Использование фракталов на рынке форекс

Которое, по мнению профессиональных трейдеров, со временем должно вытеснить такие основы финансового прогнозирования, как фундаментальный и технический анализы. При правильном использовании фрактальный анализ практически не дает ложных сигналов, делая торговлю на Форекс абсолютно безубыточной. Однако начинающие трейдеры не проявляют к нему должного интереса, да и не все опытные игроки слышали об этом виде анализа. Возможно, это объясняется тем, что фрактальный анализ рынков требует глубокого изучения, и не каждый рядовой трейдер может понять, как его применять на практике. Начинающим трейдерам больше по вкусу , но они нередко приводят к сливу депозита, что так выгодно дилинговым центрам, которые присваивают себе депозиты своих клиентов, когда они проигрывают на Форекс. Чтобы этого не произошло, выбирайте надежных брокеров из нашего независимого , а также используйте только те стратегии, которые показывают действительно прибыльную торговлю на .

Существует много мнений относительно использования фрактального анализа на Форекс. Одни считают, что он не приносит какого-то ощутимого преимущества на валютном рынке. Практикующие придерживаются другого мнения, они полагают, что стоит хотя бы раз попробовать торговать по этому методу, после чего вы уже не вернетесь к классическим видам анализа. В этой статье мы постараемся рассмотреть с различных сторон, что собой представляет фрактальный анализ Форекс, и так ли он эффективен в торговле.

Что такое фракталы?

Для того чтобы понять, что собой представляет фрактальный анализ, мы должны перенестись на несколько десятилетий назад, когда математик и экономист Бенуа Мандельброт впервые столкнулся с понятием фрактала. Занимаясь исследованиями в сфере экономики, он заметил странную закономерность в изменениях цен на рынке. Он выяснил, что изменения цен непроизвольны, однако к ним невозможно применить стандартные кривые, но можно описать математически. Проводя исследования изменений цен на хлопок за столетний период, он пришел к выводу, что валютные колебания имеют симметрию, как во время длительного периода, так и на краткосрочных промежутках времени. Данные наблюдения положили начало основам фрактального анализа. С латинского fractus означает ломать или разламывать, то есть фракталы – это фрагменты с неправильной формой, которые являются составной частью чего-то целого. Фракталы окружают нас повсюду – это могут быть очертания гор, движущиеся облака, извилистая береговая линия или пламя огня. Они не имеют какой-то определенной формы, но обладают сходной структурой, которая также присуща и финансовым рынкам.

На сегодняшний день фрактальный анализ применяется не только для прогнозирования цен на валютном рынке, но и в медицине для диагностирования тяжелых заболеваний на начальной стадии.

Первые попытки практического применения фрактального анализа

Со времен Бенуа Мандельброта многие ученые пытались изучить явление фракталов, но на практике их стал применять только доктор Билл Вильямс, который в процессе своей научной работы сделал вывод, что рынок – это хаотическая саморегулирующаяся структура. По своей сути рынок является нелинейной системой, поэтому невозможно предугадать дальнейшее движение цены при помощи , и других стандартных индикаторов. Мультимиллионер и создатель серии технических индикаторов Билл Вильямс считает, что прогнозирование цены возможно только при помощи сложных геометрических систем или фрактального анализа. Несмотря на всю сложность проведения фрактального анализа, он дает практически безошибочные прогнозы. Но чтобы научиться применять на практике теорию фрактального анализа, необходимо изменить свое мировоззрение. Цены движутся хаотично, но во всей этой хаотичности наблюдается симметрия. Однако ее невозможно увидеть при помощи , основанных на применении линейных функций. Когда вы строите горизонтальные уровни, то вы не можете знать наверняка, пробьет их цена или отскочит назад. Горизонтальные уровни – это всего лишь скопление ордеров трейдеров, а в каком направлении двинется цена, со 100% уверенностью не сможет сказать ни один аналитик. Посмотрите прогнозы ведущих аналитиков, в которых говорится, что, если цена закроется выше определенного уровня, то покупайте, а если опустится ниже соответствующей ценовой отметки, то продавайте. Таким образом, фрактальный анализ позволяет предугадать не только направление движения цены, но и то, насколько долго оно продлится перед тем, как развернуться в обратную сторону.

Смотрите также, в чем отличия и преимущества от маркет-мейкеров.

Модели фрактального анализа

От теории переходим непосредственно к практике. Для начала познакомимся с , который был разработан самим Биллом Вильямсом и является стандартным индикатором MT4. Итак, устанавливаем на график индикатор Fractals, он не имеет каких-либо дополнительных настроек и представляет собой стрелочку над или под свечой. Для окончательного формирования фрактала требуется как минимум пять свечей, которые должны располагаться так, чтобы средняя свеча была выше или ниже относительно других.

На графике встречаются как верхние, так и нижние фракталы, при этом для их формирования могут использоваться одни и те же свечи, а в редких случаях одна свеча может одновременно образовывать верхний и нижний фрактал.

Существуют также такие понятия, как фрактальный старт и фрактальный сигнал. Фрактальный старт образуется, когда происходит формирование сначала верхнего фрактала, а затем нижнего фрактала.

На противоположной стороне фрактальному старту формируется фрактальный сигнал.

Как торговать по фракталам?

Дождавшись формирования фракталов, необходимо построить горизонтальные уровни, которые будут проходить через последний максимум верхнего фрактала и последний минимум нижнего фрактала. При пробитии этого уровня следует входить в рынок рыночными ордерами. Фрактальный стоп следует размещать за предыдущим минимумом или максимумом. При этом размер , как правило, является достаточно большим, но это компенсируется тем, что срабатывают они не часто, а тейк-профит превышает стоп в два или три раза, что делает торговлю по фракталам очень прибыльной.

Для фильтрации ложных сигналов можно входить только по или накинуть на график с периодом 135 для таймфрейма H1. Если цена находится ниже скользящей средней, то рассматриваем только продажи, а когда цена располагается выше скользящей средней, ждем сигналы на покупку.

Особенности торговли по фракталам

Чем больше фракталов формируется на одном уровне, тем выше вероятность того, что цена, пробив этот уровень, уйдет достаточно далеко от точки открытия сделки;

Торговля по фракталам показывает хорошие результаты на не ниже H1, так как на более мелких периодах увеличивается количество ложных сигналов;

Для увеличения количества профитных сделок рекомендуется входить в сделки в направлении основного тренда.

Современный взгляд на фрактальный анализ

Методика фрактального анализа не стоит на месте, она постоянно развивается, появляются новые школы, которые взяли за основу наблюдения Бенуа Мандельброта, но имеют свою точку зрения на проведение анализа. В нашей стране последователем фрактальной теории является известный аналитик Алексей Алмазов, который разработал фрактальную функцию Вейерштрасса-Мандельброта для определения графических циклов. Однако он имеет ряд противников его теории, так как он не является практикующим трейдером, а получает зарплату за умение преподносить свои в красивой упаковке. Другую популярную школу представляют трейдеры, использующие в своей стратегии метод тенденциальной геометрии, которая позволяет с высокой точностью определять на графике точки разворота. Для этого используется сетка, состоящая из скользящих средних с различными периодами. В результате движения цены скользящие средние переплетаются в жгуты, образуя динамические уровни поддержки и сопротивления, от которых отталкивается цена. Так выглядит окно трейдера, работающего по методу тенденциальной геометрии:

Зная максимум или минимум цены, последователи этого метода могут определять с точностью до нескольких пунктов, до какой отметки дойдет цена, чтобы затем развернуться в противоположную сторону. Однако из-за сложности этого метода не все трейдеры могут в совершенстве определять его сигналы. Возможно, в будущем мы разберем и этот метод торговли, поэтому, чтобы не пропустить статью, подписывайтесь на наши обновления.

Таким образом, фрактальный анализ позволяет находить ключевые уровни поддержки и сопротивления, которые по своей силе значительно превосходят горизонтальные уровни, трендовые линии и технические индикаторы, основанные на линейной функции. Любой рынок, будь то валютный или фондовый, по своей природе является хаотичным, а не линейным, поэтому нельзя предсказать дальнейшее движение цены, основываясь на простейших методах анализа. Однако, несмотря на хаотичность, колебания цены обладают симметричностью как в долгосрочном периоде, так и на краткосрочных временных отрезках. Определить симметричность можно при помощи фрактального анализа. Фракталы Билла Вильямса – это лишь первый шаг к изучению основ фрактального анализа. Чтобы изучить все методы фрактального анализа и научиться их использовать на практике, потребуется много времени и терпения, но они с лихвой окупятся в будущем благодаря успешной и практически . Желаем вам профитных сделок!

5 Сен 2016 | 16:45 9 029 Опубликовано в

Фракталы – незаменимые помощники Форекс трейдеров. Впервые понятие «фрактал» разработал и внедрил в трейдинг гуру технического анализа Билл Вильямс в своей книге «Торговый хаос». Эта книга увидела свет в 1995 году. Тогда автор впервые описал фракталы в трейдинге на примере анализа фондового рынка.

Индикатор фрактал описание

Фрактал (Fractals) в Форекс трейдинге – это, по сути, локальный максимум или минимум. Он обозначается на графике цены как стрелка, указывающая вверх или вниз.

Фрактал представляет собой формацию из пяти свечей или баров, где третья свеча всегда имеет самый высокий максимум или самый низкий минимум по сравнению с остальными:

Согласно Биллу Вильямсу, для формирования фрактала свечей не обязательно должно быть пять, однако именно комбинация из пяти свечей завоевала наибольшую популярность из-за включения именно этой комбинации в список стандартных индикаторов торгового терминала MetaTrader 4.

Стоит отметить, что интерпретация фракталов от Билла Вильямса не имеет ничего общего с понятием этим же понятием в математике, однако это изобретение гуру технического анализа получило широкое распространение среди Форекс трейдеров.

Главное преимущество фракталов над другими инструментами технического анализа в том, что они отображают не только локальные максимумы и минимумы на графике, но и позволяют идентифицировать важные уровни поддержки и сопротивления для любого торгового инструмента.

Возможен ли Фрактал без перерисовки и запаздывания ? Исходя из принципа построения, фрактал всегда будет запаздывать на 2 и более свечи и ничего с этим не поделать. Перерисовка и запаздывание индикаторов — явление опасное, т.к. на истории индикатор выглядит очень эффективно, а на деле, когда появляется сигнал цена уже значительно отличается от сигнальной.

Практическое использование фракталов

На графике в терминале MetaTrader 4 фракталы выглядят следующим образом:

Каждая стрелка на графике представляет собой фрактал. Поскольку данный индикатор настроен на 5 свечей автоматически, то на экране фракталы появляются достаточно часто. Но при желании можно поискать и скачать себе индикатор, который предоставляет доступ к настройкам. То есть вы сможете указать терминалу, сколько свечей должно быть включено в один фрактал.

Билл Вильямс советовал использовать фракталы в стратегиях, которые базируются на пробое важных ценовых уровней. Движение цены выше или ниже хотя бы на один пункт от уровня предыдущего фрактала, по мнению автора этого индикатора, уже говорит о пробитии этого уровня ценой.

Пробитие уровня предыдущего фрактала называется прорывом покупателей в случае, если цена поднимается выше предыдущего фрактала, направленного вверх. В обратном случае, когда цена опускается ниже предыдущего фрактала, направленного вниз, говорят о прорыве продавцов . Билл Вильямс советовал расценивать прорыв покупателей или продавцов как сигнал к открытию позиции.

Обычно трейдеры выставляют отложенные Stop ордера на несколько пунктов выше или ниже фрактала для открытия позиции в случае пробития этого уровня. В таких случаях Стоп-лосс обычно выставляется на уровне предпоследнего противоположного фрактала. Такая ситуация представлена на графике ниже:

В классической интерпретации, Билл Вильямс советует фильтровать торговые сигналы, подаваемые фракталами, с помощью индикатора «Аллигатор». Так, для открытия позиции на покупку, необходимо, чтобы был пробит фрактал, находящийся выше красной линии (так называемые «Зубы аллигатора»). Автор стратегии советовал входить в рынок сразу после пробития фрактала вверх или же с помощью отложенного ордера BuyStop. Вход в рынок на продажу происходит в случае пробития фрактала, находящегося ниже красной линии.

«Аллигатор» как дополнение к фракталам

Билл Вильямс применял фракталы вместе с его другим изобретением – индикатором «Аллигатор» на американском фондовом рынке, однако такой подход применим не только к фондовому рынку, но и к Форекс.

На валютном рынке можно использовать еще одно отличное свойство фракталов, а именно – построение сетки Фибоначчи с помощью них. Как известно, сетка Фибоначчи растягивается между локальными минимумом и максимумом. Именно для этого трейдеры могут использовать фракталы. Таким образом, участок между двумя фракталами можно считать ценовым движением, к которому уже можно применять методику коррекций и расширений Фибоначчи.

По мнению автора, фракталы являются одними из немногих инструментов технического анализа, которые действительно работают. Именно торговые стратегии с использованием фракталов могут показывать положительные результаты на протяжение длительного периода времени (500 сделок и выше).

Но необходимо понимать, что успешная торговая система не может быть построена только лишь на одном индикаторе. Необходимо использовать еще 1-2 инструмента для повышения эффективности.

Так, например, трейдер может использовать фракталы для определения уровней входа в рынок, а «Аллигатор» использовать в качестве фильтра, чтобы не открывать позиции на пробой уровня во время отсутствия тренда на рынке (флэта).

Чтобы преуспеть в трейдинге, необходимо понимать, как устроены основные виды стратегий. В данной публикации разберем одну из самых интересных стратегий, которые используются в трейдинге на сегодняшний день. Разделы фрактальной стратегии торговли бинарными опционами:

Наверняка слово «гуру» вас будет смущать, но не стоит обращать на это внимания. Ведь сама стратегия интересная и полезная. Давайте в ней разберемся при помощи графиков, которые являются незаменимым звеном в торговле с помощью площадки Метатрейдер. Стратегия может смущать по той причине, что в ней используется специальный индикатор, который мы будем называть ADX и никак иначе. Создателем стратегии является господин Притьяни, а почитать ее в оригинале можно в Интернете. Начнем с того, что в стратегии задействованы фракталы. Именно с них стоит начать. И еще один важный совет – изучая какую-либо , не торопитесь! Посвятите ей время целиком, и вы увидите, что она станет вам надежным помощником.

Что такое фракталы?

Фрактал – это важная и неотъемлемая часть стратегии. Разработан он был небезызвестным Уильямсом. Стоит отличать фракталы трейдинга от тех, что используются в математике. Существует так называемый медвежий фрактал, который состоит из пяти свечей. Такая конструкция создается в том случае, если максимальное значение средней свечи больше, чем максимальные значения других свечей (есть еще свечи слева и справа, но нас интересует та, что в середине). Есть еще бычий фрактал. Те же 5 свечей, но в нем вместо максимума средней свечи должен быть минимум. Это не сложно, если посмотреть на картинки в Интернете.

Многие полагают, что самая большая проблема в том, чтобы понять, какой фрактал перед тобой, и выявить его. Но по правде это не очень тяжело: это можно делать с помощью специальной серой стрелки, расположенной под специальной свечей (та, что в середине). Стрелка работает автономно, то есть она будет появляться в тот момент, когда наш индикатор поймает фрактал. Теперь понятно, для чего нужен ? Этот уникальный индикатор для торговли – весьма полезная штука, если понимать, как его использовать. Не зря он применяется в торговой площадке Метатрейдер.

Чтобы начать работать с индикатором, установите ADX, а также фракталы с помощью нужных кнопок. Есть еще один интересный совет от самого создателя: фрактал состоит из пяти свечей. Стрелка напрямую зависит от свечи, расположенной посередине. Работать со сделками нужно только в том случае, если произошло открытие свечи. На словах это кажется сложным, но в реальности нет ничего проще. Просто попробуйте проверить сами!

Учимся применять стратегию на деле

Мы уже поняли, что главный элемент стратегии – наш индикатор. Сделка происходит тогда, когда ADX растет. То есть зеленая полоса перемещается над другой (красной), чтобы создать фрактал, закончить его и сформировать (должны быть заполнены все свечи до единой). Напоминаем, что их пять. Это важно! Весьма важно понимать, что в сделку надо входить только в том случае, если стрелка достигла нужного размера. По этапам это выглядит так: образуется точка открытия, происходит вступление в сделку, в этот момент цветные полосы начинают движение.

Все это сигналы, которые показывают, когда лучше всего вступать в сделку, чтобы повыситься. А вот если вы вступаете в сделку с желанием понизиться, то все будет иначе. Главную роль по-прежнему будет играть ADX, который демонстрирует направление.

Для сделки на повышение существуют следующие явления:

• рост синей линии индикатора;
• падение зеленой полосы и переход на красную;
• полное закрытие свечей (бычий фрактал);
• свеча удлиняется и становится продолжением стрелки.

Сигналы для сделки на понижение:

• рост синей линии;
• падение зеленой полосы под красную;
• полное закрытие медвежьего фрактала, полное формирование;
• длинный хвост указывает на фрактальную стрелку.

Недостатки Фрактальной стратегии

Да, и еще раз да, стратегия весьма сложная, и начинающие трейдеры не сразу смогут оценить ее. Путаницы часто случаются с линиями ADX, свечами фракталов, многие не понимают, когда и как вступать в сделку, не могут разобраться с фрактальной стрелкой. Другие не признают ADX, хотя разработчик и говорил, что движение ADX указывает на необходимые значения для стратегии. Надо сказать, что нет точных ответов на многие вопросы, которые касаются этой стратегии. Важно научиться определять восходящую линию индикатора – это поможет начать вступать в сделки без ошибок.

Достоинства Фрактальной стратегии

В основу стратегии входят разумные принципы. Именно они приводят трейдеров к успеху: торговля происходит тогда, когда индикатор ADX становится выше. А что такое фрактал? А это указатель возврата цены. Когда возврат цены произойдет, наступит самый лучший момент, чтобы присоединиться к трендам. Хвост свечи – это дополнительный подтверждающий сигнал, который говорит, когда нужно действовать, и подстраховывает. Почему эта стратегия хороша? Потому что она предлагает безопасные и надежные точки, чтобы вступить в сделку. ADX индикаторы указывают нам на это – получается, одной головной болью меньше.

Не стоит пугаться фракталов, они не сложны и при этом очень полезны. Да, они непостоянны, стрелка все время хочет куда-то улизнуть, а иногда и вовсе сбивает трейдеров, мешая анализировать следующий ход. Поэтому можно сделать заключение, что эффективность стратегии зависит от того, кто ее использует. Если трейдер умный и быстро схватывает, то ему она принесет прибыль. Если же трейдер думает медленно и подолгу втягивается, лучше попробовать другие виды стратегий, а эту выкинуть куда подальше.

Работая с Фрактальной стратегией для гуру, не стоит забывать, что все-таки она создана для гуру, для экспертов и людей опытных. Новичкам на первых порах надо учиться другим вещам, поэтому, считаем, что все закономерно. Если вы перешли к изучению этой стратегии, и у вас стало получаться, то поздравьте себя – вы добились звания гуру, получили важные умения и навыки, которые дают возможность двигаться дальше. Надеемся, что Фрактальная стратегия вам в этом поможет!

Здравствуйте, уважаемы коллеги-трейдеры!

В этой статье мы окунемся с Вами в мир компьютерного анализа и вспомним один из самых популярных технических индикаторов — индикатор фрактал.

Трейдеры всего мира впервые узнали о нем из книги «Торговый хаос», автором которой является Билл Вильямс. Она увидела свет в 1995 году (кстати, в 2003 вышло 2-е издание) и стала поистине одной из самых известных и продаваемых в мире! В ней Б. Вильямс делится с читателем своим пониманием рынка, методами его анализа и принятия торговых решений. Размышляет на тему того, что такое фрактальное измерение, фрактальная геометрия и наборы Мандельброта (правда, я так до сих пор и не понял, зачем мне эти знания и как применить их на практике).

Но все же эта статья посвящена не книге, а техническому индикатору, поэтому я позволю себе закончить с рассуждениями и перейти к сути вопроса.

Описание индикатора фрактал (fractals)

Только лишь к 11 главе книги Билл Вильямс начинает знакомить нас с фракталами. Он говорит о том, что существует два вида фракталов: на покупку (фрактал вверх) и на продажу (фрактал вниз), а также дает их определение:

1. Фрактал на покупку — это последовательность из пяти баров (свечей), в которой максимум центрального (третьего) бара выше двух предыдущих и двух последующих баров.
2. Фрактал на продажу — это последовательность из пяти баров (свечей), в которой минимум центрального бара ниже выше двух предыдущих и двух последующих баров.

На этом рисунке изображен так называемый «классический» или «чистый фрактал» . Его особенность состоит в том, что максимумы (минимумы) первых двух баров последовательно растут, третий бар формирует самый высокий экстремум, а максимумы (минимумы) четвертого и пятого баров последовательно снижаются. Такую разновидность фракталов весьма просто визуализировать. Для этого надо всего лишь взглянув на ладонь своей руки.

Так как максимумы (минимумы) последующих и предыдущих баров могут принимать любые значения, при условии, что они не будут выше (ниже) экстремума центрального бара, то можно выделить еще несколько разновидностей фракталов:

• На примере «В» продемонстрирован бар, который одновременно является как фракталом на покупку, так и на продажу.
• Пример «С» показывает, что разнонаправленные фракталы могут иметь общие бары.
• В примере «D» мы видим, что иногда для формирования фрактала необходимо более, чем 5 баров, при условии, что экстремум одного из последующих баров равен центральному.

Как использовать индикатор фрактал (fractals)

Что такое фрактал мы с Вами выяснили, и теперь следует рассказать о том, каким образом его можно применить в своей торговой практике, чтобы извлечь прибыль с рынка. Существует несколько методов применения индикатора fractals в торговле. Поговорим о каждом из них подробнее.

Торговля на пробой фрактала

Это метод классический, предложенный Биллом Вильямсом в книге «Торговый Хаос». Как видно из названия, торговля носит пробойных характер и рассчитана на продолжение текущего тренда. Вход в сделку осуществляется ближайшего к цене фрактала.

Как пишет сам автор данная методика торговли будет давать много ложных входов, поэтому Билл предлагает фильтровать сигналы с помощью индикатора «Аллигатор» (это еще одна авторская разработка, которая, наравне с фракталами, является частью стратегии Profitunity). Я не буду подробно останавливаться (в рамках этой статьи) на Аллигаторе и стратегии Profitunity, потому что она строится аж на 4 индикаторах (fractals, AO, AC и аллигатор), и надо сначала разобраться с принципом работы каждого индикатора в отдельности, а потом уже переходить к правилам стратегии.

Но все же, если говорить в 2-х словах, то Аллигатор — это набор из 3-х скользящих средних. Когда цена находится ниже «красной» линии (линии зубов) Аллигатора, то используем фрактальный сигнал на продажу. Если выше — на покупку:

В принципе, индикатор Аллигатор можно заменить обычными средними скользящими и также использовать их как фильтр. Но повторюсь, что рассматривать фракталы и Аллигатор в отрыве от других инструментов Вильямса не имеет смысла, поэтому мы не будем останавливаться на этом и двинемся дальше.

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .

⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

⇡ Фрактальные измерения: умом не понять

Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.

Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина

Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.

Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

⇡ Фрактал в браузере

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

⇡ XaoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.

Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.

⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.

А еще этот фрактал можно съесть

Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».

Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.

Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.

Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.

⇡ Aural: как поют фракталы

Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, и .

Фракталы: музыкальная пауза

Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.

У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.

⇡ Заключение

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.