для расчета процентов.

Схема простых процентов :

1) начисление процентов в конце интервала начисления (декурсивный способ начисления процентов);

2) простые процентные ставки применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, поэтому база для начисления процентов постоянная ;

3) простые ссудные проценты применяются в краткосрочных финансовых операциях (до года).

По схеме простых процентов за каждый год начисляется одинаковая сумма процентных денег .

В конце первого года наращенная сумма равна

в конце второго года –

в конце -ого года сумма составит

Таким образом, приращение капитала (проценты за весь срок ссуды лет) составляют

и, как видно, пропорционально сроку ссуды и ставке процента .

Наращенная сумма к концу срока составит

. (2)

Капитализация процентов выражается формулой

Процентная ставка (в процентах) есть отношение суммы годовых процентных денег к первоначальной сумме:

. (4)

Заметим, что последовательность наращенных сумм, ... , образует арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Множитель наращения простых процентов равен отношению наращенной суммы к первоначальной сумме:

(5)

Он показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Другими словами, величина характеризует будущую стоимость одной денежной единицы через лет при ставке процента.

1 2 . . . .

Рис. 1 - График функции наращенной суммы по простым процентам

Пример 4. Ссуда в размере рублей выдана на три года по простой ставке процентов годовых.

Найти сумму процентных денег, выплачиваемых за каждый год.

Записать последовательность сумм, начисленных к концу первого, второго, третьего года.

Найти наращенную сумму за три года.

Каковы проценты за весь срок ссуды?

Найти множитель наращения за три года.

Решение

По условию задачи, =1000, =0,2, =3.

1. За каждый год выплачивается сумма процентных денег

2. В конце первого года наращенная сумма будет равна

в конце второго года –

в конце третьего года - сумма

3. Величину наращенной суммы за три года вычислим по формуле (2):

4. Проценты за весь срок ссуды найдем по формуле (1):

5. Множитель наращения по простым процентам равен

Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма долга 1000 руб. к концу срока ссуды.

Наращение простыми процентами ежегодно по ставке годовых дает тот же результат, что и наращение простыми процентами по ставке за период длительностью (лет).

4. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ДЛЯ КРАТКОСРОЧНЫХ ССУД

Если банк начисляет в год , то за один месяц – , а за месяцев ссуды – . Наращенная сумма по простым процентам за месяцев составит

. (6)

Если банк начисляет в год , то за один день - (число дней в году или). Тогда за дней ссуды наращенная сумма составит

(7)

Определяя продолжительность финансовой операции в днях, принято день выдачи и день погашения суды считать за один день. Для определения в таблице порядковых номеров дней в году (Приложение, Таблица 1) из порядкового номера дня окончания займа вычитается номер первого дня.

Для нахождения начислений на вклад за лет, месяцев и дней можно вычислять проценты отдельно за лет, месяцев и дней, а затем просуммировать полученные результаты:

На практике используется три способа подсчета . При этом употребляются термины:

Точный процент - точное число дней в году (или 366) дней;

Обыкновенный процент – приближенное число дней в году дней;

Точное число дней для начисления процентов (количество дней минус 1, так как первый и последний день считаются за один день);

Приближенное число дней для начисления процентов (считается, что в каждом месяце по 30 дней, затем вычитается 1 день).

1 способ. Точный процент с точным числом дней ссуды (США, Великобритания). За временнýю базу берется точное число дней в году (или) и точное число дней ссуды .

2 способ. Обыкновенный процент с точным числом дней ссуды (Франция, Бельгия). Временнáя база равна приближенному числу дней в году дней, - точному числу дней ссуды .

3 способ. Обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды - коммерческий процент (Германия, Дания, Швеция). Временнáя база дней, равно приближенному числу дней ссуды (при допущении, что продолжительность любого месяца равна 30 дней.

Временная база	Число дней ссуды
	Точное число дней	Приближенное число дней
(или 366) дней	Точный процент
	Обыкновенный процент	Коммерческий процент

Пример 5.

Кредит в размере тыс. руб. выдан марта по июня под % годовых. Найти наращенную сумму при расчете процентов по способу:

точный процент с точным числом дней ссуды,

обыкновенный процент с точным числом дней ссуды;

обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды.

Решение

По условию, =500000 руб., = 0,6.

1) При английской практике (точный процент с точным числом дней):

точное количество дней для начисления процентов составит:

= (количество дней кредита в марте) + (в апреле) + (в мае) + + (в июне) - (день первый и день последний считаются за один день) = дней.

Количество дней можно найти и другим способом. В таблице «Порядковые номера дней года» (см. Приложение) дата 25 марта имеет номер 84, а 12 июня – номер 163, тогда.

Временная база для начисления процентов = 365 дней.

Наращенную сумму вычислим по формуле точного простого процента: руб.

2) При французской практике количество дней для начисления процентов составит дней, как и при английской практике. База для начисления процентов = дней. Значит, наращенная сумма при обыкновенном простом проценте равна руб.

3) При германской практике количество дней для начисления процентов составит: = (количество дней кредита в марте) + (в апреле и мае считается по 30 дней) + (в июне) - (день первый и последний считаются за один день) = дней. База для начисления процентов = = дней. Значит, наращенная сумма составит (коммерческий процент)

5. ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

Если в интервалах продолжительностью, ... , установлены различные ставки начисления простых процентов, ... , (переменные ставки ), то за весь срок договора наращенная сумма равна:

(11)

Формулой (11) можно пользоваться и в тех случаях, когда интервалы выражены в различных единицах времени. Необходимо помнить, что размерность каждого интервала должна быть согласована с размерностью процентной ставки : если выражен в годах, то - годовая процентная ставка, если выражен в месяцах, то - процентная ставка за один месяц и т.д.

Пример 6. Вклад на сумму тыс. руб. был положен в банк на условиях: в первый год простая процентная ставка равна годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на. Найти наращенную сумму за два года.

Решение

Введем обозначения: , (год), (лет), (лет), . Наращенная сумма за два года составит:

Контрольные вопросы

Какие задачи ставит и решает финансовая математика?

Что означает принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени?

Как учитывается время в финансовых расчетах?

Что представляют собой операции наращения, дисконтирования и приведения?

Проценты, дискретные и непрерывные проценты.

Период и способы начисления процентов.

Капитализация процентов.

Процентная ставка, наращение, годовая процентная ставка.

Какие методы начисления простых процентов вы знаете?

Формулы наращения по простым процентам.

Различные методики начисления простых процентов.

Изменение процентной ставки и величины вклада.

Определение процентной ставки и длины периода.

процентов Содержание Начисление сложных годовых процентов Сравнение наращения по простым и сложным процентам Наращение...

1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента (2)

   Реферат >> Финансы

   64 1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента 1.1.Сущность финансового менеджмента Финансовый менеджмент - это наука и искусство принимать инвестиционные решения и решения по выбору...

2. Основные определения финансового менеджмента

   Шпаргалка >> Финансы

   ... решения и решения по выбору источников финансирования. 2. Цель и задачи финансового менеджмента . ... во времени: простой % и сложный %. Простой процент - метод... управленческих решений . Главная факторная цепочка формирующая прибыль может быть предоставлена схемой ...

3. Сущность финансового менеджмента (2)

   Реферат >> Менеджмент

   Управления. 2) Управленческие решения в сфере финансового менеджмента должны быть динамичны. 3) Присутствие разнообразных вариантов управленческих решений . 4) ... стоимость: Простые проценты PV=PV/(1+rm) m Сложные проценты PV=PV/(1+r) Схема дисконтирования. ...

При желании накопить немного денег или грамотно инвестировать уже имеющиеся накопления, одной из обязательных для изучения тем является формула простых процентов, сложных и принципов их исчисления. Они являются основным показателем выгодности вложений.

В сфере экономики и финансов процедуру вычисления этих показателей принято различать. Специалисты банковского дела подразумевают под сложным процентом термин капитализации, а специалисты по инвестированию – реинвестирования.

Определение простых и сложных процентов

Простые проценты – ставка доходности, начисляемая на изначальную сумму вклада. Их размер определяется только одни раз по окончании срока депозита и остается неизменным во всех последующих отчетных периодах, без учета пассивного дохода, полученного вкладчиком.

Сложные проценты по депозиту определяются как геометрическая прогрессия накоплений по вкладу. То есть, в каждый расчетный период величина базовой суммы депозита, к которой применяется формула банковского процента, увеличивается путем прибавления полученного дохода.

Простые и сложные проценты отличаются принципом вычисления размера прибавки к базовой сумме накоплений. В первом случае базис не меняется с течением расчетных периодов, в случае с капитализацией (или реинвестированием) – она увеличивается каждый раз на сумму начисленных депозитных бонусов.

Для среднестатистического обывателя подобная информация может показаться чересчур заумной, но, если разобраться немного подробнее, все не так страшно. И даже формулы простых и сложных процентов, при их детальном разборе, просты и понятны.

Применение разных схем начисления процентов отражается на размере пассивного дохода по вкладу

Пример расчета

Клиент банка открыл депозитный счет, пополнив его на 1000 рублей. Ставка учреждения по депозиту составляет 10% годовых, срок действия вклада – 3 года.

Формула расчета простой доходной ставки приведет к итогу, что через оговоренных 3 года клиент получит 1300 рублей. Сложная ставка процентов принесет клиенту через тот же срок 1331 рубль за счет реинвестирования средств.

Разница в 31 рубль, возможно, не так уж и критична, но если речь пойдет о вкладе на более крупную сумму, то и выгода окажется несоразмерной данному примеру.

Способы расчета

Дискретное начисление дохода основывается на принципе долгового заимствования средств банком у физических лиц под определенный размер вознаграждения. Величина такого дохода будет зависеть от схемы его начисления и величины базового капитала. Конечно, схема сложных процентов на первый взгляд принесет большую выручку, но стоит изучить все тонкости системы.

Доходность при начислении простых процентов является фиксированной

Расчет простой процентной ставки

Разумеется, процесс начисления простых процентов намного проще. Сумма высчитывается всего один раз и не меняется в течение срока хранения вклада в банке.

Обычно договор на банковское обслуживание оговаривает размер процентной ставки за год. Если по каким-либо причинам нужно узнать ее размер за период в один месяц, нужно применить формулу: Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty) , где:

• Fv – размер величины простых процентов;
• Sv – базовая сумма вклада;
• R – годовая процентная ставка;
• Td – срок действия депозита в днях;
• Ty – количество дней в году.

Для вкладов с пополнением и снятием средств расчет осуществляется отдельно для каждого периода хранения разных сумм на депозите. Иными словами, если клиент положил начальную сумму на счет, потом пополнил счет, а потом снял с него часть средств, то расчет будет состоять из трех этапов. Для каждого временного отрезка и для каждого объема денежных средств.

Расчет сложной процентной ставки

Стремясь к получению большей выгоды, держатели депозитов все чаще интересуются вопросом, как рассчитать сложный процент по вкладу . Для более наглядного описания, процесс капитализации средств можно представить так: по окончанию расчетного периода клиента банка закрывает депозит и снимает все накопленные средства (базис + набежавшие проценты). А потом кладет их еще на один расчетный период обратно в банк. Таким образом, начисление процентной ставки будет осуществляться уже на увеличенный базисный капитал.

Формула сложных процентов по кладу выглядит следующим образом: Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd , где:

• Fv – конечная сумма выгоды;
• Sv – базовая сумма депозита;
• R – процентная ставка в год;
• Ny – число временных отрезков капитализации средств за год;
• Nd – число временных отрезков капитализации в течение всего срока депозита.

Для определения временного отрезка капитализации банк использует равные промежутки: месяц, квартал или год. По истечении каждого отсчетного промежутка на текущую величину вклада начисляются процентные бонусы.

Начисление сложных процентов осуществляется в каждый установленный период расчета

Наиболее интересные варианты по годовым процентным ставкам предоставляются следующими программами инвестирования:

• облигации федерального займа – государственные облигации, годовая ставка 5%;
• стандартный депозитный вклад – ставка 10%;
• сборный портфель из облигаций и акций – ставка 15%;
• сборный портфель из ценных бумаг биржи – ставка 20%.

Интересно, что при составлении договора на обслуживание банком депозитного счета в формулировках не используется определение простого и сложного процента. Если доходность рассчитывается по схеме простой процентной ставки, то это указывается как «начисление процентов по окончанию срока депозита». Если по схеме сложной процентной ставки, то как «начисление процентов по окончанию расчетного периода» или «с учетом капитализации средств».

Какая схема более выгодна

На первый взгляд кажется, что ответ на вопрос, как выгоднее инвестировать, очевиден. На самом деле, не всегда просто решить, на какой вид счета положить свои активы: с более высокой ставкой под простые проценты или с меньшей ставкой с рефинансированием средств?

Прибыльность процентной надбавки к базовой сумме интересна с точки зрения кладчика далеко не всегда. Перед тем, как принять решение, рекомендуется собрать все имеющиеся предложения от банков и просчитать каждый вариант самостоятельно по формулам. Тогда станет понятно, при каких условиях депозит принесет наибольший пассивный доход.

На официальных сайтах многих банков доступна удобная опция онлайн калькуляции доходности вкладов. Она позволит сравнить условия разных банковских программ и выбрать наиболее оптимальную.

Грамотный просчет начисления процентов является эффективным финансовым инструментом и помогает получить максимальную выгоду от хранения активов. Важно понимать, что выбор схемы начисления зависит от параметров вклада и условий, предлагаемых банком. При выборе оптимальной стратегии накопления можно получить внушительный пассивный доход.