Что такое эффективность Парето? Распределение ресурсов и оптимальность по парето

В.Парето анализировал проблему равновесия и эффективности и сформулировал критерий оптимальности. С его точки зрения, экономика находится в оптимальном состоянии, если невозможно улучшить благосостояние одного субъекта, не ухудшив при этом благосостояние другого субъекта. Сформулировал две теоремы (прямую и обратную):

Если в экономике ситуация рыночного равновесия, то в рамках своего бюджета каждый потребитель стремится максимизировать полезность. Тем самым он передает фирмам ценовые сигналы, информируя их о своих предпочтениях относительного потребительского набора. Когда фирма, действуя в условиях рынка совершенной конкуренции, максимизирует прибыль, ориентируясь на эти сигналы, то тем самым автоматически передается информация о предпочтениях потребителей по всей производственной цепочке и достигается приспособление структуры производства к структуре потребностей. Ресурсы используются в соответствии с равнодействующей предпочтений всех потребителей. Любое отклонение от рыночного равновесия приведет к тому, что, по крайней мере, один потребитель должен будет ухудшить свое положение.

2 (обратная): Каждое оптимальное состояние в экономике является состоянием рыночного равновесия.

Во второй половине 20 века Дебрепредположил, что если фактические рыночные цены совпадают с ценами рыночного равновесия, то достигается эффективное состояние экономики, и коэффициент Дебре равен 1. Чем больше фактические цены отклоняются от равновесных, тем ближе коэффициент к 0. Он утверждал, что отклонение фактических цен от равновесных происходит под воздействием монополизации экономики, государственного регулирования, неполной занятости факторов производства, технической неэффективности экономики.

Критерий оценки влияния государственного регулирования на общественного благосостояния по Парето обычно формулируется следующим образом: следует признать, что любое изменение, которое никому не приносит убытков, но отдельным индивидам приносит пользу (естественно, по их собственной субъективной оценке), является улучшением. Все другие изменения в общественном благосостоянии не могут быть оценены. Следовательно, оптимальным будет такое состояние экономики, при котором благосостояние ни одного человека не может увеличиться через перераспределение готовых продуктов и ресурсов без того, чтобы при этом не уменьшилось благосостояние кого-либо другого. Согласно В. Парето, экономика, не находящаяся в состоянии оптимума, по определению неэффективна. При этом существует бесконечное множество несопоставимых между собою (но различающихся первоначальным распределением ресурсов и конечным распределением доходов) оптимумов.

Для анализа конкретных проблем экономики благосостояния критерий Парето малопригоден.

Во-первых, он не позволяет осуществить выбор из множества потенциально возможных вариантов распределения доходов.

Во-вторых, его эмпирическая значимость весьма сомнительна из-за принятого допущения о возможности существования совершенно конкурентных рынков.

Ø Третье предельное условие эффективности (условие эффективной структуры выпуска) – предельная норма трансформации любых двух товаров должна равняться предельной норме замещения этих товаров у потребителей. Это обеспечивает эффективность структуры выпуска продукта.

Оптимальность по Парето (от англ. Pareto optimality) - один из самых распространенных критериев оптимальности, который применяется для оценки общего уровня благосостояния при внесении изменений в группы экономических объектов.
Математически сформулирован выдающимся итальянским экономистом и политологом XX в. Вильфредо Парето (1848-1923).
Оптимальность по Парето гласит: "Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением". Он применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались, а также таких, когда реализуется композиционный подход к построению плана развития экономической системы, учитывающий интересы составляющих ее подсистем (групп экономических объектов).
Приведенное выше определение можно формализовать следующим утверждением: состояние экономики S* считается лучшим по Парето, чем другое состояние S1, если хотя бы один экономический субъект предпочитает S*, а все остальные, по меньшей мере, не делают различий между этими состояниями, но в то же время нет таких, кто предпочитает S1 состоянию S*. Последнее безразлично по Парето относительно состояния S1, если все экономические субъекты не делают между ними различий; наконец, оно оптимально по Парето, если не существует такого допустимого состояния экономики, которое было бы лучше, чем это.
Согласно его концепции, общество находится в состоянии общего экономического равновесия и социальной эффективности распределения ресурсов, которое предполагает оптимальное распределение в сфере производства при минимальном использовании ресурсов и эффективное распределение в сфере потребления, обеспечивающее максимум удовлетворения потребностей. Рыночная экономика в условиях совершенной конкуренции автоматически достигает оптимума по Парето.
Оптимальность по Парето неприменима к ситуации, когда предложенное изменение приносит пользу одним и в то же время наносит потери другим.
Выделяют три условия обеспечения оптимальности по Парето.
Первое условие . Оптимальное распределение благ между потребителями исходит из соблюдения условия, согласно которому предельная норма замещения двух благ должна быть одинаковой для обоих потребителей. Предположим, что в экономике производятся два блага X и Y и имеются два потребителя А и В, то
MUxa/MUya = MUxb/MUyb
Второе условие . Оптимальное распределение ресурсов в производстве. Для производства благ X и Y имеется два ресурса i и j. В этом варианте должно соблюдаться равенство, согласно которому соотношение предельных продуктов i и j, используемых для производства блага X, равно соотношению предельных продуктов i и j в производстве блага Y, а именно:
MPix/MPjx = MPiy/MPjy
Третье условие . Оптимальный объем производства. Граница производственных возможностей показывает количество благ X и Y, которые могут быть произведены в условиях полного использования ресурсов. Оптимальный объем производства для любых двух благ будет при соблюдении следующих соотношений:
MUx/MCx = MUy/MCy
Это значит, что отношение предельных издержек к предельной полезности должно быть одинаковым для обоих благ.

Оптимальность по Парето
Пусть А - некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а), r(а) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.
Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать а›b, если Е(а)≥Е(b) и r(а)≤r(b) и хотя бы одно из этих неравенств, строгое. При этом операция, а называется доминирующей, а операция b - доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей, операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.
Имеет место чрезвычайно важное утверждение:
На множестве Парето каждая из характеристик Е, r - (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую.

Доказательство
Пусть а,b - две операции из множества Парето, тогда r(а) и r(b) - числа. Предположим, что r(а)≤r(b), тогда Е(а) не может быть равно Е(b), так как обе точки а, b принадлежат множеству Парето. Доказано, что по характеристике r можно определить характеристику E. Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить характеристику r.
Парето рассматривал экономическую область как Декартову систему, в которой координаты отображают количества различных благ, а точки отображают позиции потребителей, желания которых стимулируются одними факторами и ограничиваются другими.

В условиях естественной противоречивости критериев оптимальности, когда, в общем случае, невозможно обеспечить оптимальные значения по всем критериям одновременно, возникает желание найти такой план, для которого была бы в определенном смысле наилучшей совокупность этих значений по всем критериям вместе взятым. Такие планы называют оптимальными компромиссными.

Один из самых распространенных критериев оптимальности сформулирован итальянским экономистом В. Парето и предназначен для проверки эффективности предложенного изменения общего уровня благосостояния в экономике.

Критерий Парето сформулировал следующим образом: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением».

Этот критерий имеет весьма широкий смысл и применяется в тех случаях, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии неухудшения других показателей, а также при реализации композиционного подхода к развитию экономической системы, учитывающей интересы составляющих ее подсистем или групп экономических объектов.

Приведенное определение можно формализовать в виде следующего утверждения: состояние экономической системы 5 s считается лучшим по Парето, чем другое состояние S v если хотя бы один экономический субъект предпочитает S*, а все остальные, по меньшей мере, не делают различий между этими состояниями, но в то же время нет таких, кто предпочитает S { состоянию У. Это состояние S* безразлично по Парето относительно состояния S v если все экономические субъекты не делают между ними различий. Наконец, состояние S* оптимально по Парето, если не существует такого допустимого состояния экономической системы, которое было бы лучше этого.

Критерий Парето неприменим к весьма распространенным ситуациям, при которых экономические мероприятия приносят пользу одним, в то же время принося ущерб другим. На рис. 7.3.1 точкой Е 0 показано исходное состояние экономической системы, состоящей из двух групп (х и у).

Рис. 7.3.1.

Улучшают это состояние лишь те решения, которые переводят системы в любую точку, лежащую в заштрихованной области (точка С) и на ее границах (точки В, D). Решение, соответствующее точке Е, ухудшает состояние группы х, несмотря на улучшение состояния группы у, и поэтому не удовлетворяет требованию Парето.

Еслих, и у, на рис. 7.3.2 соответственно отображают максимальные значения целевых функций подсистем X и Упри их независимом друг от друга функционировании, то участок ЕЕ. множества Парето (недостижимый для каждой из них по отдельности) заинтересовывает их в совместной деятельности. Этот участок называется ядром экономической системы. Кривая PP ] определяет ресурсные ограничения или другие возможности экономической системы.

Рис. 7.3.2.

Чем теснее взаимозависимы подсистемы, тем меньше различия между множеством Парето («оптимумом по Парето») и ядром системы. Выбор при планировании единственного наилучшего плана (точка на кривой РР 1) - вопрос согласования. Например, такой точкой на кривой ?? ? может быть точка равновесия по Нэшу.

Принцип устойчивости Нэша заключается в утверждении, что выбор рациональной стратегии при взаимодействии многих субъектов должен производиться среди множества точек равновесия. Такой выбор будет устойчивым, однако не обязательно наилучшим, поскольку не все точки равновесия - эффективные. В теории игр доказывается, что если множество возможных выигрышей выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то точка Нэша существует и она единственна.

Таким образом, оптимумов по Парето может быть много, но существенно меньше, чем возможных вариантов развития системы. Оптимумов по Парето, входящих в ядро системы, еще меньше. Это позволяет сузить выбор вариантов, подлежащих рассмотрению.

Понятие равновесия относится к различным ситуациям, которые характеризуются взаимодействием разнонаправленных сил. Воздействие этих сил взаимно погашается таким образом, что наблюдаемые свойства системы остаются неизменными. Понятию «равновесие» соответствует множество определений, среди которых наиболее распространены два: одно из них исходит из рассмотрения свойств системы, другое - из рассмотрения воздействующих на нее сил.

Первое определение. Равновесие - это такое состояние системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов. В этом смысле синонимом термина «равновесие» является термин «сбалансированность».

Второе определение. Равновесие - это такое состояние системы, когда ни один из многих взаимосвязанных участников системы не заинтересован в изменении этого состояния, так как при этом он не может ничего выиграть, но может проиграть.

В экономической системе равновесие устанавливается (или не устанавливается) в результате действия определенного социально- экономического механизма, т.е. совокупности цен и других экономических нормативов, согласования интересов всех подсистем. Равновесие зависит от принятых экономических отношений, т.е. принципов распределения благ и доходов. Само по себе равновесие в системе не является доказательством ее оптимальности в социально- экономическом смысле.

В экономической системе равновесие рассматривается двояко:

• 1) как статическое состояние, при котором существует точка равновесия;
• 2) как динамическое состояние, которому соответствует уравновешенный или сбалансированный процесс развития.

Равновесный сбалансированный рост - это рост экономической системы, при котором темп прироста запасов всех продуктов на протяжении рассматриваемого промежутка времени постоянный. При этом разграничиваются понятия сбалансированного роста без равновесия, т.е. с избыточными запасами, и соответственно, равновесного роста. При этом предполагается, что важны не одинаковые темпы роста отдельных подсистем, а внутренняя согласованность этих темпов между собой. В этом представлении понятия сбалансированного и равновесного роста совпадают.

Понятие равновесия тесно связано с понятием устойчивости системы. Если при внешнем воздействии на систему неизменность ее свойств сохраняется, то равновесное состояние системы устойчиво, если не сохраняется - не устойчиво.

Изучение чувствительности равновесия к изменениям определенных параметров составляет предмет сравнительной статики. Равновесное состояние системы (рыночная сбалансированность) называется локально устойчивым, если оно достигается, начиная с некоторого набора цен, достаточно близкого к точке равновесия, и глобально устойчивым - если оно достигается независимо от начальной точки.

Под чувствительностью экономической системы понимается величина отклонения системы от эталона (заданной траектории движения), при которой блок управления начинает выдавать ответное регулирующее воздействие. При формальном описании экономического процесса целесообразно рассматривать чувствительность функции. Чувствительность функции - степень изменения значений функции при заданном абсолютном или относительном изменении аргументов. При проведении экономико-математического анализа возникает необходимость определения степени чувствительности показателя к изменению ведущих факторов. При этом применяются два подхода - приростный и темповый. В первом случае сопоставляются прирост фактора и прирост исследуемого показателя -

скорость изменения функции, средняя - или предельная

(или f"(x )). Во втором случае сравниваются темп прироста фактора и темп прироста исследуемого показателя (обычно имеют в виду процентные изменения). Это понятие тесно связано с понятием эластичности.

При оптимизации поведения экономических систем также используется понятие чувствительности. Чувствительность оптимального решения к изменениям ограничений задачи - это степень изменения значения целевой функции в результате небольших изменений параметров ограничений. В линейном программировании показателями чувствительности являются оптимальные оценки. В случае равенства оптимальной оценки нулю оптимальное решение не зависит от соответствующего параметра ограничений. Например, если существует избыток какого-то ресурса, то оптимальное решение не зависит от малых изменений общего объема предложения этого ресурса, так как он заведомо превышает потребность его использования в оптимальном плане. Поэтому оценка такого ресурса равна нулю.

В экономико-математическом моделировании равновесие часто отождествляют с понятием «оптимум». Однако равновесие является необходимым, но не достаточным условием оптимальности, так как равновесие экономической системы может устанавливаться на разных уровнях (в точках равновесия), в том числе и на оптимальном.

Редко кто из молодых людей не морщит лоб при слове «компромисс», нейтрально произносит словосочетание «меньшее зло», ведь компромисс - это сделка, соглашение на основе взаимных уступок. Между тем искусство разумного компромисса - это сама жизнь. Правда, «область применения» его небезгранична . Сфера его приложения - скорее «нормальное» состояние экономической системы, например общества в целом. Но если экономическая система требует радикальной трансформации, она не нуждается в услугах компромисса. Напротив, она ищет источник энергии в бескомпромиссности.

Идею поиска оптимального компромиссного плана рассмотрим на простейшем примере оптимизации двумерного критерия fx) = {//*),/ 2 (*)} ® шах, каждая составляющая которого представляет функцию от одной переменной X, определенной на некотором закрытом интервале [а, Ь. Графики изменения составляющих//*) и / 2 (х) представлены на рис. 7.3.3.

Рис. 7.3.3. Иллюстрация определения оптимального компромиссного плана: [с, d] - компромиссная область

Очевидно, что поиск оптимального компромиссного плана в данном конкретном примере целесообразен лишь на множестве точек интервала [с, d, так как вне этого интервала решение может быть улучшено сразу по обеим целевым функциям. План Х { будем считать лучше (предпочтительнее) плана Х 2 и обозначать Х 1 >- Х 2 , если хотя бы по одной компоненте целевой вектор-функции//^) >f s {X 1), а по остальным компонентам//^) > f s (Xf- Это так называемое улучшение по Парето , формулируемое очень просто: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит кому-то пользу (по их собственным оценкам), является улучшением».

Интервал [с, d носит название множества Парето, или множества эффективных планов, и характеризуется теми важными свойствами, что на нем ни одно решение не может быть улучшено ни по одному из критериев без ущерба для других критериев.

Таким образом, множество Парето - это множество допустимых планов, ни один из которых не может быть улучшен

Множественность эффективных планов является следствием «взаимозаменяемости» (взаимокомпенсации) скалярных критериев, позволяющей увеличивать одни компоненты за счет уменьшения других. В этих условиях каждый эффективный план по-своему исчерпывает возможность оптимизируемой экономической системы, реализуя определенный компромисс между частными целями. Таким образом, если принципы выделения множества эффективных планов строго научны, не требуют какого-либо постулирования и, следовательно, лишены элементов произвола и субъективизма, то определение на этом множестве оптимального компромиссного плана требует постулирования той или иной схемы компромисса.

Многие специалисты считают поэтому, что более эффективно было бы предоставить лицу, принимающему решение (ЛПР), полное множество эффективных планов, по которым ЛПР на основании имеющегося опыта, здравого смысла и других, не поддающихся формализации процедур, выберет единственное решение. Реализация такого подхода на практике сопряжена, однако, с серьезными методологическими трудностями, вызванными прежде всего отсутствием в настоящее время достаточно простых и ясных процедур построения эффективного множества (при количестве целевых функций S > 2), а также сложностью его представления лицу, принимающему решение. Рассмотрим теоретическое обоснование многокритериальной или векторной оптимизации.

• Абсолютный прирост - разность между текущим и предыдущим уровнямидинамического ряда (цепной). Базисный абсолютный прирост - разностьмежду текущим и базисным уровнями динамического ряда. Относительныйприрост (или коэффициент роста) - отношение текущего уровня к базисному (относительный базисный прирост) или к предыдущему (относительный цепной прирост). Если величины выражены в процентах, то ихназывают темпами роста. Темп прироста - это отношение абсолютногоприроста к базисному или предыдущему уровню динамического ряда.
• Именно это, видимо, имел в виду Омар Хайям: «Лучше впасть в нищету, голодать или красть, Чем в число блюдолизов презренных попасть. Лучше кости глодать, чем прельститься сластямиЗа столом у мерзавцев, имеющих власть».
• Вильфредо Парето (1848-1923) - ученик Леона Вальраса и его преемникна кафедре политической экономии Лозанского университета.

Оптимальность по Парето гласит: "Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением".

Оптимальность по Парето является одним из самых распространенных критериев оптимальности. Он предназначен для того, чтобы определить, улучшает ли предложенное изменение в экодомике общий уровень благосостояния.

В зарубежной экономической теории проблема достижения общественной эффективности распределения ресурсов разработана итальянским экономистом Вильфредо Парето (1848-1923). Согласно его концепции, общество находится в состоянии общего экономического равновесия и социальной эффективности распределения ресурсов, которое предполагает оптимальное распределение в сфере производства при минимальном использовании ресурсов и эффективное распределение в сфере потребления, обеспечивабщее максимум удовлетворения потребностей. Рыночная экономика в условиях совершенной конкуренции автоматически достигает оптимума по Парето.

Оптимальность по Парето неприменима к ситуации, когда предложенное изменение приносит пользу одним и в то же время наносит потери другим.

Имеется много различных оптимальных по Парето вариантов распределения ресурсов, при которых мера удовлетворения, достигаемая разными группами общества, может существенно отличаться. Экономическая теория не может определить, какое из оптимальных по Парето распределений ресурсов общества является наилучшим с социальной точки зрения. Выбор среди оптимальных вариантов применения ресурсов является проблемой социальной справедливости, требующей использования функции общественного благосостояния. Перемещение из одной точки эффективного по Парето распределения к другой такой же точке нередко предполагает государственное вмешательство в процесс перераспределения доходов или ресурсов общества.

Выделяют три условия обеспечения оптимальности по Парето.

Первое условие. Оптимальное распределение благ между потребителями исходит из соблюдения условия, согласно которому предельная норма замещения двух благ должна быть одинаковой для обоих потребителей. Предположим, что в экономике производятся два блага X и Y и имеются два потребителя А и В, то

MUxa/MUya = MUxb/MUyb

Второе условие. Оптимальное распределение ресурсов в производстве. Для производства благ X и Y имеется два ресурса i и j. В этом варианте должно соблюдаться равенство, согласно которому соотношение предельных продуктов i и j, используемых для производства блага X, равно соотношению предельных продуктов i и j в производстве блага Y, а именно:

MPix/MPjx = MPiy/MPjy

Третье условие. Оптимальный объем производства. Граница производственных возможностей показывает количество благ X и Y, которые могут быть произведены в условиях полного использования ресурсов. Оптимальный объем производства для любых двух благ будет при соблюдении следующих соотношений:

MUx/MCx = MUy/MCy

Это значит, что отношение предельных издержек к предельной полезности должно быть одинаковым для обоих благ.

Г.C. Beчкaнoв, Г.P. Beчкaнoвa

В науке и технике достаточно актуальны задачи многокритериальной оптимизации , требующие одновременной оптимизации сразу по нескольким функциям (критериям). Краеугольным понятием в многокритериальной оптимизации является – Парето-оптимальная (недоминируемая) альтернатива , т.к. поиск приемлемой ("оптимальной") альтернативы, являющейся решением многокритериальной задачи, следует выполнять на множестве недоминируемых альтернатив. Именно поэтому так актуальны методы, позволяющие выделять подмножества Парето-оптимальных альтернатив из множества возможных альтернатив.

Для облегчения результатов полезно всё время проводить аналогию с однокритериальным (классическим) случаем. Пусть имеется область D и задана функция f(X ) – целевая функция (критерий). Задача оптимизации имеет вид

min f(X)

X  D

Точка X 1  D называется оптимальной (недоминируемой, неулучшаемой), если не существует точки X 2  D , для которой f(X 1 )>f(X 2 ) (целевая функция минимизируется). Аналогично в МЗО можно исключить из области D точки, которые заведомо не могут оказаться наилучшими.

Очевидно, что в обобщённом смысле определение оптимальности можно трактовать как описание (выделение) в подмножестве D некоторого нового подмножества D 0 , т.е. некоторое сужение D до D 0 D. В зависимости от характера описания, подмножество D 0 может оказаться пустым, состоять из одного элемента, содержать более одного элемента. Описание D 0 можно проводить либо только с помощью критериев Fi , либо использовать дополнительные условия. Здесь мы рассмотрим направление, которое связано с определением оптимальности по Парето 2 .

Отношение доминирования по Парето. Парето-оптимальность

Как было сказано раньше для всякого решения XD набор его оценок по всем критериям, т.е. набор (F 1 (X), F 2 (X), . . .,Fm(X)), есть векторная оценка решения X. Векторная оценка X содержит полную информацию о ценности (полезности) этого решения для ЛПР и сравнение любых двух решений заменяется сравнение их векторных оценок. Пусть в МЗО требуется получить меньшие значения каждого частного критерия (минимизировать частные критерии) Fi(X).

Опр. Пусть имеются два решения X 1 и X 2 . Говорят, что решение X 1 лучше (предпочтительнее, эффективнее, доминирует) решения X 2 , если F i (X 1)<=F i (X 2) для всех i=1,m, и хотя бы для одного j - го критерия выполняется строгое неравенство F i (X 1)

Опр. Решение X 2 называется доминируемым, если существует решение X 1 , не хуже чем X 2 , т.е. для любой оптимизируемой функции Fi, I=1, 2, …, m,

Fi (X 2 )  Fi (X 1 ) при максимизации функции Fi ,

Fi (X 2 )  Fi (X 1 ) при минимизации Fi .

В случае доминирования при переходе от X 2 к X 1 ничего не будет проиграно ни по одному из частных критериев, но в отношении j – го частного критерия точно будет получен выигрыш. Говорят, что решение X 1 лучше (предпочтительнее) решения X 2 .

Опр . Стратегия X 1 D называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует стратегии X 2 D такой, что Fi(X 2)Fi(X 1), i=1, . . ., m, F(X 2)F(X 1), или

Опр. Если решение не доминируемо никаким другим решением, то оно называется недоминируемым или оптимальным в смысле Парето.

Очевидно, тогда в составе множества D нет смысла сохранять решение X 2 , оно вытесняется (или, как говорят, “доминируется”) решением X 1 . Ладно, выбросим, решение X 2 как неконкурентоспособное и перейдём к сравнению других решений по всем критериям. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество D обычно сильно уменьшается: в нём сохраняются только так называемые эффективные (иначе “паретовские”) решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения. Множество таких точек и называется множеством точек оптимальных по Парето. Множество точек оптимальных по Парето лежат между точками оптимумов, полученных при решении задачи математического программирования для каждого частного критерия. В литературе множество точек оптимальных по Парето, как правило, обозначают буквой P (P  D ).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству эффективных точек, называют областью компромиссов (переговорным множеством ) или множеством Парето в области критериев. Будем обозначать Y P (Y P Y D).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству неэффективных точек (доминируемых решений), называют областью согласия Y c .

В области Y c нет противоречия между частными критериями оптимальности, т.к. каждая точка XD может быть изменена таким образом, что будет одновременно улучшены все частные критерии.

Если область критериев Y D состоит только из области согласия Y c , то существует единственная точка X opt D, в которой все частные критерии согласованны между собой в том смысле, что при движении к точке X opt все F i (X) i=1, 2, . . ., m, одновременно улучшаются. Все частные критерии достигают минимума в т. X opt

(см. рис. 1). Такую точку называют оптимальным решение и при этом значения

всех частных критериев достигают в ней минимума.

Рис. 1. Критерии F 1 и F 2 непротиворечивы

Однако такая ситуация встречается крайне редко. Наиболее типичным является случай, когда частные критерии являются противоречивыми и минимум по каждому из них достигается в различных точках. В этом случае уменьшение одного частного критерия приводит к увеличению других частных критериев (рис. 2).

Рис. 2. Критерии F 1 и F 2 противоречивы на отрезке

Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше улучшать значение одного критерия, не ухудшая при этом хотя бы одного из остальных.

Проиллюстрируем приём выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями F 1 и F 2 (оба требуется максимизировать). Множество D состоит из 11 возможных решений. Каждому решению соответствуют определённые значения показателей F 1 и F 2 . Пусть имеются следующие векторные оценки: F(X 1)=(2;4), F(X 2)=(3;5), F(X 3)=(3;3), F(X 4)=(5;2), F(X 5)=(4;3), F(X 6)=(1;3), F(X 7)=(2;3), F(X 8)=(3;2), F(X 9)=(2;2), F(X 10)=(3;1), F(X 11)=(2;1). Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия F 1 , а по оси ординат – значения критерия F 2). Используем принцип оптимальности по Парето для выделения эффективных решений. Решение X 1 вытесняется решением X 2 , решение X 2 лучше решений X 3 , X 7 , X 8 , X 9 , X 10 и X 11 . Решение X 4 по первому критерию лучше решения X 5 , а по второму наоборот, т.е. имеем неулучшаемые решения, и т.д. После проведённого анализа у нас остались три решения X 2 ,X 4 , X 5 оптимальных по Парето.

Построим критериальное пространство для нашей задачи. Как известно паре чисел соответствует точка на плоскости. Занумеруем точки соответственно номеру решения (рис. 3). Из рисунка видно, что эффективные точки лежат на правой верхней границе области возможных решений (Ауд. решить данную задачу, когда оба критерия нужно минимизировать).

Рис. 3. Множество Y k

Когда из множества возможных решений выделены эффективные, “переговоры” могут вестись уже в пределах этого "эффективного" множества. На рис 3. образуют три решения X 2 , X 4 , X 5 ; из них X 4 лучше по критерию F 1 , а решение X 2 по критерию F 2 . Дело ЛПР, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и “приемлем” по обоим критериям.

Замечание. Точка Y 1 выбирается в Y D в том и только в том случае, когда любая другая точка Y 2 из Y D имеет хотя бы по одной координате значение больше чем Y 1 (критерии минимизируются).

Замечание . Для определения эффективных точек используют правило “уголка”. Уголок вида ∟ используется для определения компромиссных точек в критериальном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок ┐когда критерии минимизируются.

В случае, когда множество допустимых исходов является непрерывным, их векторные оценки "заполняют" некоторую область Y D на плоскости и получается "картинка" вроде изображённой на рис.4. В этом случае множество Парето-оптимальных оценок (красная линия) представляет собой часть границы Y D , образно говоря, её "юго-западную" границу". Если критерии максимизируются то – "северо-восточную" границу области Y D .

Рис. 4. Пространство оценок Y D и компромиссная кривая (красный цвет)

Замечание . В случае невыпуклой области её Парето-оптимальная граница может иметь более "экзотический" вид, например, состоять из отдельных линий и/или точек. Для данного примера (критерии максимизируются) - это правый пик.

Замечание. Экономисты так определяют оптимальность по Парето. Состояние называется оптимальным по Парето, если выполняется следующее условие: ничьё благосостояние не может быть улучшено без ухудшения благосостояния кого-либо другого (см. История экономических учений. /Под ред. В. Автономова: Учеб. Пособие. – М.: ИНФА – М, 2000. – 784 с. (стр. 242)).

Таким образом, под оптимально-компромиссным решением будем понимать одну из эффективных точек, являющуюся предпочтительней с точки зрения ЛПР. Задача векторной оптимизации не позволяет однозначно ответить на вопрос, получено ли оптимальное решение. Положительный ответ на этот вопрос зависит от качественной информации о важности частных критериев, которая имеется у ЛПР.