Простые проценты. Сложные проценты в MS EXCEL. Постоянная ставка. Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
• Р – первоначальная величина вклада;
• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
• I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

• К – количество дней в текущем году,
• J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

Дарья Никитина

Время на чтение: 9 минут

А А

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

В этой статье:

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 + %) n

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105 ;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y) n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Калькулятор сложных процентов для вклада

Начальный депозит

Количество периодов

Доходность за 1 период

Довложения каждый период

Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
	Простой процент	Сложный процент
	Сумма	Прибыль за год	Сумма	Прибыль за год
Через 1 год	60 000р.	10 000р.	60 000р.	10 000р.
Через 2 года	70 000р.	10 000р.	72 000р.	12 000р.
Через 3 года	80 000р.	10 000р.	86 400р.	14 400р.
Через 4 года	90 000р.	10 000р.	103 680р.	17 280р.
Через 5 лет	100 000р.	10 000р.	124 416р.	20 736р.
Через 6 лет	110 000р.	10 000р.	149 299р.	24 883р.
Через 7 лет	120 000р.	10 000р.	179 159р.	29 860р.
Через 8 лет	130 000р.	10 000р.	214 991р.	35 832р.
Через 9 лет	140 000р.	10 000р.	257 989р.	42 998р.
Через 10 лет	150 000р.	10 000р.	309 587р.	51 598р.
Через 11 лет	160 000р.	10 000р.	371 504р.	61 917р.
Через 12 лет	170 000р.	10 000р.	445 805р.	74 301р.
Через 13 лет	180 000р.	10 000р.	534 966р.	89 161р.
Через 14 лет	190 000р.	10 000р.	641 959р.	106 993р.
Через 15 лет	200 000р.	10 000р.	770 351р.	128 392р.
Суммарная прибыль:	150 000р.		720 351р.

Сущность процентных платежей. Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.

Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается, как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением:

Здесь i (%) - процентная ставка, выраженная в процентах.

Величину I часто называют процентными деньгами или процентным доходом, а иногда просто процентами.

В большинстве случаев начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, т.е. когда в качестве периодов начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное число дней. В некоторых случаях используется ежедневное начисление.

Существуют различные методы начисления процентов. Основные их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают следующие методы начисления процентов:

по простым процентным ставкам;

по сложным процентным ставкам.

Сущность метода начисления по простым процентам сводится к тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит.

Метод начисления по сложным процентам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент».

Другое отличие в методах начисления процентов - это установление процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины . Так, например, в контракте может быть определена процентная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост (снижение) на определенную величину. Кроме того, могут применяться и «плавающие» ставки, величина которых «привязывается» к темпам инфляции или изменяющимся ставкам рефинансирования, объявленным Центральным банком, или же ее изменение оговаривается какими-либо другими условиями. Например, в контракте оговаривается первоначальная процентная ставка (базовая ставка), которой пользуются только один период для начисления процентов (допустим, первый квартал), в дальнейшем она будет расти в соответствии с ростом темпов инфляции.

Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок. По условиям кредитного контракта процентные деньги могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, получаемая кредитором называется наращенной суммой. Таким образом, наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставляемой в кредит, и процентных денег.

Формула определения наращенной суммы с использованием простых процентов (формула простых процентов) запишется в следующем виде:

Где S - наращенная сумма.

Выражение (1+n.i) называется множителем наращения процентов.

При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом, т.е. как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году:

где t - число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит);

К - временная база (число дней в году).

Тогда формула (2.4.) примет вид:

В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года К принимается равной 360 дням. Это германский метод начисления процентов. Проценты, рассчитанные с временной базой К = 360 дней, называются объективными или коммерческими. Существует французский метод , когда продолжительность года принимается равной К = 360 дням, а продолжительность месяцев в днях соответствует календарному исчислению. И наконец, в ряде стран используется английский метод , учитывающий продолжительность года в 365 дней, а продолжительность месяцев - в днях, также соответствующих календарному исчислению, как и при использовании французского метода .

В этой связи различают три метода процентных расчетов, зависимых от выбранного периода начисления.

1.Точные
английский метод ). При этом методе продолжительность года К приниается равной 365(366) дням и определяется фактическое число дней t между двумя датами (датой получения и погашения кредита).

2.Обыкновенные
проценты с точным числом дней ссуды (французский метод ). При этом методе величина t рассчитывается, как и в предыдущем методе.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германский метод ).При этом методе величина t определяется количеством месяцев по 30 дней в каждом, начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года К = 360 дней.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день.

Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы (I360 и I365 ), при равной продолжительности ссуды t существуют следующие соотношения:

При установлении переменной процентной ставки, т.е. дискретно изменяющейся во времени ставки, наращенная ставка определяется по формуле:

где it - ставка простых процентов в периоде t ;

nt - продолжительность начисления ставки it ;

m - число периодов начисления процентов.

Выше нами рассматривались методы расчета наращенной суммы, когда она является результатом сложения процентного дохода и капитала, предоставленного в кредит. При этом начисление процентов производилось в конце расчетного периода. Такой метод начисления процентов называется декурсивным
(последующим ).

Наряду с рассмотренным методом начислений существует метод, когда прибавляют к начислению процентов уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием
или капитализацией процентного дохода.

В этом случае итоговая наращенная сумма определяется по формуле:

где n1, n2, nt - продолжительность периодов наращения;

i1, i2, it - процентные ставки, по которым производятся реин – вестирование.

Данный метод начисления процентов (с переменной базой) будет подробно рассмотрен в разделе, посвященном сложным процентам.

Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок. Наряду с декурсивным методом существует и другой способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100 %) принимается сумма погашения долга. В этом случае применяется не процентная, а учетная ставка (d ). Такой метод начисления процентов носит название антисипативный (предварительный ). Расчет наращенной суммы производится по формуле:

Таким образом, мы убедились, что простая учетная ставка дает более быстрый рост наращенной суммы, чем аналогичная по величине ставка простых процентов.

При равенстве простой процентной ставки і и простой учетной ставки d (20%) различие в величине множителей наращения определяется сроком ссуды:

Вид ставки	Срок ссуды в годах - n

Процентные вычисления с использованием дивизора. В мировой финансовой практике наряду с рассмотренными методами процентных вычислений существует и ряд других. В частности, применяется модификация формулы для определения величины процентного дохода:

Для числа дней t процентный доход (платежи) составит:

где произведение P.t называют процентным числом, а частное 36000 / i
или 36500 / i - процентным ключом, или постоянным делителем. В финансовой литературе процентный ключ имеет еще одно наименование - дивизор
(обозначение D ).

Дисконтирование по простым процентным ставкам

Стоимость денег и время. Деньги постоянно меняют свою стоимость. Основной концепцией теории финансов есть то, что одна денежная единица сегодня имеет большую стоимость, чем одна денежная единица завтра, через месяц, год. Инвесторы (люди, которые имеют свободные деньги) дают предпочтение тем деньгам, которые у них сегодня, а не тем, которые будут завтра, потому что они дают им возможность снова из денег делать деньги.

Прежде чем вложить свои деньги в какое-нибудь дело, каждый инвестор должен хорошо определить выигрыш и затраты, которые ждут его в будущем. Таким образом, деньги со временем теряют свою стоимость и не могут быть неподвижными. Основными причинами обесценивания денег есть: инфляция; риск; склонность к ликвидности.

Если годовой теми инфляции (общее повышение цен) 20 %, то соответственно покупательная способность одной денежной единицы снизилась на 20 %, т.е. в начале года за 1 д.е. можно купить 10 единиц какого-то товара, а в конце года за нее можно купить лишь 8 единиц.

Рынок означает неуверенность в будущем. Невозможно точно предвидеть, вернуться ли завтра деньги, вложенные сегодня (из-за инфляции и др.). Поэтому каждая финансовая сделка имеет определенный процент риска. Даже финансовые аналитики, опытные инвесторы, несмотря на их компетентность, не могут гарантировать, что доходы, которые они ожидают от некоторых инвестиций, будут такими в будущем. Чем больший период использования денег, тем больший риск, что соответственно уменьшает ожидаемую стоимость денег.

Склонность к ликвидности денег колеблется. Наиболее ликвидные «живые» деньги. За них можно купить все. Одновременно деньги, вложенные в ценные бумаги, товар и т.д., уже менее ликвидны, т. к. для того, чтобы снова перевести ценные бумаги и товар в деньги, требуется время. Поэтому кредиторы или инвесторы, отдавая свои «живые» деньги, надеются на высокие будущие доходы, чтобы оправдать риск и потерю ликвидности.

Будущая стоимость денег - это наращенная сумма S , т.е. сумма, которую следует уплатить через определенное время n за пользование деньгами P . Стоимость денег сегодня, т.е. на данный момент времени Р0
называется текущей стоимостью.

Таким образом, какая-либо сумма денег имеет три характеристики: начальную стоимость Р0 - стоимость на начало отсчета времени, текущую стоимость Р
- стоимость на какой-либо момент времени, будущую стоимость S - стоимость на конец отсчета времени.

Чтобы начальная сумма Р0 денег не утратила своей стоимости, на нее следует начислить проценты по ставке не меньшей от нормы банковского процента.

В финансовой практике часто приходится решать задачу обратную процессу наращивания, а именно: по известной будущей величине денег, которые следует уплатить за определенное время n , определить начальную сумму Р0 .

Например: клиент хочет через 2 года иметь на счете 20000 д.е. Какую сумму он должен положить сегодня в банк, если он платит 30 % годовых простых. Легко получаем следующий результат:

20000 = P (1+2×0,3) ,

P = 20000/1,6 = 12500 д.е.

Неравноценность денег в разные календарные сроки вызвала к жизни важное понятие дисконтирования. Эта процедура является обратной по отношению к процессу начисления процентов. Дисконтированием называется авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, то есть до наступления срока ее погашения.

Другим вариантом дисконтирования является учет векселей в банке, когда банк принимает вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

Исходной величиной выступает не начальный вклад Р , а некоторая будущая сумма S . Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р , отстоящую на t
предшествующих периодов до срока выплаты S . В зависимости от принятого критерия эквивалентности можно выделить два подхода к расчету предшествующих сумм.

Во-первых, по размеру вклада Р , который при начислении процентов через t периодов дает сумму S , и, во-вторых, по размеру платежа к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за срок
t . Таким образом, при одном толковании за базовую величину, то есть за 100 %, принимается размер вклада Р , в то время как при другой - за 100 % берется будущая сумма S . Кроме того, по каждому варианту дисконтирование можно производить как по простым так и по сложным процентам.

При дисконтировании определяют так называемые мультипликаторы (дисконтные множители), показывающие, какую долю составляет Р в величине S . Величину Р , найденную дисконтированием S по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S . Это понятие является важнейшим в количественном анализе финансовых операций, т.к. именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.

Формулы дисконтирования по платежу (второй подход) можно получить, используя известные формулы с заменой схемы начисления процентов на вклад Р схемой их удержания с суммы S
за тот же срок платежа. За основу их построения можно принять понятие единичного, периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d , которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S на один период “назад”. Отсюда следует, что на начало этого периода эквивалентная выплате S сумма составит величину Р , которая при дробном измерении ставки определяется формулой:

По простым процентам за t периодов получим величину:

Данный вид дисконтирования используется при учете векселей.

Виды дисконтирования

Таким образом, дисконтирование - это определение начальной или современной суммы Р по известной конечной сумме S , которую следует отдать через некоторое время n . Разность S - P называется дисконтом и обозначается D .

Дисконт - это процентные деньги, начисленные и полученные заранее.

Сумму Р , вычисленную при дисконтировании, часто называют приведенной величиной платежа S .

Задача дисконтирования возникает очень часто при выработке условий контракта между двумя предприятиями, различными объектами хозяйствования, при определении настоящей рынковой стоимости векселей акций, облигаций и других ценных бумаг. Различают два вида дисконтирования: математическое и банковское.

Математическое дисконтирование

При математическом дисконтировании решается задача, обратная определению наращенной суммы. Сформулируем ее следующим образом: какую сумму следует выдать в долг на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S .

Для решения этой задачи используют формулу наращения по простой ставке процентов (2.4.):

где 1 / (1+n.i) - дисконтный множитель, показывающий, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.

Используя приведенные формулы рассчитаем величину эффективной годовой процентной ставки:

или

.

Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d , т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

При банковском дисконтировании дисконтированная величина определяется по формуле:

где Р ¢
- дисконтированная величина;

S - наращенная сумма долга;

d - учетная (дисконтная) ставка, выраженная в десятичных дробях;

n – временный интервал от момента учета финансового инструмента до даты уплаты по нему в годах.

Дисконтирование с помощью математического и банковского методов, т.е. по процентной ставке i и учетной ставке d приводит к различным финансовым результатам. При использовании учетной ставки фактор времени учитывается более “строго”.

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещаются начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d . В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

где Р - сумма, предоставленная в кредит;

n - общий срок платежного обязательства;

n ¢ - срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, т.е. n ¢< n ;

S - сумма, полученная при учете обязательства.

Определение параметров по простым процентам

Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой:

где К = 360 или 365 (366) дней.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле:

Расчет простых процентов в условиях инфляции

При начислении процентов может быть учтена инфляция - снижение покупательной способности денег. Инфляцию характеризуют два показателя: уровень инфляции и индекс инфляции. Уровень инфляции показывает, на сколько процентов изменяются цены за некоторый период времени, а индекс инфляции - во сколько раз выросли цены за период времени.

N < 1 можно определить по формуле:

Рассмотрим случай, когда при заданном годовом уровне инфляции ссуда выдается на срок больше года (n > 1). Если n - целое число, то получим.

Процентная ставка - относительная величина процентных платежей на заемный капитал за определенный период времени, как правило, за год.

По степени реагирования на изменение рыночного уровня процента различают фиксированные процентные ставки и плавающие.

Фиксированная процентная ставка - ставка, установленная на весь период пользования заемными средствами без права ее пересмотра.

Плавающая процентная ставка - ставка по средне- и долгосрочным кредитам, уровень которой колеблется в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка.

Плавающая процентная ставка складывается из двух составных частей. Первая часть представляет подвижную основу, изменяющуюся в соответствии с конъюнктурой денежно-кредитного рынка. В ее роли обычно выступают межбанковские ставки предложения кредитных ресурсов: ЛИБОР, ПИБОР, ФИБОР и др. Надбавкой выступает фиксированная величина, являющаяся предметом договоренности сторон и, как правило, неизменная на весь срок действия кредитного договора. Размер фиксированной надбавки зависит от условий сделки и степени ее риска.

В денежно-кредитной сфере западных стран имеется большое разнообразие процентных ставок.

Первый уровень процентных ставок - официальные процентные ставки , устанавливаемые центральными банками отдельных стран по кредитам, предоставляемым коммерческим банкам. Эти ставки носят название учетных или ставок рефинансирования.

Рефинансирование коммерческих банков может производиться либо путем прямого кредитования, либо путем переучета коммерческих векселей. Степень значимости той или иной ставки зависит от исторически сложившегося в стране развития вексельного обращения и системы рефинансирования.

Учетная ставка Центрального банка РФ, наряду с политикой в области обязательных резервов от объема привлеченных банками ресурсов и операциями на открытом рынке является одним из основных инструментов денежно-кредитного регулирования. При помощи маневрирования учетным процентом Центральный банк РФ стремится регулировать объем денежной массы в обращении и темпы инфляционного обесценения денег. Так, понижение официальной учетной ставки приводит к удешевлению и увеличению предложения кредитных ресурсов на рынке. Такая политика имеет целью оживление инвестиций и стимулирование экономического роста. Проведение обратно направленной учетной политики ведет к сжатию денежно-кредитной массы, замедлению темпов инфляции, но одновременно это путь к сокращению объема инвестиций в экономику. Таким образом, учетная политика Центрального банка должна строиться в зависимости от состояния денежно-кредитной системы и учитывать как опасность инфляции при проводимой политике «дешевых денег», так и негативные последствия низких темпов экономического роста в периоды реестрикционной политики ЦБ РФ.

Следующий уровень процентных ставок представлен ставками предложения на межбанковском рынке кредитных ресурсов. По ставкам предложения ведущие банки осуществляют кредитование в евровалютах первоклассных банков путем размещения у последних депозитов. Примером служит ставка ЛИБОР (LIBOR) - Лондонская межбанковская ставка предложения, которая не является официально определяемой величиной, каждый крупный коммерческий банк фиксирует ее в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка по состоянию на 11 часов утра каждого делового дня. Под ставкой ЛИБОР понимается также средняя ставка по этим банкам, рассчитываемая как средняя арифметическая.

Ставки «Прайм-рейт» - следующий уровень процентных ставок, по которым коммерческие банки предоставляют кредиты первоклассным заемщикам.

И наконец, последний уровень процентных ставок - это ставки по более рисковым ссудам предприятиям и частным лицам.

В России в настоящее время также существует целый набор процентных ставок, структура которых приближается к западной практике.

Выделяются: учетная ставка Центрального банка РФ, ставки межбанковского денежного рынка, представленные большим набором инструментов (МИБИД - объявленная ставка по предоставлению кредитов коммерческими банками, МИ АКР - фактическая ставка по предоставленным кредитам, рассчитываемая Информационным консорциумом как средние от ставок привлечения и размещения межбанковских кредитов, ИНСТАР - межбанковские базовые процентные ставки, рассчитываемые Межбанковским Финансовым Домом по результатам сделок, заключенных коммерческими банками), «базовые» процентные ставки по кредитованию первоклассных клиентов по обеспеченным ссудам и ставки с учетом надбавки за риск по кредитованию прочих заемщиков.

Помимо ставок кредитного рынка, рассмотренных выше, в систему процентных ставок входят ставки денежного и фондового рынков: ставки по казначейским, банковским и корпоративным векселям, проценты по государственным и корпоративным облигациям и др.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются прежде всего при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производятся начисление процентов и выплата их кредитору.

Банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразнее для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но не востребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов : Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года.

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Банковская практика в России предусматривает начисление процентов по привлеченным и размещенным средствам (за исключением долговых обязательств и операций с платежными картами) по первому способу, а именно - как точные проценты с фактическим числом дней ссуды. По векселям и депозитным сертификатам применяется способ начисления обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Сложные проценты

Наращение по сложным процентам

Сложными называются ставки процентов, которые применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчётного периода к другому. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией процентов.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.

Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Рассмотрим декурсивный метод расчёта сложных процентов. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:

S =P (1+i ).

В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму

S =P (1+i )(1+i )=P (1+i ) 2 ,

S=P (1+i ) n . (1.11)

Формула (1.11) называется формулой наращения по сложным процентам (формулой сложных процентов ). Множитель (1+i ) n в формуле (1.11) является коэффициентом наращения.

Формулы удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастёт в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем коэффициент наращения величине N , в результате получим:

а) для простых процентов 1+ni =N , тогда

б) для сложных процентов (1+i ) n =N , тогда

Для случая N= 2 формулы (1.12) и (1.13) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов

n= 1/i ; (1.14)

б) для сложных процентов

При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (1.22) можно использовать приближённую формулу, если учесть, что ln 2»0,7, а ln(1+i )»i . Тогда

n» 0,7/i. (1.16)

□ Пример 1.5. За сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5%?

1. Случай простых процентов:

n= 1/0,05=20 лет.

2. Случай сложных процентов, вычисленных по точной формуле:

лет.

3. Случай сложных процентов, вычисленных по приближённой формуле:

n »0,7/0,05=14 лет.

Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближённая формулы дают практически одинаковые результаты.■

Начисление сложных процентов при дробном числе лет

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти различными способами:

S=P (1+i ) n ,

2. смешанным методом, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

S=P (1+i ) [n ] (1+{n }i ), (1.17)

где [n ] - целая часть числа n ; {n } - дробная часть числа n .

3. в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.

S=P (1+i ) [n ] . (1.18)

Номинальная ставка

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной . Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

, (1.19)

где N=mn - число периодов начисления, n - число лет.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1. по формуле сложных процентов

, (1.20)

где N/t - число периодов начисления процентов, t - период начисления процентов;

2. по смешанному методу

, (1.21)

где [N/t ] - число полных периодов начисления процентов, {N/t } - дробная часть одного периода начисления процентов.

□ Пример 1.6. На сумму 600 ден. ед. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами.

Решение. Общее число периодов начисления процентов составит , т. е. 4 квартала и 2 месяца. По формуле сложных процентов наращенная сумма будет равна

ден. ед.

Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:

ден. ед.

Если дробную часть не учитывать, то наращенная сумма будет равна:

ден. ед.

Из полученных результатов расчёта следует, что для ссудодателя выгоднее смешанный метод начисления процентов, т. к. итоговая сумма получается максимальной, а для заёмщика предпочтительнее третий вариант, т. к. итоговая сумма минимальна. ■

Переменные ставки сложных процентов

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

где P - первоначальная сумма; i t - ставка простых процентов в периоде с номером ; n t - продолжительность периода начисления по ставке i t .

1.2.2 Сложные учётные ставки

Наращение по сложной учётной ставке

Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле

во втором периоде она будет равна

,

где d - учётная ставка сложных процентов; n - число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам (формулой сложных антисипативных процентов ). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения.

Номинальная учётная ставка процентов

В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m раз в году, используют номинальную учётную ставку f . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m , и наращенная сумма определяется по формуле

где, N=mn - число периодов начисления, n - число лет.

□ Пример 1.7. Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d =15% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Наращенная сумма составит

ден. ед.

Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m =2), то наращенная сумма будет равна:

ден. ед. ■