Как рассчитываются простые проценты. Начисление по схеме простых процентов. Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач
От простого к сложному...
Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание формулы простых или сложных процентов, а также умение составить предварительный расчет процентов по депозиту как никогда пригодится. Ведь прогнозирование процентов по вкладам или процентов по кредитам относится к одной из составляющих разумного управления своими финансами. Такое прогнозирование хорошо осуществлять до подписания договоров и совершения финансовых операций, а также в периоды очередного начисления процентов и причисления их к вкладу по уже оформленному депозитному договору.
Для начисления процентов по вкладам (депозитам), да и кредитам тоже, применяются следующие формулы:
- формула простых процентов ,
- формула сложных процентов .
Фиксированная ставка, это когда установленная по вкладу банка процентная ставка, закреплена в депозитном договоре и остается неизменной весь срок вложения средств, т.е. фиксируется. Такая ставка может измениться только в момент автоматической пролонгации договора на новый срок или при досрочном расторжении договорных отношений и выплате процентов за фактический срок вложения по ставке «до востребования», что оговаривается условиями.
Плавающая ставка, это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вложения. Условия и порядок изменения ставок оговариваются в депозитном договоре. Процентные ставки могут изменяться: в связи с изменениями ставки рефинансирования, с изменением курса валюты, с переходом суммы вклада в другую категорию, и другими факторами.
Для начисления процентов с применением формул, необходимо знать параметры вложения средств на депозитный счет, а именно:
- сумму вклада (депозита),
- процентную ставку по выбранному вкладу (депозиту),
- цикличность начисления процентов (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и т.д.),
- срок размещения вклада (депозита),
- иногда требуется и вид используемой процентной ставки - фиксированной или плавающей.
Теперь давайте рассмотрим названные выше стандартные формулы процентов, которые применяются для расчета процентов по вкладам (депозитам).
Формула простых процентов
Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов.
При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:
Формула простых процентов
Значение символов:
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.
I – годовая процентная ставка
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств
Формула суммы простых процентов
Значение символов:
Sp – сумма процентов (доходов).
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – сумма привлеченных в депозит денежных средств.
Приведу условные примеры расчета простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами:
Пример 1. Предположим, что банком принят депозит в сумме 50000 рублей на срок 30 дней. Фиксированная процентная ставка - 10,5 % «годовых». Применяя формулы, получаем следующие результаты:
S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51
Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51
Пример 2. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». В условиях поменялся только срок вложения.
S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52
Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52
При сравнении двух примеров видно, что сумма ежемесячно начисленных процентов по формуле простых процентов не меняется.
431,51 * 3 месяца = 1294,52 рубля.
Пример 3. Банком принят депозит в сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». Вклад пополняемый, и на 61 день произведено пополнение вклада в сумме 10000 рублей.
S1 =50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 50863.01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863.01
S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517.81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517.81
Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82
Пример 4. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней), по плавающей ставке. На первый месяц (30 дней) процентная ставка - 10,5 %, на последующие 2 месяца (60 дней) процентная ставка – 12 %.
S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431.51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51
S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986.3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3
Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81
Формула сложных процентов
Формула сложных процентов применяется, если начисление процентов по вкладу, осуществляется через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально) а начисленные проценты причисляются к вкладу, т. е. расчет сложных процентов предусматривает капитализацию процентов (начисление процентов на проценты).
Большинство банков, предлагают вклады с поквартальной капитализацией (Сбербанк России, ВТБ и т. д.), т.е. с начислением сложных процентов. А некоторые банки, в условиях по вкладам предлагают капитализацию по окончанию срока вложения, т.е. когда вклад пролонгируется на следующий срок, что, мягко говоря, относится к рекламному трюку, который подталкивает вкладчика не забирать начисляемые проценты, но само начисление процентов фактически осуществляется по формуле простых процентов. И повторюсь, когда сумма вклада и срок размещения значительные, такая «капитализация» не приводит к увеличению суммы процентного дохода вкладчика, ведь начисления процентов на полученные в предыдущих периодах процентные доходы нет.
Формула сложных процентов выглядит так:
Формула сложных процентов
Значение символов:
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из суммы вклада (депозита) с процентами.
Расчет только сложных процентов с помощью формулы, будет выглядеть так:
Расчет только сложных процентов
Значение символов:
I – годовая процентная ставка;
j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;
K – количество дней в календарном году (365 или 366);
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств;
n - количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения денежных средств;
Sp – сумма процентов (доходов).
Приведу условный пример расчета сложных процентов и суммы банковского депозита со сложными процентами:
Пример 5. Принят депозит в сумме 50 тыс. руб. сроком на 90 дней по фиксированной ставке 10,5 процентов годовых. Начисление процентов – ежемесячно. Следовательно, количество операций по капитализации начисленных процентов (п) в течение 90 дней составит – 3. А количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов (j) составит – 30 дней (90/3). Какова будет сумма процентов?
S = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 = 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Убедиться в правильности суммы процентов, рассчитанный по методу сложных процентов можно, перепроверив расчет с помощью формулы простых процентов.
Для этого разобьем срок депозита на 3 самостоятельных периода(3 месяца) по 30 дней и рассчитаем проценты для каждого периода, использую формулу простых процентов. Сумму депозита в каждом следующем периоде будем брать с учетом процентов за предыдущие периоды. В результате расчета получилось:
Итак, общая сумма процентов с учетом ежемесячной капитализации (начисления процентов на проценты) составляет:
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Это соответствует сумме, рассчитанной по сложным процентам в примере № 5.
А при расчете процентов за этот же период по формуле простых процентов в примере №2, доход составил только 1294,52 руб. Капитализация процентов принесла вкладчику дополнительно 11,2 руб. (1305,72 – 1294,52), т.е. большая доходность получается у вкладов с капитализацией процентов, когда применяются сложные проценты.
При начислении процентов необходимо учитывать и еще один маленький нюанс. При определении количества дней начисления процентов по вкладу (t) или количества календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов (j), не учитывается день закрытия (снятия) вклада. Так, например, 02.11.07 банк принял депозит сроком на 7 дней. Полный срок депозита с 02.11.07 по 09.11.07, т.е. 8 календарных дней. А период начисления процентов по депозиту будет с 02.11.07 по 08.11.07, т.е. – 7 календарных дней. День 09.11.07 в расчет не принимается т.к. депозит возвращен клиенту.
Заканчивая материал, хочу еще раз обратить ваше внимание на то, что по приведенным формулам процентов можно производить и расчеты процентов по кредитам. Удачного вам подсчета своих доходов и расходов.
Банковский служащий, которого ежедневно преследуют вопросы вида: «Как открыть счет?», «Как перевести деньги?», «Когда нужно погасить долг» и т.д. Работа нервная, но мне нравится.
К банковским депозитам и кредитам все давно привыкли, но далеко не каждый задумывается о том, как применяется декларируемая банком процентная ставка в том или ином случае. Расчет процентов может вестись разными способами, существуют простые и сложные формулы; и стоит уделить этому внимание для понимания выгодности банковского предложения по займам или депозитам.
Простые и сложные проценты
О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.
В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:
Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где
Fv - итоговая сумма;
Sv - начальная сумма;
Td - срок вклада в днях;
Ty - количество дней в году.
Сложные проценты - это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.
Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:
Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где
Fv - итоговая сумма;
Sv - начальная сумма;
R - годовая процентная ставка;
Ny - количество периодов капитализации в году;
Nd - количество периодов капитализации за весь период вклада.
Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 — 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.
Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.
Какие вклады выгоднее?
Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные – те же: сумма 10 000 руб., ставка – 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.
Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.
Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 – 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.
Источник: http://www.depcalc.ru/
Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов
Формула сложного процента здесь
Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).
Простой расчет сложных процентов
Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.
Формула сложного процента:
SUM = X * (1 + %)n
где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).
Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:
SUM = 50000 * (1 + 10/100)5 = 80 525, 5 руб.
Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.
Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.
SUM = 10000 * (1+10/100/12)12 = 11047,13 руб.
Прибыль составила:
ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб
Доходность составила (в процентах годовых):
% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %
То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.
Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.
Формула сложного процента для банковских вкладов
На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:
где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).
То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.
Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:
SUM = X * (1 + p*d/y)n
При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.
Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.
Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
| Простой процент | Сложный процент | |||
| Сумма | Прибыль за год |
Сумма | Прибыль за год |
|
| Через 1 год | 60 000р. | 10 000р. | 60 000р. | 10 000р. |
| Через 2 года | 70 000р. | 10 000р. | 72 000р. | 12 000р. |
| Через 3 года | 80 000р. | 10 000р. | 86 400р. | 14 400р. |
| Через 4 года | 90 000р. | 10 000р. | 103 680р. | 17 280р. |
| Через 5 лет | 100 000р. | 10 000р. | 124 416р. | 20 736р. |
| Через 6 лет | 110 000р. | 10 000р. | 149 299р. | 24 883р. |
| Через 7 лет | 120 000р. | 10 000р. | 179 159р. | 29 860р. |
| Через 8 лет | 130 000р. | 10 000р. | 214 991р. | 35 832р. |
| Через 9 лет | 140 000р. | 10 000р. | 257 989р. | 42 998р. |
| Через 10 лет | 150 000р. | 10 000р. | 309 587р. | 51 598р. |
| Через 11 лет | 160 000р. | 10 000р. | 371 504р. | 61 917р. |
| Через 12 лет | 170 000р. | 10 000р. | 445 805р. | 74 301р. |
| Через 13 лет | 180 000р. | 10 000р. | 534 966р. | 89 161р. |
| Через 14 лет | 190 000р. | 10 000р. | 641 959р. | 106 993р. |
| Через 15 лет | 200 000р. | 10 000р. | 770 351р. | 128 392р. |
| Суммарная прибыль: | 150 000р. | 720 351р. | ||
Комментарии, как говорится, излишни. Вложения с использованием сложного процента НА ПОРЯДОК выгоднее, чем с простым процентом. Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент.
В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложного процента график получается экспоненциальным, с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль.
Как видите, на длительном промежутке времени очень важным становится то, под какой процент вы инвестируете деньги.
Через 15 лет при 10% годовых 50 тысяч рублей превратятся в 200 тысяч, при 15% — уже в 400 тысяч, а при 20% годовых — в 780 тысяч.
Таким образом, сложный процент является мощным орудием по увеличению капитала на длительных промежутках времени.
Из формулы расчёта сложного процента можно выразить процентную ставку и количество лет (месяцев).
Процентная ставка:
% = (SUM / X)1/n — 1
Расчет сложных процентов: Пример 4.
Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?
% = (100000 / 50000)1/10 — 1 = 0,0718 = 7,18 % годовых
Количество периодов (месяцев, лет):
n = log(1+%) (SUM / X)
Расчет сложных процентов: Пример 5.
Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. нарастились до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40% ?
n = log(1+0,4) (1000000 / 50000) = 8,9 лет
Источник: http://damoney.ru/
Простые и сложные проценты. Чем отличаются?
Рассмотрим пример размещения 100 руб. на банковском депозите под 10% сроком на один год. Текущая стоимость PV составляет 100 руб.
Через год инвестор на вложенный вклад получит 10%, или 10 руб. Сумма денежных средств через год равна сумме вклада плюс накопленные проценты (100 + 10 = 110 руб.). Следовательно, будущая стоимость сегодняшних 100 руб. равна 110 руб.
Будущую стоимость (future value, FV) можно определить но формуле
где PV - текущая стоимость; г - рыночная процентная ставка. В нашем примере будущая стоимость
FV=PV(i + /) = 100 (1 + 0,1) = 110руб.
Если через год инвестор из банка не забирает ни проценты, пи сумму первоначального взноса, а размещает эти средства на депозите сроком еще на один год, то будущая стоимость размещенных средств составит
РУ= 110 (1 + 0,1) = 100 (1+ 0,1) (1 + 0,1) = 100 (1 + 0,1)2= 121 руб.
В общем виде будущую стоимость текущих денежных средств можно представить как
где г - годовая процентная ставка; (1 + г) - коэффициент наращения; п - число лет наращения.
В рассмотренном примере условиями размещения денежных средств предусмотрено, что инвестор вкладывает средства на несколько лет под определенный процент. При этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается па счете инвестора, и на нес начисляются проценты.
Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму. В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.
Простые проценты
По отдельным видам финансовых вложений доход начисляется по методу простых процентов. К таким формам инвестиций относятся депозитные сертификаты и облигации, по которым проценты начисляются на номинальную стоимость данных финансовых инструментов. Например, если инвестор приобрел облигацию номинальной стоимостью 1000 руб. со сроком погашения через 1,5 года под 10% годовых, то по окончании срока его доход составит 1000-0,1 х 1,5 = 150 руб.
Таким образом, если годовая ставка составляет 10%, то при методе простых процентов доход инвестора через год составит 10%: через 1,5 года - 15; через 2 года - 20; через 3 года - 30% и т.д.
При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле
Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1+ 0,1-5) = 1,5 млн руб., из которых
1 млн руб.- это сумма первоначального взноса и 500 000 руб. представляют накопленные проценты.
Сложные проценты
При проведении финансовых вычислений в большинстве случаев пользуются не простыми, а сложными процентами, начисляемыми не только на первоначальную сумму, но и на сумму процентов, накопившихся за истекший период. В этом случае процентный доход не изымается, а остается на счете и прибавляется к величине первоначального взноса.
В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле
Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит
FV= 1 000 000 (1 + 0,1)5= 1 610 510 руб.
Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.
Метод сложных процентов всегда интриговал людей. Джон Кейнс назвал этот процесс магией сложных процентов. Действительно, на длительных отрезках времени первоначальные суммы, вложенные под сложный процент, увеличиваются очень существенно. Это хорошо очевидно из табл. 4.1, в которой приведены данные по приросту инвестиций в размере 100 долл. при простом и сложном проценте на 200-летнем отрезке времени.
1. Английский астроном Френсис Бейли в 1810 г. подсчитал, что если в год рождения Христа положить 1 пенс под 5% годовых, то за эти годы он превратился бы в такое количество золота, которого хватило бы для заполнения 357 млн земных шаров.
2. Остров Манхэттен (США) был приобретен в 1626 г. Питером Минуитом у местных индейцев за сумму, равную примерно 25 долл. США. В настоящее время совокупная стоимость острова исчисляется миллиардами долларов. Однако если бы Питер вложил свои 25 долл. в банк под 7% годовых, то в настоящее время он бы получил 3,6 трлн долл. США, что существенно больше нынешней стоимости острова со всеми сооружениями на нем. Вот к чему приводит принятие однажды неправильного решения.
Таблица 4.1. Стоимость инвестиций в размере 100 долл. на конец года при 10% ставке
Таблица показывает, что в первый год разница в доходе между простым и сложным процентом равна нулю. Затем эта разница начинает незначительно возрастать. Она весьма велика для 50-летнего и громадна для 200-летнего периода.
Для удобства расчета будущей стоимости применяют специальные таблицы, показывающие будущую стоимость денежной единицы через п лет при соответствующей годовой процентной ставке (приложение 1). Фрагмент этой таблицы представлен ниже (табл. 4.2)
Таблица 4.2. Будущая стоимость денежной единицы
|
Годовая процентная ставка |
||||||||
Пользуясь табл. 4.2, определим, сколько денежных средств будет на счете инвестора, положившего 1000 руб. на банковский депозит под 10% сроком на 15 лет. Мы движемся по столбцу «годы» до строки 15 лет, а затем перемещаемся по этой строке вправо до столбца 10%. На пересечении строки и столбца показано, во что превратится 1 руб. через 15 лет, положенный на депозит под 10% годовых. Эта цифра равна 4,177. Следовательно, для нашего примера будущая стоимость вклада
РУ= 1000-4,177 = 4177 руб.
При простом проценте увеличение стоимости идет равномерно. Первоначальная сумма инвестиций каждый год увеличивается на одинаковую величину, что иллюстрирует прямая линия. При сложном проценте наблюдается ускоренный рост накоплений. Кривая роста тем круче, чем выше ставка процента и длиннее срок инвестирования.
Правило 72 (удвоение сбережений)
Инвестор приобрел пакет акций компании «Уралкалий» за 10 млн руб., а через четыре года продал его за 20 млн руб., увеличив свой капитал в два раза. Интересно узнать, какую среднегодовую доходность он получил от своих инвестиций, рассчитанную по методу сложных процентов?
«Правило 72» позволяет нам быстро без помощи калькулятора определить доходность этих инвестиций. «Правило 72» гласит: если число 72 разделить на число лет, за которое было достигнуто удвоение инвестиций, то получим процентную ставку, показывающую среднегодовую доходность наших инвестиций. В рассматриваемом примере
Доходность = 72/Число лет = 72/4 = 18%.
Если известна процентная ставка, под которую можно разместить денежные средства на финансовом рынке, то, пользуясь «правилом 72», легко определить, сколько лет должно пройти, чтобы инвестиции удвоились. Например, банк предлагает депозит под 7% годовых. Чтобы рассчитать период удвоения, необходимо 72 поделить на процентную ставку, что в нашем примере составит
Число лет = 72/7 = 10,3 года.
Следует отметить, что «правило 72» дает приближенное значение числа лет и процентов, необходимых для удвоения инвестиций. Например, для удвоения вложений за четыре года необходима годовая доходность в размере 19%, а не 18%, как получилось при использовании «правила 72». Для того чтобы вложения, размещенные под 7% годовых, удвоились, необходимо 10,2 года, а по «правилу 72» получилось 10,3 года. Как видите, разница несущественна, и этот подход вполне может применяться для приблизительной оценки инвестиционных решений.
Источник: https://studme.org/
Процентная ставка
Финансовая математика - предмет изучения
Предметом изучения курса финансовой математики является выбор условий финансовой сделки между субъектами финансового рынка и расчет параметров этой сделки.
Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи - это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей - это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.
В финансовой сделке участвуют две стороны - кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка - предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.
Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие «процентов» и арифметической и геометрической прогрессии.
Проценты - основные понятия
Процент - одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:
— 2 составляет 4% от 50; (база 50)
— 80 меньше 100 на 20%; (база 80)
— 100 больше 80 на 25% (база 80)
— Новая цена товара в 6 раз больше первоначально. На сколько % увеличилась цена товара? Ответ: на 500%.
— Цена товара возрасла на 1000%. Во сколько раз увеличилась цена товара? Ответ: в 11 раз.
В течение торговой сессии курс акций компании повысился на, а курс акций компании снизился на 5%, в результате чего эти два курса сравнялись. на сколько процентов курс акций компании был выше курса акций компании до начала сессии?
Ответ: больше на
| первоначальная сумма долга | |
| (дни) | фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год - 365, иногда 360 дней) |
| процентная (учетная) ставка за период | |
| срок долга в днях | |
| срок долга в долях от периода | |
| сумма долга в конце срока |
Процентная ставка. Дисконтирование
Процентная ставка - относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег - абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.
Период начисления - это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.
Капитализация процентов - присоединение процентов к основной сумме долга.
Наращение - процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.
Дисконтирование - обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).
Величина называется множителем наращения, а величина - множителем дисконтирования при соответствующих схемах.
Интерпретация процентной ставки
При схеме «простых процентов » исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .
При схеме «сложных процентов » (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.
Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы «сложных процентов» капитализация процентов происходит на каждом периоде .
Интерпретация учетной ставки
При схеме «простых процентов» (простой дисконт ) - исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.
При схеме «сложных процентов» (для целых ) (сложный дисконт ) - исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.
Простая и сложная процентные ставки. Где используются?
«Прямые» формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| - процентная ставка |  |
 |
наращение |
| - процентная ставка |  |
 |
дисконтирование (банковский учет) |
«Обратные» формулы
| Простые проценты | Сложные проценты | ||
| - процентная ставка | дисконтирование (математический учет) | ||
| - процентная ставка | наращение |
Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов
Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,
При схеме простых процентов
1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.
Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель
Важным макроэкономическим показателем выступает процентная ставка. Процентная ставка - это плата за деньги, предоставляемые в кредит . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.
Очень часто в экономической литературе пользуются термином «процентная ставка», хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.
Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием рыночного механизма : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином «процентная ставка»
Различают номинальные и реальные процентные ставки
Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:
Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% - 10%).
Способы начисления процентов:
Простая процентная ставка
График роста по простым процентам
Пример
Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.
- I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
- S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.
Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления
Временная база может быть равна:
- 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
- 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .
Число дней ссуды
- Точное число дней ссуды - определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
- Приближенное число дней ссуды - определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.
На практике применяются три варианта расчета простых процентов:
- Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
- Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.
Пример
Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.
Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября - 278 день в году. 278 - 20 = 258. При приближенном подсчете - 255. 30 января - 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)
- S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)
- S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.
Переменные ставки
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:
Источник: http://www.grandars.ru/
Простые и сложные ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по догоиоренности участвующих в операции сторон.
Введем следующие обозначения:
\ (%) - простая годовая ставка ссудного процента;
/-относительная величина годовой ставки процентов;,
Iсумма процентных денег, выплачиваемых за год;
1 - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
р - величина первоначальной денежной суммы;
5наращенная сумма;
Ки - коэффициент наращения;
п - продолжительность периода начисления в годах;
д - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета процентов.
В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:
1) используется точное число дней ссуды, определяемое
по специальной таблице, где показаны порядковые но-
мера каждого дня года; из номера, соответствующего
дню окончания займа, вычитают номер первого дня;
2) беретЬя приблизительное число дней ссуды, когда про-
должительность полного месяца принимается равной
30 дням; этот метод используется, когда не требуется
большая точность, например, при частичном погаше-
нии займа.
Точный процент получают в случае, когда за временную
базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) н точ-
ное число дней ссуды.
Определение современной величины Р наращенной сум-
мы 51 называется дисконтированием, а определение величи-
ны наращенной суммы 5 - компаудироваиием
5 = Р(1 +/ «) - компаудировамие по простой ссудной
^ ставке;
Р - дисконтирование по простой ссудной
(1 + / * п) ставке.
Если продолжительность ссуды менее одного года,можно
использовать следующие формулы:
8, „.V
S = P^^І¦-);-P= 5
К ([ + /.-)
к,.
Преобразуя формулы (т.е. заменяя входящие в них вы-
ражения на эквивалентные и выражая одни величины через
другие), получаем еще несколько формул для определения
неизвестных величин в различных случаях:
8-Р. Б-Р. Я-Р „
и =.;5=к ¦! = -:(= К.
Р-1 Р-1 Рп Р-8
Иногда на разных интервалах начисления применяются
разные процентные ставки. Если на последовательных интер-
валах начисления!г ^ используются ставки процентов ^
КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ
/, i2,…/N, то доход кредитора в конце интервала составит:
/1 = Р-п1 /,
в конце второго интервала: /2, и т.д.
При тУ интервалах начисленная наращенная сумма соста-
Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространен-ным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
Кн - (l + /)"» (І + / ¦ nh), тогда S = Р ¦ (l + /)’“ ¦(] + /¦ nh),
где n=-na + nb;
па - целое число лет;
ni - оставшаяся дробная часть года.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов у - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.
При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:
вит
S
Здесь пт - об шее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (пт - целое число интервалов начисления, /-часть интервала начисления), то выражение принимает вид:
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части - формула простых процентов.
В Казахстане в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.
Пример I.
Ссуда в размере 5 млн тенге выдана на полгода по простой ставке ссудных процентов 20% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение;
8~5 (1 + 0,5 ¦ 0,2) = 5,5 (млнтенге).
Пример 2.
Кредит в размере 10 млн тенге выдан 2 марта до 11 декабря под 18% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Решение:
1) В случае точных процентов берем 5 = 284:
10 (11 284/366 0,18) = 11,4 (млнтенге);
2) для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:
.9= 10(1 + 284/360 ¦ 0,18) = 11,42 (млн тенге);
КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ
3) для обыкновенных процентов с приближенным числом
дней ссуды (8 = 280):
5″ = 10 (] +280/360 0,18) = 11,94 (млн тенге).
Пример 3.
Кредит в размере 20 млн тенге выдается на 3,5 года. Став-
ка процентов за первый год - 15%, а за каждое последующее
полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель
наращения и наращенную сумму.
Решение:
Кн - 1 + 0,15 + 0,5 (0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,2) = 1,6.
5 = 20 ¦ 1,6 - 32 млн тенге.
Пример 4.
Определить период начисления, за который первона-
чальный капитал в размере 20 млн тенге вырастет до 65 млн
тенге, если используется простая ставка процентов 20% го-
довых.
Решение:
У1 ~ (65 - 20)/(20 ¦ 0,2) = 11,25 года.
Пример 5.
Определить простую ставку процентов, при которой пер-
воначальный капитал в размере 24 млн тенге достигнет 26
млн тенге через 100 дней. К= 365.
Решение:.5
(= (26 - 24)"(24 * 100) ¦ 365 = 0,31, или 31%..
Пример 6,
Кредит выдается под простую ставку 18% годовых на
250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком и сумму
| процентных денег, если величина кредита составляет 40 млн
тенге. Год не високосный. ¦
Решение:
I Р ~ 40 / (1 + 250/365 0,18) = 35,62 (млн тенге).
о| 1 = 40 - 35,62 = 4,38 (млн тенге).
Пример 7.
Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. тенге.
Определить наращенную сумму через пять лет при исполь-
зовании простой и сложной ставок ссудных процентов в раз-
мере 12% годовых. Решить этот пример также для случаев,
когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.
Решение:
По формуле для простых процентных ставок имеем:
5 = 200 (I + 5-0,12) = 320 (тыс. тенге).
По формуле для сложных процентов: ¦
5 = 200 (1 4 0,12)5 = 200-1,76 = 352,5 (тыс. тенге). 1
По формуле для начисления по полугодиям:
5200 (1 +0,06)’° = 200 1,79 = 358 (тыс. тенге).
Из той же формулы для поквартального начисления:
5 = 200 (1 + 0,03)’°-200* 1,806 = 361,2 (тыс. тенге).
Пример 8.
Первоначальная сумма долга равна 300 тыс. тенге. Опре-
делить наращенную сумму через 2,5 года начисления слож-
ных процентов по ставке 20,0% годовых.
Решение:
? = 300 (I Ь 0,2)2′ (1 + 0,5 0,2) - 475,2 (тыс. тенге)
Пример 9.
Определим современную (текущую, настоящую, приве-
денную) величину суммы 500 тыс. тенге, выплачиваемой че-
рез три года, при использовании ставки сложных процентов
20% годовых.
Решение:
Р - = 289.35(тыс. тенге).
(1 (0.2)’
При желании накопить немного денег или грамотно инвестировать уже имеющиеся накопления, одной из обязательных для изучения тем является формула простых процентов, сложных и принципов их исчисления. Они являются основным показателем выгодности вложений.
В сфере экономики и финансов процедуру вычисления этих показателей принято различать. Специалисты банковского дела подразумевают под сложным процентом термин капитализации, а специалисты по инвестированию – реинвестирования.
Определение простых и сложных процентов
Простые проценты – ставка доходности, начисляемая на изначальную сумму вклада. Их размер определяется только одни раз по окончании срока депозита и остается неизменным во всех последующих отчетных периодах, без учета пассивного дохода, полученного вкладчиком.
Сложные проценты по депозиту определяются как геометрическая прогрессия накоплений по вкладу. То есть, в каждый расчетный период величина базовой суммы депозита, к которой применяется формула банковского процента, увеличивается путем прибавления полученного дохода.
Простые и сложные проценты отличаются принципом вычисления размера прибавки к базовой сумме накоплений. В первом случае базис не меняется с течением расчетных периодов, в случае с капитализацией (или реинвестированием) – она увеличивается каждый раз на сумму начисленных депозитных бонусов.
Для среднестатистического обывателя подобная информация может показаться чересчур заумной, но, если разобраться немного подробнее, все не так страшно. И даже формулы простых и сложных процентов, при их детальном разборе, просты и понятны.
Применение разных схем начисления процентов отражается на размере пассивного дохода по вкладу
Пример расчета
Клиент банка открыл депозитный счет, пополнив его на 1000 рублей. Ставка учреждения по депозиту составляет 10% годовых, срок действия вклада – 3 года.
Формула расчета простой доходной ставки приведет к итогу, что через оговоренных 3 года клиент получит 1300 рублей. Сложная ставка процентов принесет клиенту через тот же срок 1331 рубль за счет реинвестирования средств.
Разница в 31 рубль, возможно, не так уж и критична, но если речь пойдет о вкладе на более крупную сумму, то и выгода окажется несоразмерной данному примеру.
Способы расчета
Дискретное начисление дохода основывается на принципе долгового заимствования средств банком у физических лиц под определенный размер вознаграждения. Величина такого дохода будет зависеть от схемы его начисления и величины базового капитала. Конечно, схема сложных процентов на первый взгляд принесет большую выручку, но стоит изучить все тонкости системы.
Доходность при начислении простых процентов является фиксированной
Расчет простой процентной ставки
Разумеется, процесс начисления простых процентов намного проще. Сумма высчитывается всего один раз и не меняется в течение срока хранения вклада в банке.
Обычно договор на банковское обслуживание оговаривает размер процентной ставки за год. Если по каким-либо причинам нужно узнать ее размер за период в один месяц, нужно применить формулу: Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty) , где:
- Fv – размер величины простых процентов;
- Sv – базовая сумма вклада;
- R – годовая процентная ставка;
- Td – срок действия депозита в днях;
- Ty – количество дней в году.
Для вкладов с пополнением и снятием средств расчет осуществляется отдельно для каждого периода хранения разных сумм на депозите. Иными словами, если клиент положил начальную сумму на счет, потом пополнил счет, а потом снял с него часть средств, то расчет будет состоять из трех этапов. Для каждого временного отрезка и для каждого объема денежных средств.
Расчет сложной процентной ставки
Стремясь к получению большей выгоды, держатели депозитов все чаще интересуются вопросом, как рассчитать сложный процент по вкладу . Для более наглядного описания, процесс капитализации средств можно представить так: по окончанию расчетного периода клиента банка закрывает депозит и снимает все накопленные средства (базис + набежавшие проценты). А потом кладет их еще на один расчетный период обратно в банк. Таким образом, начисление процентной ставки будет осуществляться уже на увеличенный базисный капитал.
Формула сложных процентов по кладу выглядит следующим образом: Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd , где:
- Fv – конечная сумма выгоды;
- Sv – базовая сумма депозита;
- R – процентная ставка в год;
- Ny – число временных отрезков капитализации средств за год;
- Nd – число временных отрезков капитализации в течение всего срока депозита.
Для определения временного отрезка капитализации банк использует равные промежутки: месяц, квартал или год. По истечении каждого отсчетного промежутка на текущую величину вклада начисляются процентные бонусы.
Начисление сложных процентов осуществляется в каждый установленный период расчета
Наиболее интересные варианты по годовым процентным ставкам предоставляются следующими программами инвестирования:
- облигации федерального займа – государственные облигации, годовая ставка 5%;
- стандартный депозитный вклад – ставка 10%;
- сборный портфель из облигаций и акций – ставка 15%;
- сборный портфель из ценных бумаг биржи – ставка 20%.
Интересно, что при составлении договора на обслуживание банком депозитного счета в формулировках не используется определение простого и сложного процента. Если доходность рассчитывается по схеме простой процентной ставки, то это указывается как «начисление процентов по окончанию срока депозита». Если по схеме сложной процентной ставки, то как «начисление процентов по окончанию расчетного периода» или «с учетом капитализации средств».
Какая схема более выгодна
На первый взгляд кажется, что ответ на вопрос, как выгоднее инвестировать, очевиден. На самом деле, не всегда просто решить, на какой вид счета положить свои активы: с более высокой ставкой под простые проценты или с меньшей ставкой с рефинансированием средств?
Прибыльность процентной надбавки к базовой сумме интересна с точки зрения кладчика далеко не всегда. Перед тем, как принять решение, рекомендуется собрать все имеющиеся предложения от банков и просчитать каждый вариант самостоятельно по формулам. Тогда станет понятно, при каких условиях депозит принесет наибольший пассивный доход.
На официальных сайтах многих банков доступна удобная опция онлайн калькуляции доходности вкладов. Она позволит сравнить условия разных банковских программ и выбрать наиболее оптимальную.
Грамотный просчет начисления процентов является эффективным финансовым инструментом и помогает получить максимальную выгоду от хранения активов. Важно понимать, что выбор схемы начисления зависит от параметров вклада и условий, предлагаемых банком. При выборе оптимальной стратегии накопления можно получить внушительный пассивный доход.
Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.
В чем разница между простыми и сложными процентами?
Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.
За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.
Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).
Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.
Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей
Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.
При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.
Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.
Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.
Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.
Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.
Формула расчета сложного процента по вкладам в банках
Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:
S=K * (1+r/t)™
K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,
r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12
t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12
ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.
S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.
Пример.
Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.
Какая сумма будет у вас в конце срока?
K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8
Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.
Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.
Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.
Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.
Известны две основные схемы дискретного начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени: схема простых процентов (simple interest) и схема сложных процентов (compound interest).
Простые проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы Р, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления Т=1) на некоторый процент (по ставке r, представленной в виде дроби) от начальной суммы P, т.е. на rP. Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой арифметическую прогрессию с начальным членом P и разностью rP. Таким образом, к концу n-го промежутка начисления наращенная сумма рассчитывается по формуле: F=P +Pr +Pr+…+Pr=P +Prn, и следовательно,
F n = P(1+nr) (1).
(1+nr) – называют множителем наращения. Если ставка r измеряется в процентах, то для ее представления в виде дроби следует r поделить на 100.
Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют при выдаче краткосрочных ссуд (срок до одного года с однократным начислением процентов).
Сложные проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления) на некоторый процент с учетом получения процентов на проценты. Таким образом, каждая следующая сумма при наращении сложных процентов по ставке r возрастает на долю r от предыдущей и рассчитывается по формуле:
F n =P(1+ r) n . (2)
Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+r).
Процентные деньги
(проценты) – это величина дохода,
равная Д n =F n -P (3), т.е. разности между наращенной суммой и начальной.
Норма процента рассчитывается по формуле (4):
Правило 72 . Если процентная ставка есть a, то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за 72/a лет. Это правило применяется для небольших ставок, вычисляемых по сложным процентам.
При выводе формул 1, 2 предполагалось, что n измеряется в годах, а r является годовой процентной ставкой. Эту формулы можно применить и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки (размерность каждого периода n k должна быть согласована с размерностью процентной ставки r k .
В том случае, когда сложные проценты начисляются m-раз в году, а наращение капитала происходит за n лет, где n – целое число, формула нахождения наращенной суммы примет следующий вид:
Можно сделать некоторые выводы для сложных процентов:
Ø Проценты, полученные за год по ставке r не эквивалентны процентам, полученным за год по ставке r/12 в месяц;
Ø чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.
Для облегчения расчетов составлены таблицы мультиплицирующих множителей , которые показывают, во сколько раз возрастет за n лет сумма, положенная в банк под r процентов годовых: FM(n,r)=(1+r) n . Величина FM(n,r) есть будущая стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.)– через n лет при ставке процента r.
Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:
Ø По схеме сложных процентов
Ø По смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):
В том случае, когда продолжительность финансовой операции рассчитывается в днях, однозначного определения процента и других параметров финансовой операции нет. Решение будет зависеть от того, как рассчитывается продолжительность года и продолжительность периода финансовой операции.
Таким образом, существует два варианта процентов: точный процент и обыкновенный процент.
При расчете точного процента (exact interest) берется точное число дней в году (365, 366), в квартале (89 – 92), в месяце (28 – 31).
При расчете обыкновенного процента (ordinary) берется приближенное число дней в году (360), в квартале (90), в месяце (30).
Продолжительность периода финансовой операции (например, ссуды) исчисляется также двумя способами: расчет по дням (берется точное число дней) и расчет с приближенным числом дней в месяце (30).
Следовательно, можно выделить три способа расчета процентов:
I. Обыкновенный процент с приближенным числом дней (360/360). Такой способ расчета практикуется в Германии, Дании, Швеции.
II. Обыкновенный процент с точным числом дней (365/360 или АСТ/360). Такой способ расчета практикуется в Бельгии и Франции.
III. Точный процент с точным числом дней (365/365 или АСТ/АСТ). Такой способ расчета практикуется в Великобритании и США.
В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Эффект от выбора зависит от суммы финансовой операции. Понятно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.
Пример 1.1. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.
Решение. Применим формулу (2) и получим F 4 =200000 (1+0,15) 4 .
Пример 1.2. Годовая ставка простых процентов равна 8,3%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Решение. Обозначим начальную сумму через Р. Тогда Р*(1+n*0,083)³ 2Р, т.е. 1+n*0,083)³ 2, n³ 1/0,083. С точностью до целых – через тринадцать лет.
Пример 1.3. Пусть P=1000, r = 10%- сложные проценты. Найти наращенную сумму за за n=3 промежутка начисления.
Решение. Р=1000; F 1 =1000 (1+0,1) 1 =1100; F 2 ,=1100*1,1=1210; F 3 =1210*1,1=1331,1.
Пример 1.4. Годовая ставка сложных процентов равна r =8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Решение. Р(1+0,08) n ³2Р; (1+0,08) n ³ 2; n* ln(1,08)³ ln2;
n³ (ln(2)/ln(1,08))=9.
Пример 1.5. М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой «на зубок» сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей».
Решение. В нашем примере нужно воспользоваться формулой сложных процентов, обозначив через х – искомый процент по вкладам (годовую ставку сложных процентов), и взяв n=50.
Получим: 800=100(1+х) 50 .
Логарифмируя с помощью таблицы логарифмов, получим решение следующим образом: lg800=lg100+50lg(1+x).
Антилогарифм 1+х=1,039. Тогда х=3,9%.
Пример 1.6. Чему равна будущая стоимость одной денежной единицы через 9 лет при ставке процента 10%.
Решение . Так как n=9, r=10%, то согласно таблице мультиплицирующих множителей М(9,10)=2,358.
Пример 1.7. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (простая ставка, год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению F.
Решение .
1. Подсчитаем точное число дней, которые берется в расчет при выплате процентов. По табл. 161-41=120 (дней)
2. Подсчитаем приближенное число дней ссуды: t= 18 дней февраля (59-41) + 90 дней (март-июнь) + 10 дней июня=118 дней.
3. АСТ/АСТ F=7 (1+120/365*0,2)=7460руб.
4. 360/360 F=7 (1+118/360*0,2)=7459руб.
5. 365/360 F=7 (1+120/360*0,2)=7467руб.
Пример 1.8. 14 марта в банк положили сумму 1000 у.е. до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября?
Решение. Однозначного решения нет. Выберем способ расчета 360/360, т.е. в году 360 дней, в месяце 30 дней.
1) Найдем, какую долю от года составляет промежуток времени, в течение которого вклад хранился в банке: t=(30 дней * 5 месяцев +17 дней) / 360. Дни считаем так: из порядкового номера последнего дня вычитается порядковый номер первого дня.
Пример 1.9. Пусть сумма начального вклада Р=750 у.е. наращивается по годовой ставке r=20%. Принятая схема начисления: по простым процентам. Подсчитать проценты за n=4 промежутков начисления (лет). Представить последовательность наращенных сумм за 4 года.
Решение . Так как под процентами (процентными деньгами) понимают величину дохода (приращение денег) I n = F n -P, то сначала найдем F n
F n – это наращенная за n лет сумма, которая находится по формуле F n =P + n´r´P=Р(1+nr), где r – дробное измерение ставки. Таким образом, F 4 =750(1+4´0,2)=750 1,8=1350.
Следовательно, I 4 = F 4 -P=1350-750=600 (у.е.) – процентные деньги за 4 года.
Последовательность наращенных сумм в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию: F 1 = Р(1+1´r)= 750(1+0,2)= 900; F 2 = Р(1+2´r)= 750(1+0,4)= 1050; F 3 = Р(1+3´r)= 750(1+0,6)= 1200; F 4 = Р(1+4´r)=750(1+0,8)=1350, каждый следующий элемент последовательности отличается от предыдущего на 150 у.е., т.е. приросты денежных сумм для любого периода составляют 150 у.е. –постоянную долю от первоначальной суммы Р=750 у.е.
Пример 1.10. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие 2 года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.
Решение . Р=25, n 1 =1, n 2 =2, n 3 =3; i 1 =0,1; i 2 =0,104; i 3 =0,107. Тогда F 6 =25(1+0,1)(1+0,104) 2 (1+0,107) 3 =45,469 тыс.руб.
Пример 1.10. Семья положила Р=12 000 руб. на срочный вклад при срочной процентной ставке r=11% годовых (с учетом выплаты процентов на проценты). Сколько денег семья получит через два года, при условии, что в течение двух лет деньги сниматься со сберкнижки не будут?
Решение . Выплата процентов на проценты означает, что одна и та же ставка r начисляется для каждого следующего промежутка начисления на результат предыдущего начисления (наращенную сумму за предыдущий период начисления или, что т о же самое, на сумму, наращенную на начало данного периода начисления). По формуле сложных процентов наращенная сумма за n лет составит величину Fn= Р(1+r)n. Следовательно, в нашем случае при n=2 F2=Р(1+r)2=12000 (1+0,11)2=12000´1,112=1,2321´12000=14785,2
Пример 1.11. В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Найти величину капитала через 2 года. Проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально?
Решение . В этом случае начисление процентов производится 4 раза по ставке 10%, тогда Р=5, n=2, m=2, r (m) = r (2) = 0,2 и
3) В этом случае начисление происходит 8 раз, m=4, n=2 по ставке 5% (20%/4) и
Пример 1.12. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 мес. под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
Решение. n=2,5; целое число лет=2; дробная часть года=0,5.
По схеме сложных процентов F 2,5 =10(1+0,3) 2+0,5 =19,269 тыс.руб.
По смешанной схеме F 2,5 =10(1+0,3) 2 (1+0,5*0,3)=19,435 тыс. руб.
Т.о. для банка смешанная схема начисления более выгодная.
