Операции наращения денежных потоков. Дисконтирование
Тема 3. Основы финансовой математики
3.1. Временная ценность денег.
3.2. Операции наращения и дисконтирования.
3.3. Процентные ставки и методы начисления. Понятие простого и сложного процента.
3.4. Виды денежных потоков.
3.5. Оценка денежного потока с неравными поступлениями.
3.6. Оценка аннуитетов.
3.7. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка.
Временная ценность денег.
Временную ценность денег рассматривается в двух аспектах.
Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением времени. Представим, что предприятие имеет свободные денежные средства в размере 15 тыс. руб., а инфляция составляет 20% в год (т.е. цены увеличиваются в 1,2 раза). Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 тыс. руб.
Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.
Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой деловой операции, которая принесет доход в размере 10 тыс. руб. по истечении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.
Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получения доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистекает из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пушена в оборот и, таким образом, принесет дополнительные доходы.
Операции наращения и дисконтирования
Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой, очевидно, можно взять либо РV, либо FV.
2 формулы расчета ставки:
r t = FV – PV (1)
d t = FV – PV (2)
В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт».
Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:
r t = d t
d t = r t
d t -дисконт, r t - учетная ставка
Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)-исходная сумма, в формуле (2) - возвращаемая сумма.
Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина - наращенной суммой, ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему (рис. 1).
НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ
Рис. 1 Логика финансовых операций
Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (3)
FV = PV + РУ *r t ,
Разность I = FV - PV называется процентом. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы PV.
На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная - чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государственные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невысока.
Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.
Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Одна из интерпретаций ставки, используемой для дисконтирования, такова: ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.
Предприятие получило кредит на один год в размере 5 тыс. руб. с условием возврата 10 тыс. руб. В этом случае процентная ставка равна 100%, а дисконт - 50%.
1.1. Операции наращивания и дисконтирования.
Стоимость определенной суммы денег это функция от времени возникновения денежных доходов или расходов.
Тезис «время-деньги» всем хорошо известен.
Временная стоимость денег обусловлена двумя факторами:
Обесценение денежной наличности с течением времени в результате инфляции.
Обращение капитала (денежных средств).
Простейшим видом финансовой сделки является однократное представление в долг некоторой суммыPV (present value) с условием, что через какое-то время t будет возвращена большая сумма FV (future value). Результат такой сделки оценивается с помощью специального коэффициента, который называется ставкой .
Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул.
Темпы прироста
Темпы снижения
В финансовых вычислениях первый показатель называется:
«ставка процента»;
«норма прибыли»;
«доходность».
«процентная ставка»;
«процент»;
Второй показатель называется:
«учетная ставка»;
«дисконт»;
«ставка дисконта»;
«коэффициент дисконтирования».
Обе ставки взаимосвязаны:
Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах.
Очевидно, что . Степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если,, т. е. расхождение сравнительно невелико; если, то, т. е. ставки существенно различаются по величине.
Как правило, при оценке инвестиционных проектов имеют дело с процентной ставкой .
В любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины , из которых две заданы, а одна является искомой.
Если заданы исходная сумма PV и процентная ставка , то финансовая сделка характеризуетпроцесс наращивания .
Если заданы сумма, ожидаемая к получению в будущем (возвращаемая сумма) FV и ставка дисконта , то финансовая сделка характеризуетпроцесс дисконтирования , т. е. приведения к настоящему моменту времени (рис. 1).
Рис.1. Логика финансовых операций.
В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование) , либо учетная ставка (банковское дисконтирование).
Из формулы (1) следует:
,
и , т. е. Мы видим, что время «генерирует деньги».
Выводы:
На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей, главным образом, от степени риска. Чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государственные ценные бумаги или государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невелика.
Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.
Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов.
Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.
6.2. Временнáя ценность денег: операции наращения и дисконтирования (теория и практика)
Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по-разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих. Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени.
Во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, то есть деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход. Рубль сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;
Во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, так как цены на товар повышаются.
В-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра, – еще вопрос.
Возникают, как правило, две задачи.
Первая – это определение будущей стоимости «сегодняшних» денег. В качестве цены денег рассматривается процент, как экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что вложенная сумма денег приносит доход.
Вторая – это определение текущей стоимости «будущих» денег.
Для рассмотрения формул, используемых при решении данных задач, введем ряд условных обозначений:
PV – величина первоначальной суммы или настоящая (текущая) стоимость денег (presentvalue);
FV – наращенная сумма или будущая стоимость денег (futurevalue), первоначальная сумма с начисленными на нее процентами;
r – ставка процента за период начисления процентов или норма доходности (interestrate);
n – число процентных периодов.
Рассмотрим суть и содержание каждой из этих задач.
Будущая стоимость денег – это стоимость настоящих денег через определенный период времени, увеличенная (наращенная) при осуществлении финансовой операции согласно заданной норме доходности. Операция наращения – это процесс увеличения (наращения) настоящей стоимости денег согласно заданной норме доходности при осуществлении финансовой операции по схеме простых или по схеме сложных процентов.
Схема простых процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на настоящую стоимость денег.
Соответственно, будущая стоимость денег (по схеме простых процентов) к концу второго периода начисления процентов можно определить следующим образом:
FV=PV∙(1+r∙n)
Схема сложных процентов предполагает начисление процентов в конце каждого периода начисления на увеличенную на сумму начисленных процентов за предыдущие периоды стоимость денег. Принцип наращения при использовании схемы сложных процентов можно представить в таблице 2.
FV= PV∙〖(1+r)〗^n
Разберем теперь определение текущей стоимости денег (операция дисконтирования).
Текущая стоимость денег – это стоимость будущих денежных поступлений (платежей) в настоящий момент времени. Текущая стоимость денег определяется с помощью операции дисконтирования. Дисконтирование – это процесс приведения будущей стоимости денег к их текущей (приведенной) стоимости или оценка будущих денежных поступлений (платежей) с текущего момента времени.
Необходимость определения текущей стоимости денег обусловлена следующими факторами:
обесценивание денег в результате инфляции;
обращение денежных средств как капитала обеспечивает получение дохода от этого оборота;
предъявление инвестором определенных требований к доходности вкладываемых денежных средств (инвестором устанавливается норма доходности).
Модель операции дисконтирования описывается следующей формулой:
PV=FV/〖(1+r)〗^n
Пример 1. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы простых процентов».
Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему простых процентов исходя из 12% годовых.
Определить: а) какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года; б) какая сумма денег будет на счете в банке через три месяца.
Решение:
а) Определим сумму денег на счете в банке на конец соответствующего года:
на конец первого года: FV 1 = 100 · (1+0,12·1) = 112 у.е.;
на конец второго года: FV 2 = 100 · (1+0,12·2) = 124 у.е.;
на конец третьего года: FV 3 = 100 · (1+0,12·3) = 136 у.е.
б) Для определения суммы денег на счете в банке через три месяца необходимо определить ставку процента за три месяца:
Соответственно, сумма денег на счете через три месяца составит:
FV 3 мес. = 100 · (1 + 0,03·1) = 103 у.е.
Пример 2. «Оценка будущей стоимости денег при использовании схемы сложных процентов».
Организация помещает в банк 100 у.е. на три года. Банк использует при начислении схему сложных процентов исходя из 12% годовых.
Определить, какая сумма денег будет на счете в банке на конец первого, второго и третьего года, если период начисления процентов равен: а) году; б) трем месяцам; в) месяцу.
Решение:
Сумма денег на счете в банке на конец первого, второго и третьего года будет зависеть от длительности периода начисления процентов и составит соответственно:
а) длительность периода начисления процентов – год
FV 1 = 100 (1 + 0,12) 1 = 112 у.е.;
FV 2 = 100 (1 + 0,12) 2 = 125,5 у.е.;
FV 3 = 100 (1 + 0,12) 3 = 140,5 у.е.
б) длительность периода начисления процентов – три месяца
FV 1 = 100 (1+0,12/4) 12/3 = 100 (1+0,03) 4 = 112,6 у.е.;
FV 2 = 100 (1+0,12/4) 24/3 = 100 (1+0,03) 8 = 126,7 у.е.;
FV 3 = 100 (1+0,12/4) 36/3 = 100 (1+0,03) 12 = 142,6 у.е.
в) длительность периода начисления процентов – месяц
FV 1 = 100 (1+0,01) 12 = 112,7 у.е.;
FV 2 = 100 (1+0,01) 24 = 126,9 у.е.;
FV 3 = 100 (1+0,01) 36 = 143,1 у.е.
Можно сделать вывод, что меньше длительность периода начисления процентов, тем больше будет наращенная сумма за рассматриваемый период.
Пример 3. «Оценка текущей стоимости денег».
Предполагается получение 140,5 у.е. через три года. Ставка дисконтирования принимается на уровне 12% годовых (доход приносит вложенная сумма и полученные проценты). Первоначальный вклад составляет: а) 90 у.е.; б) 110 у.е.
Определить целесообразность заключения финансовой сделки в условиях разного первоначального вклада.
Решение:
Расчет текущей стоимости денег по приведенной модели дисконтирования выглядит следующим образом:
140,5/(1,12^3)=100
Расчет чистой текущей стоимости денег приведен по двум вариантам первоначальных затрат:
а) PVnet = 100 – 90 = 10 у.е.
б) PVnet = 100 – 110 = - 10 у.е.
По результатам расчетов можно сказать, что финансовая сделка целесообразна при условии первоначального вложения 90 у.е.
I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях.
1.1 Процентная ставка
Простейшие и самые распространенные финансовые операции связаны с кредитом. Если вы хотите занять деньги, то идете в банк. Банк даст вам деньги с определенными условиями возврата, которые включают величину, способы возврата и время возврата денег. Если вы предоставляете свой капитал на определенное время, то тоже указываете в договоре величину, способы возврата и время возврата денег. При заключении финансового договора кредитор и заемщик договариваются о величине процентной ставки . Процентная ставка (rate of interest) является одной из основных характеристик кредитных, финансовых, коммерческих и инвестиционных контрактов. Процентная ставка – одно из основных финансовых понятий.
Процентная ставка учитывает фактор времени. В контрактах обязательно указывается сроки, периоды выплаты денег.
Фраза «доллар сегодня дороже, чем доллар завтра», отражает основной принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of many). Имеющуюся сегодня сумму можно инвестировать и получить в будущем доход, и сегодняшние 1000 руб. имеют большую ценность чем те же 1000 руб. через три или пять лет с учетом инфляции и рисков невозврата инвестиции (кредита). Фактор времени в долгосрочных операциях иногда оказывается важнее, чем величина суммы денег.
Процентная ставка учитывает временной интервал , который называется периодом начисления (running period). Периодом начисления может быть год, квартал, месяц, день. В практической деятельности и в статистике обычно подразумеваются годовые процентные ставки.
Процентная ставка учитывает риски финансовых операций и инфляцию . Процентная ставка является мерой эффективности (доходности) финансовой деятельности, кредитования, инвестиции, коммерческой деятельности.
Существуют различные виды процентных ставок. Ставки наращения (interest base rate), которые в зависимости от начальной суммы (базы начисления) в соответствующем периоде начисления подразделяются на простые и сложные. Учетная ставка (discount rate) – используется в операциях банковского дисконтирования, когда необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме.
Процентные ставки бывают фиксированным и плавающими. Базовая процентная ставка показывает изменяющуюся во времени базу и размер надбавки к ней (маржу). Например, межбанковская ставка LIBOR (London interbank offered rate), базовая ставка по рублевым кредитам МИБОР.
Важные для финансовой деятельности процентные ставки имеют специальное название. Это ставки рефинансирования Центрального Банка России (для США Федеральной резервной системы, далее ФРС). Ставка рефинансирования – это процентная ставка, по которой ЦБ выдает кредиты коммерческим банкам . За их изменениями внимательно следят участники финансового рынка.
Процентные ставки изменяются во времени, и зависимость от времени процентной ставки (временная структура процентной ставки) является одной их важнейших характеристик финансового рынка.
Процентные ставки выражаются либо в процентах, либо в долях единицы. Далее везде будем использовать в формулах значения процентов в виде десятичной дроби.
1.2 Процессы наращения и дисконтирования.
Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег..gif" width="21" height="24 src=">- исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма. Эффективность такой финансовой операции за один период Т от t = 0 до t = T рассчитывается, как доля прироста капитала к первоначальной сумме
https://pandia.ru/text/78/654/images/image006_39.gif" width="12 height=13" height="13">называется процентной ставкой за период наращения Т.
Рис.1.1. Графическое изображение процесса наращения.
Настоящее. Будущее.
Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма
(РV-present value) (FV –future value)
https://pandia.ru/text/78/654/images/image008_33.gif" width="246" height="12"> https://pandia.ru/text/78/654/images/image009_29.gif" width="97" height="24 src=">. (1.2)
Время генерирует деньги.
Если известна возвращаемая сумма и надо найти отношение прироста к конечной сумме https://pandia.ru/text/78/654/images/image012_26.gif" width="15" height="19 src=">
дисконтирование
https://pandia.ru/text/78/654/images/image010_28.gif" width="17" height="24 src="> и первоначальной суммой долга.
https://pandia.ru/text/78/654/images/image017_20.gif" width="34" height="24">при известной величине называется дисконтированием или банковским учетом. Из (1.3) эта величина равна
. (1.5)
В финансовой практике d называется часто учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита и связана с так называемым «антисипативным» способом начисления процента. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга.
Из формул (1.2) и (1.5) легко найти связь между процентной ставкой r и учетной ставкой d.
https://pandia.ru/text/78/654/images/image021_20.gif" width="72" height="45 src=">..gif" width="45" height="24 src=">.gif" width="133" height="41 src=">. (1.6)
Из приведенных формул следует, что теоретическая дисконтная ставка d меньше процентной ставки r .
Наряду с банковским дисконтированием, в котором используется учетная ставка, существует и математическое дисконтирование, в котором, используется процентная ставка r . При математическом дисконтировании сумма за один период равна
https://pandia.ru/text/78/654/images/image027_17.gif" width="43 height=17" height="17">, то можно использовать приближение , в результате получим .
Выше приведенные соотношения между начальной и наращенной суммой соответствуют одному временному интервалу – периоду начисления (дисконтирования) t . Если таких периодов несколько, то в формулах наращения (1.2) и дисконтирования (1.5) появляется коэффициенты (множители) наращения и дисконтирования.
Пример 1. Фирма получила кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата а) 15млн. руб., б) 10,5 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.
а) https://pandia.ru/text/78/654/images/image031_11.gif" width="120 height=41" height="41"> в процентах r = 50%, d = 33,33%.
б) https://pandia.ru/text/78/654/images/image033_13.gif" width="140" height="44 src=">, в процентах r = 5%, d = 4,8%.
При равных наращенных и начальных суммах величина учетной ставки меньше процентной ставки. При уменьшении наращенной суммы разность между учетной и процентной ставкой уменьшается.
Пример 2. Кредит был выдан под 12% годовых. Найти начальную сумму, если возвращаемая сумма равна 650 тыс. руб.
Решение. Расчет начальной суммы можно произвести двумя способами. По методу банковского дисконтирования (1.5) начальная сумма равна
https://pandia.ru/text/78/654/images/image035_10.gif" width="97" height="44 src=">580,357 тыс. руб.
Пример 3. Сравнить наращенные проценты по процентной ставке и учетной ставке, считая их равными.
Решение. Величина наращенных процентов по процентной ставке r равна , по учетной ставке d равна , поскольку , то при равенстве r = d , учетная ставка приводит к большей величине задолженности, чем процентная ставка r.
1.3. Начисление простого процента и сложного процента.
Простой процент.
Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. Этот способ начисления процентов называют “наращиванием без капитализации”. Наращенная сумма при ежегодном начислении процентов или будущая стоимость (future value) равна
https://pandia.ru/text/78/654/images/image040_8.gif" width="112" height="45 src=">, (1.9)
где https://pandia.ru/text/78/654/images/image042_7.gif" width="91" height="24"> или .
Пример 4. Кредит в размере 2 млн. руб. был выдан на 60 дней под 12% годовых. Найти наращенную сумму и процентный доход.
Решение. По формуле (1.9) найдем наращенную сумму
https://pandia.ru/text/78/654/images/image045_8.gif" width="111" height="41">=0,4 млн. руб.
Пример 5. Банк предлагает депозит с начислением на первоначальную сумму. Первые три месяца по ставке 4% годовых, в следующие три месяца процент возрастает на 0,5%. Найти наращенную сумму и процентный доход, если сумма вклада составляет 30 000руб.
Решение..gif" width="164" height="41 src=">=337,5 руб. За все шесть месяцев процентный доход равен 300+337,5=637,5 руб. Наращенная сумма равна DIV_ADBLOCK119">
Сложный процент.
Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму, поэтому этот способ начисления называют «наращением с капитализацией»..gif" width="107" height="39 src=">, (1.10)
где r - годовая процентная ставка (per annual), выраженная в виде долей единицы. Величина часто бывает нецелым числом. В зависимости от внутренних правил банка для расчета наращенной суммы при дробном числе лет как формула (1.10) или применяться приближенная формула.
https://pandia.ru/text/78/654/images/image054_6.gif" width="21" height="45">, а f - дробная часть этого числа. Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то расчет наращенной суммы за время производят по формуле
, (1.12)
где r
– годовая процентная ставка (номинальная), https://pandia.ru/text/78/654/images/image059_10.gif" width="77" height="24 src="> – называется множителем наращения
, а – коэффициентом наращения
. Наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Таким образом, для вкладчика выгоднее частое начисление процентов, а для заемщика наоборот. В кредитных контрактах и депозитных договорах , когда начисление процентов происходит по сложной процентной ставке, указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной.
Непрерывное начисление процентов.
Если частота начисления процентов становится непрерывной, то есть частота начисления процентов бесконечно возрастает , а временной интервал начисления становится бесконечно малым, то наращенная сумма или будущая стоимость рассчитывается по формуле
, (1.13)
где https://pandia.ru/text/78/654/images/image002_62.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="79" height="41 src=">.gif" width="133" height="51 src=">, (1.14)
где – DIV_ADBLOCK120">
https://pandia.ru/text/78/654/images/image071_6.gif" width="227" height="25 src=">, (1.16)
где https://pandia.ru/text/78/654/images/image073_4.gif" width="68" height="41 src=">; (1.17)
для сложных процентов из формулы (1.12)
. (1.19)
Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.
Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:
N = 1,2; m = 4, https://pandia.ru/text/78/654/images/image077_5.gif" width="13" height="13 src=">2 года.
Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.
Таблица 1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году .
Частота начислений в году | Наращенная сумма | Базисное наращение | Цепное наращение |
||
Начальная сумма 1000 | |||||
Процесс определения текущей стоимости денег называется дисконтированием.
Наиболее распространенное применение дисконтирования
:
1) авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, т.е. до наступления срока ее погашения; 2) учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока гашения; 3) оценка облигаций путем дисконтирования будущих купонных платежей, а также оценка акций на основе использования модели дисконтирования дивидендов.
Выделяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование (приведение по вкладу) и банковский учет (приведение по платежу).
Математическое дисконтирование определяет современное или приведенное значение Р на некоторый момент времени T, которое соответствует заданному значению F в другой момент времени t. Таким образом, математическое дисконтирование – это формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени. Можно еще определить математическое дисконтирование как приведение по вкладу Р – это такой подход к расчету искомой предшествующей суммы Р, который дает сумму F (известную к началу расчета) при начислении процентов (простых или сложных) через n периодов. В этом случае за базовую величину, то есть за 100% принимается размер вклада Р.
Величину Р, найденную с помощью процесса дисконтирования, называют в зависимости от контекста приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью.
Приведем некоторые из формул математического дисконтирования.
1. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по простой процентной ставке равно:
где r – простая годовая процентная ставка;
n – период начисления процентов;
k D - коэффициент дисконтирования (приведения), равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при простой процентной ставке.
2. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной процентной ставке равно:
где r с – сложная процентная ставка за единичный период начисления;
n – число периодов начисления процентов;
k DC - коэффициент дисконтирования, равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при сложной процентной ставке.
Формулы (1) и (2) используются в частности для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.
Пример 1. Из какого капитала можно получить 3,4 млн. руб. через 3 года наращения по простым процентам при ставке 12%?
Решение . Р=3,4/ (1*30,12)=2,5 млн. руб. Дисконт=Р 2 -Р 1 =F-P=3,4-2,5=0,9 млн. руб.
Пример 2. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?
Решение . Д=F-P=2,14-2=0,14 т.р.
Банковское дисконтирование или приведение по платежу (второй подход) состоит в том, что неизвестен размер платежа, к которому придем при удержании с конечной суммы F за срок n. В этом случае за 100% берется будущая сумма F.
Формула дисконтирования приведением по платежу по простым процентам: P n =F-n*d*F=F(1-nd), где d – учетная ставка, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы F на один период назад.
Формула дисконтирования приведением по платежу по сложным процентам: P n =F(1-d) n .
Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств банком. Поэтому далее в задачах будет использовано понятие векселя. Вексель – это долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал векселя F) в конкретный срок. Вексель может быть простым, переводным, коммерческим, казначейским и т.д. Чаще всего работа с векселем – это принятие векселя к погашению. Учет векселя означает оплату векселя с дисконтом, т.е. со скидкой с его номинала. Дисконт представляет собой проценты, начисленные за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму F, подлежащую оплате в конце срока. Чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Вексель, допускающий участие третьих лиц, называется переводным или траттой. Учет векселя чаще всего осуществляется способом: приближенное число дней в году (360) и точное число дней в периоде от момента учета векселя до момента погашения (365/360). Приведем некоторые из формул банковского учета, содержащие дисконт.
Для простой учетной ставки:
1. Если срок n от даты учета до даты погашения составляет часть года, то дисконт определяется по формуле где
d –относительная величина годовой учетной ставки;
t- период начисления в днях; К- количество дней в году.
2. Цена покупки векселя банком или сумма, выдаваемая предъявителю учитываемого денежного обязательства по простой учетной ставке, рассчитывается по формуле:
F-номинальная сумма данного обязательства;
Р- цена покупки векселя банком или это деньги, которые получает владелец векселя, в случае операции дисконтирования;
D d -дисконт, сумма процентных денег;
(1-nd) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.
3. Процентный доход покупателя (банка) векселя по простой ставке:
Для сложной учетной ставки:
4. Формула для определения стоимости капитала, учтенного за n лет при m-кратном дисконтировании в течение года, примет вид:
С ростом числа дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.
Для облегчения расчетов при удержании сложных процентов используются дисконтные множители , которые показывают, во сколько раз уменьшится сумма при удержании с нее сложных процентов по ставке d в течение n промежутков удержания: Dis(n,d)=(1-d) n .
5. Соотношение между простыми годовыми процентными ставками r и d, обеспечивающими через период времени n получение одной и той же наращенной величины F из начального капитала Р: d(1+nr)=r.
Ставки d и r, связанные между собой этим соотношением называются эквивалентными, так как они приводят к одинаковому финансовому результату.
Пример . 3. Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 19%, при наращении капитала за год.
Решение . N=1, r =0,19, d=0,19/(1+0,19)»0,15966, d»16%. Т. о., учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.
Если время измеряется в днях t, n=t/T, где Т – временная база, равная количеству дней в году. В этом случае
Пример 4. Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.
Решение . Если разные временные базы, то получим равенство: . Отсюда следует, что
нахождения сложной годовой учетной ставки.
Пример 5. Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?
Решение . P=0,8; n=1,5; при m=1 d=1-0,8 1/1,5 =0,1382, т.е. d=13,82%
Пример 6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 т.р. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель.
Решение . P=f*(1-nd)=50*(1-15/360*0,3)=49,375 т.р.
Непрерывное наращение и дисконтирование. Уменьшая частоту начисления в пределе можно перейти к непрерывным процентам. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.
Где е примерно равно 2,718281 –число Эйлера и r (¥) =d -обозначение непрерывной ставки и называют ее силой роста. Сила роста характеризует интенсивность наращения за год при непрерывном начислении процентов.
Аналогично другим множителям наращения е d n равен индексу роста суммы Р за n лет.
Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (при выборе и обосновании инвестиционных решений). Также бывает целесообразно предполагать при оценке работы учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов.
Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется непосредственно и при работе с клиентами.
Пример. На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые 2 года равна 8%, в следующие три года 10% и в каждый оставшийся год увеличивается на о,5%.
Решение .
Кредитные операции также связаны с дисконтированием. Рассмотрим операцию удержания процентов с суммы, взятой заемщиком в кредит. Проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, которую следует вернуть. Удержание процентов можно проводить по простым и сложным процентам:
1. , где d – простая учетная ставка;
2. , где d с - сложная учетная ставка;
3. Срок, на который выдан кредит, рассчитывается по формуле: ,
4. Учетная ставка рассчитывается по формуле:
5. При непрерывном исчислении процентов, т.е. при мультиплицирующий множитель М(m, r/m) имеет предел, равный е r , где е-основание натуральных логарифмов (е=2,71). Непрерывным наращением процентов по ставке r называется увеличение суммы в е r раз за единичный промежуток начисления. Непрерывным дисконтированием называется обратная операция непрерывному наращению, т.е. уменьшение суммы в е i раз за единичный промежуток. Также справедливо следующее соотношение: .
Пример .На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 8%. Определить наращенную сумму за 5 лет.
