Главная Бизнес-идеи Бенуа Мандельброт. Фракталы, случай и финансы. Применение множества Мандельброта в искусстве. Интеграция детерминированных фракталов и хаос

Бенуа Мандельброт. Фракталы, случай и финансы. Применение множества Мандельброта в искусстве. Интеграция детерминированных фракталов и хаос

Множество Мандельброта

Расширенное определение

Вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки c {\displaystyle c} на комплексной плоскости следующим образом:

c = x + i ⋅ y , Z 0 = 0 , Z 1 = Z 0 2 + c = = x + i y Z 2 = Z 1 2 + c = = (x + i y) 2 + x + i y = = x 2 + 2 i x y − y 2 + x + i y = = x 2 − y 2 + x + (2 x y + y) i , Z 3 = Z 2 2 + c = … {\displaystyle {\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\&=x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2}+2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^{2}+c=\ldots \end{aligned}}}

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости , то есть заменив z n {\displaystyle z_{n}} на x n + i ⋅ y n {\displaystyle x_{n}+i\cdot y_{n}} , а c {\displaystyle c} на p + i ⋅ q {\displaystyle p+i\cdot q} , мы получим:

x n + 1 = x n 2 − y n 2 + p , {\displaystyle x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+p,} y n + 1 = 2 x n y n + q . {\displaystyle y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+q.}

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду . Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.

История множества Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (фр. Pierre Fatou ), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел . Фату изучал рекурсивные процессы вида

z → z 2 + c . {\displaystyle z\to z^{2}+c.}

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой z 0 {\displaystyle z_{0}} при преобразовании z → z 2 + c {\displaystyle z\to z^{2}+c} .

Фату нашел, что орбита z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований - своё для каждого значения c {\displaystyle c} . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер .

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension » («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта - один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Построение множества

Несложно доказать, что как только модуль z n окажется больше 2 (или, в терминах действительной и мнимой частей, x n 2 + y n 2 > 4), последовательность станет стремиться к бесконечности. В случае |c | ⩽ 2 это можно доказать с помощью метода математической индукции . При |c | > 2 точка c заведомо не принадлежит множеству Мандельброта, что также можно вывести методом индукции, используя равенство z 0 = 0. (Хотя в этом случае может существовать другое z 0 , для которого соответствующая последовательность ограничена по модулю, но для некоторого n выполняется неравенство |z n | > 2.)

Сравнение |z n | с этим числом (в англоязычной литературе его называют «bail-out ») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально вырастает и время расчётов.

Добавление цвета

Строго математически, изображения множеств Мандельброта и Жюлиа должны быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.

Порядок определения, попадает ли точка z 0 внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для z n = x n + y n ·i вычисляется значение модуля | z n | = x n 2 + y n 2 {\displaystyle |z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}} , которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не x n 2 + y n 2 > 2 {\displaystyle {\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}>2} , а x n 2 + y n 2 > 4 {\displaystyle x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4} , что значительно снизит время расчётов.

Таким образом, если |z n | 2 ⩽ 4 при любом числе итераций (на практике - при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения n , при котором |z n | 2 ⩽ 4. Значение n , фактически, обозначает скорость движения z n в бесконечность и может быть просто индексом в таблице цветов или использоваться как параметр в более сложном алгоритме.

Данный алгоритм определяет, что если точка удаляется больше чем на 2 от начала координат, то она лежит снаружи множества Мандельброта. Для того, чтобы определить, что точка лежит внутри множества, есть много способов. Самое простое решение - ограничить количество итераций неким максимумом. Если точка не вышла за указанную границу, можно считать, что она находится внутри множества.

Точкам около границы множества нужно больше итераций для ухода в бесконечность. Поэтому такие области прорисовываются заметно дольше. Чем дальше от границ множества, тем выше скорость ухода в бесконечность. Для таких точек требуется меньше итераций.

Оптимизация

Одним из способов уменьшения объёма вычислений при вычислении общей картины множества может служить проверка, попадает ли точка в область главной кардиоиды . Формула кардиоиды в полярных координатах выглядит следующим образом:

Таким образом, для точки (x , y) {\displaystyle (x,y)} необходимо вычислить

ρ = (x − 1 4) 2 + y 2 , {\displaystyle \rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},} θ = atn 2 ⁡ (y , x − 1 4) , {\displaystyle \theta =\operatorname {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),} ρ c = 1 2 − 1 2 cos ⁡ θ . {\displaystyle \rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .}

Если ρ ⩽ ρ c {\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c}} , то точка (x , y) {\displaystyle (x,y)} попадает внутрь множества и закрашивается чёрным цветом, а итеративные вычисления можно пропустить.

На практике наибольшее уменьшение объёма вычислений даёт трассировка границы: если есть некоторая замкнутая кривая, не пересекающая ось абсцисс, каждая точка которой уходит за предел bail-out за одинаковое число итераций или, наоборот, принадлежит множеству Мандельброта, то любая точка внутри этой кривой будет обладать тем же свойством, и следовательно вся область внутри границы закрашивается одинаковым цветом.

Связь с множеством Жюлиа

Множество Мандельброта изначально было построено как каталог множеств Жюлиа : каждой точке на комплексной плоскости соответствует своё множество Жюлиа. Точки, принадлежащие множеству Мандельброта, соответствуют связным множествам Жюлиа, а точки не принадлежащие - несвязным .

Отсюда понятно, что интересные варианты множества Жюлиа соответствуют точкам, лежащим на границе множества Мандельброта. Точки глубоко внутри образуют простые геометрические фигуры, а внешние выглядят как пыль, окружающая цветные пятна. Некоторые программы, например, Fractint, позволяют пользователю прямо на экране указать точку, для которой необходимо построить соответствующее множество Жюлиа, упрощая поиск красивых изображений.

Множество Мандельброта и само содержит структуры, напоминающие множество Жюлиа: для любого c {\displaystyle c} область множества Мандельброта около c {\displaystyle c} напоминает центр множества Жюлиа с параметром c {\displaystyle c} . Если сильно увеличить множество Мандельброта в граничной точке c и то же самое проделать с множеством Жюлиа для этого же значения c и в этой же точке, то картины будут асимптотически стремиться друг к другу при всё больших увеличениях.

Вариации множества Мандельброта

Зачастую под названием «Множество Мандельброта» понимается только множество, описанное выше. Однако любая функция комплексной переменной имеет соответствующее множество Мандельброта, которое также характеризуется наличием или отсутствием связного множества Жюлиа. Например, можно положить f c (z ) = z 3 + c . Тогда для каждого значения c проверяется связность множества Жюлиа функции f c и при наличии связности считается, что c принадлежит множеству Мандельброта. В описанном случае связность можно проверить тем же способом, что и для f c (z ) = z 2 + c .

Эти утверждения можно обобщить и на множества Жюлиа, определяемые больше, чем двумя числами. Например, множество Жюлиа, определяемое тремя действительными числами, имеет соответствующее трёхмерное множество Мандельброта.

Рассматриваются и многомерные вариации множества Мандельброта. Так, трёхмерный аналог получил название лампочка Мандельброта , хотя классические аналоги на комплексных числах существуют только в размерности, равной степени 2.

Применение множества Мандельброта

Множество Мандельброта находит применение для анализа возникновения турбулентности в физике плазмы и термодинамике, развития бифуркаций и т. д. [ ]

Применение множества Мандельброта в искусстве

Поиск красивых изображений множества Мандельброта - интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра.

Есть большое количество программ для рисования фракталов, но, несмотря на это, многие люди пишут свои программы для большей гибкости при экспериментах. Например, эти анимированные изображения были созданы таким способом.авторитетные источники .
Эта отметка установлена 29 декабря 2012 года .

Douady и Hubbard доказали, что множество Мандельброта является связным , хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части. Связность множества Мандельброта следует из того, что оно является пересечением вложенных связных компактных множеств.

Однако неизвестно, является ли оно локально связным . Эта известная гипотеза в комплексной динамике получила название MLC (англ. Mandelbrot locally connected ). Многие математики прилагают усилия к её доказательству. Jean-Christophe Yoccoz доказал, что гипотеза верна во всех точках с конечной ренормализацией , затем многие другие математики доказывали справедливость гипотезы во многих отдельных точках множества Мандельброта, но общая гипотеза остается недоказанной.

Mitsuhiro Shishikura доказал, что размерность Хаусдорфа границы множества Мандельброта равна 2. Но остается неизвестным ответ на вопрос, имеет ли граница множества Мандельброта положительную меру Лебега на плоскости.

Число итераций для любой точки в построении множества очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. Точнее, предел ln ⁡ (ln ⁡ (| z n |) / 2 n) + const {\displaystyle \ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big)}+{\text{const}}}

Мой пламенный привет всем читателям сайта Webmastermaksim. Сегодня у нас на поверку дня достаточно интересная тема – это Бенуа Мандельброт его фракталы. За все время своей эволюции, человечество совершило ряд достаточно интересных открытий. Например, если судить в рамках человеческой эволюции, то мы относительно недавно научились стабильно добывать электричество, без которого свою жизнь мы уже не смыслим.

Есть и еще одно открытие, которое, с одной стороны не особо заметно, но играет важную роль в нашей жизни – это фракталы. Каждый человек, так или иначе, стремиться познать тот мир, в рамках которого он живет. Пытается он это сделать посредством логического анализа, находя определенные закономерности.

Казалось бы, хаос – в нем нет закономерности, но, как оказалось, это далеко не так. Даже в хаосе можно найти свои закономерности, которые нашел Бенуа Мандельброт, посредством, так называемых, фракталов. Многие из вас слышали такого автора, как Николас Талеб. Его книга “Черный лебедь” как раз посвящена Бенуа Мандельброт, греку среди римлян.

Римляне по своей сути были приспешники порядка, а греки, в свою очередь, верили в бесформенные формации, которые живут по своему порядку, имея определенные закономерности. Именно эти закономерности и удалось найти выдающемуся ученому Бенуа Мандельброту. Благодаря его трудам мы стали немного иначе смотреть на все, что нас окружает в повседневной жизни. Я хочу вас познакомить с данным гением, осветить его жизненный путь и рассказать вам, почему его открытие настолько важно для всех нас.

Биография

Личная жизнь

Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в семье литовских евреев. Мать Бела Лурье была врачом, а отец Карл Мандельброт был галантерейщиком. В 1936 году все семейство переехало на постоянное жительство во Францию. В Париже Бенуа попал под влияние своего дяди, который был основателем местного клуба математиков.

После начала войны все семейство Мандельброт бежало на свободный от немецких оккупантов юг Франции, где Бенуа как раз пошел в школу, но при этом резко потерял любой интерес к обучению. Но, при этом, уже в раннем возрасте у Бенуа были обнаружены незаурядные математические способности, которые впоследствии позволили ему стать учеником Политехнической школы в Париже.

Как оказалось, у Мандельброта было прекрасное пространственное воображение. Даже любые алгебраические задачи он решал с геометрическим уклоном. Оригинальность в принятии решений и позволила ему спустя некоторое время без проблем поступить в университет.

После окончания университета, Бенуа переехал в Америку, где закончил технологический университет в Калифорнии. После возвращения в Париж, в 1952 году он получает докторскую степень. В 1955 году Бенуа женится и переезжает в Женеву.

Вклад в науку

Но уже в 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где начал работать в исследовательском центре IBM, так как на тот период времени данный цент занимался наиболее интересными отраслями для Бенуа. На тот период времени, Бенуа занялся широким спектром различных направлений, среди которых можно было выделить: теорию игр, лингвистику, географию, физиологию и еще много других направлений.

С течением времени, стоит отметить, что Мандельброт углубился и в изучение экономики. Он вдруг задумался о том, что хаотичные на первый взгляд движения цены могут подчиняться определенному скрытому порядку, который не виден сходу. Для того, чтобы больше углубиться в тему, Бенуа решил изучить динамику цен на хлопок более, чем за 100 лет. Колебания цен внутри дня казались вполне себе хаотичными, тем не менее, Мандельброт нашел определенную закономерность, в рамках их изменения. Он проследил симметрию в рамках долгосрочных и краткосрочных колебаниях. По факту, данное открытие оказалось самой настоящей неожиданностью даже для многих экономистов. А для решения этой задачи Бенуа как раз применил тот самый фрактальный метод.

В 1975 году Мандельброт выпустил труд под названием “Длина побережья Великобритании”, по сути дела, это было первое полноценной исследование фрактальной теории. Понятие фрактала ввел сам Бенуа, и он означает, если дословно “сломанный”. Для исследования, Мандельброт взял все компьютеры, которые на тот моменты были доступны ему в IBM и создал некие графические изображения, основанные на базе множества Мандельброта. Как отмечал сам Бенуа, он не чувствовал себя новатором и гением, но, до него никто до этого не додумался ранее.

Смотреть видео-превью к данной статье

Умер Бенуа Мандельброт 14 октября 2010 года в возрасте 85 лет. Как затем сказала его супруга, последние года своей жизни Мандельброт испытывал серьезные проблемы с поджелудочной железой, что, вероятно, и послужило причиной смерти.

Смелость данного выдающегося человека заключалась в том, что он нашел в себе смелость оглядеться по сторонам и понять, что фрактальные структуры повсюду. По сути дела, фракталы тесно связаны с так называемым эффектом бабочки, когда даже мельчайшие события могут иметь огромный резонанс, даже сдвиг маленькой песчинки может спровоцировать обрушение горы. Но если так вдуматься, то от двух маленьких песчинок эффект будет такой же, то есть, появляется нелинейность событий.

Фрактальная модель мира

Вообще, как признался сам Бенуа, идея фрактальной теории у него появилась посредством банального вопроса, а как измерить береговую линию Великобритании. Да, потенциально можно было бы просто взять карту и посчитать. Но при этом Мандельброт понимал, что карта не будет учитывать все неровности рельефа, маленькие бухты и прочее, соответственно, конечные расчеты будут не совсем точными. К точности я стремлюсь и когда рассказываю про входы в сделку, используя .

Что такое образцовый фрактал? Например, это когда веточка ели фактурно повторяет все дерево, это кровеносные сосуды в нашем организме, да даже ветка дорог в мегаполисе – это тоже фрактал. По сути дела, Бенуа сделал открытие того, что было у всех на виду, а, по сути, такие открытия являются наиболее значимыми. Так уж устроен наш мозг, что он склонен все усложнять, да, мы стремимся усложнить все вокруг, а потому искренне удивляемся том, что на первый взгляд сложные вещи оказались и не так-то сложны!

Сами по себе фракталы вернули математике наглядность. Психоделические картинки, которые так были популярные в 60-е года, вдруг резко нашли отражение в 80е года в математике, парадокс, но они начали отражать суть новой математики. Как мы все помним, Эйнштейн опроверг Ньютона, так вот Мандельброт же замахнулся выше, он решил опровергнуть мыслителей Древней Греции. Да, в мире Бенуа, земля уже не имеет круглой формы. Его труд даже начинается со слов: “Облако не шар, гора не конус, а линия не окружность.”

Благодаря Бенуа, неровности, изломы рельефа, трещины и даже резкие обвалы на рынке перестали считаться неким дефектом. Они стали полноценной частью двигающей силы, которая царит в нашей атмосфере.

Суть появления фрактальной теории

Вообще, наибольшее влияние на Мандельброта оказала работа в IBM, суть которой заключалась в ревизии ошибок, которые возникали во время передачи компьютерной информации посредством телефонных кабелей. Бенуа провел ревизию данных ошибок и сделал вывод, что их появление не является хаотичным, они подчиняются определенному кластеру.

При этом было отмечено, что в каждом кластере есть свой кластер, то есть, это своего рода матрешка. Примечательно, что открытие Мандельброта имело и практическую пользу для компании IBM, так как позволило значительно сэкономить на устранении помех в передачах связи. Немного уйти в сторону психологии и поразмышлять про можно по этой ссылке.

Бенуа Мандельброт его фракталы на бирже

Примечательно, что такую же тенденцию Мандельброт смог обнаружить и в рамках колебания цены на бирже. Как я уже говорил, Бенуа проследил динамику изменения цена на хлопок за длительное время. На низком промежутке движения цены реально казались хаотичными, но на более крупных интервалах он нашел некую симметрию. Грубо говоря, он взял ценовую динамику одного конкретного дня и наложил ее на более длительный промежуток времени и нашел взаимосвязь.

Это стало значительным открытие в рамках экономики, и многие экономисты даже сегодня используют теорию Бенуа Мандельброта в своей работе.

В общем, это выдающийся человек, который реально заново открыл глаза человечества на невероятно простые вещи, при этом, его теория стала прекрасно применима в рамках многих сфер нашей деятельности.

Для объяснения рыночных движений используются самые различные математические и геометрические теории. Одной из них является фрактал Мальденброта – понятие, выражающее состояние одновременной упорядоченности и бессистемности. Применение этого явления к ценовым движениям позволяет понять их сущность и вывести некоторые закономерности.

Несмотря на то, что рынок форекс с большой степенью точности можно считать линейной системой, состояние которой зависит от комплекса внешних факторов, которые стремятся быть уравновешенными, часто его поведение не вписывается ни в какие существующие теории. Исправить данную ситуацию попытался математик Б. Мандельброт, который при исследовании экономической информации обнаружил, что изменения цен подчиняются определенному математическому порядку, не описываемому известными геометрическими формулами.

Тщательный анализ подробной реальной ценовой выборки за несколько десятков лет показал, что в краткосрочных периодах движения цен выглядят бессвязно. Но сопоставив их с долгосрочными периодами, он обнаружил между ними высокую степень эквивалентности. Результаты этих исследований и привели к разработке Бенуа Мандельбротом его фракталов.

Фрактал – это что?

В широком математическом смысле фракталом называется множество, которое обладает уникальным свойством самоподобия. Это свойство указывает, что объект, описываемый таким множеством, с высокой степенью точности эквивалентен части самого себя. Поэтому небольшой фрагмент, рассмотренный в укрупненном масштабировании, не выглядит как упрощенная структура, а имеет такое же сложное строение, как более крупные фрагменты и объект в целом.

В отношении к ценовым движениям рынка такие самоподобные структуры в простейшем случае представляют собой прямолинейные отрезки, соединяющие смежные локальные минимумы и максимумы. Эти отрезки характеризуют рост (если правый конец отрезка максимум, а левый – минимум) или падение (если правый конец отрезка минимум, а левый – максимум) цены (рис. 1а).

Из простейших графических элементов, которыми являются отрезки прямых, формируются сложные фигуры (рис. 1б), называющиеся «импульс-коррекция-импульс». При этом такие фигуры, построенные на определенном временном интервале, могут быть разложены на такие же фигуры в другом временном масштабе (рис. 1в). Разнообразие всех сложных графических форм, которые могут образовываться из более простых формаций очень велико и с трудом поддается классификации, что и служит основной трудностью развития теории фрактального анализа.

На ценовых графиках закономерности самоподобия распространяются до самого нижнего уровня ценообразования – тиков. При этом в определенной степени сохраняется полное подобие между графическими фигурами – углами наклона отрезков, соотношениями их длин и т. д.

Важное заключение, которое можно сделать из открытия Мандельброта, заключается в зависимости последующих событий на рынке от предыдущих. При этом возникновение даже сильных импульсных движений может быть предсказано с определенной вероятностью

Индикатор на основе теории фракталов Мандельброта

Тщательно изучив теоретические основы, изложенные в трудах Б. Мандельброта, трейдер Б. Вильямс сумел создать на их основе систему, способную систематизировать ценовые графики, выявляя на них точки, участвующие в формировании простейших фрактальных фигур. Созданный индикатор он назвал «Фрактал», а скачать его можно по этой ссылке .

Функционирование этого технического инструмента заключается в анализе High- и Low-цен в комбинации из последовательных пяти свечей. Если High-, то она определяется как максимум. Соответственно, минимум присваивается свече, у которой Low-цена третьей свечи меньше, чем у остальных четырех свечей.

После установки на ценовой график индикатора «Фрактал» формируется изображение, похожее на рис. 2. Зелеными стрелками, направленными вверх, обозначаются максимумы, а красными стрелками, ориентированными вниз – минимумы. Такие сигналы могут использоваться для построения уровней поддержки и сопротивления, трендовых линий, идентификации флетов и других аналитических задач, ориентированных на прогнозирование ценовых движений в будущем.

Самый очевидный способ использования фрактальных сигналов в торговле следующий:

покупать при образовании стрелки, направленной вниз;
продавать при формировании стрелки, направленной вверх.

Проблема заключается в запаздывании этого сигнала – он появляется лишь через две свечи. Поэтому часто он уже неактуален и вход по нему в рынок приносит убыток.

Лучше всего использовать индикатор «Фракталы Мандельброта» в паре с трендовыми индикаторами (наиболее простой вариант – скользящая средняя) и использовать отложенные ордера:

при восходящем тренде ордер на покупку размещается посередине между предыдущими последовательными минимумом и максимумом (красная линия на рис. 3), а стоп-лосс – ниже предыдущего минимума (зеленая линия на рис. 3);
при нисходящем тренде ордер на продажу устанавливается посередине между предыдущими последовательными максимумом и минимумом, а стоп-лосс – выше предыдущего максимума.

Тейк-профит располагается на расстоянии от уровня входа в 2 раза превышающем расстояние от него до стоп-лосса (синяя линия на рис. 3).

Смотри видео обзор фрактолов Мандельброта

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Число Пи и множество Мандельброта

✪ Множество Мандельброта | Vsauce на русском

✪ Урок 34. C++ Рисуем фрактал Мандельброта

✪ Бенуа Мандельброт: Фракталы и искусство изломанности

✪ Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics

Субтитры

Расширенное определение

Таким образом, вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки c {\displaystyle c} на комплексной плоскости следующим образом:

c = x + i ⋅ y {\displaystyle c=x+i\cdot y} Z 0 = 0 {\displaystyle Z_{0}=0} Z 1 = Z 0 2 + c = x + i y {\displaystyle {\begin{matrix}Z_{1}&=&Z_{0}^{2}+c\\\ &=&x+iy\end{matrix}}} Z 2 = Z 1 2 + c = (x + i y) 2 + x + i y = x 2 + 2 i x y − y 2 + x + i y = x 2 − y 2 + x + (2 x y + y) i {\displaystyle {\begin{matrix}Z_{2}&=&Z_{1}^{2}+c\\\ &=&(x+iy)^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}+2ixy-y^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i\end{matrix}}} Z 3 = Z 2 2 + c = . . . {\displaystyle Z_{3}=Z_{2}^{2}+c=...}

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} , то есть заменив z n {\displaystyle z_{n}} на x n + i ⋅ y n {\displaystyle x_{n}+i\cdot y_{n}} , а c {\displaystyle c} на p + i ⋅ q {\displaystyle p+i\cdot q} , мы получим:

x n + 1 = x n 2 − y n 2 + p {\displaystyle x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+p} y n + 1 = 2 x n y n + q {\displaystyle y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+q}

История множества Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел . Фату изучал рекурсивные процессы вида

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой z 0 {\displaystyle z_{0}} при преобразовании z → z 2 + c {\displaystyle z\to z^{2}+c}

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта - один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Построение множества

Несложно доказать, что как только модуль z n окажется больше 2 (или, в терминах действительной и мнимой частей, x n 2 +y n 2 >4), последовательность станет стремиться к бесконечности. В случае |c |≤2 это можно доказать с помощью метода математической индукции . При |c |>2 точка c заведомо не принадлежит множеству Мандельброта, что также можно вывести методом индукции, используя равенство z 0 =0. (Хотя в этом случае может существовать другое z 0 , для которого соответствующая последовательность ограничена по модулю, но для некоторого n выполняется неравенство |z n |>2.)

Сравнение |z n | с этим числом (в англоязычной литературе его называют «bail-out») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Добавление цвета

Порядок определения, попадает ли точка z 0 внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для z n =x n +y n·i вычисляется значение модуля | z n | = x n 2 + y n 2 {\displaystyle |z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}} , которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не x n 2 + y n 2 > 2 {\displaystyle {\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}>2} , а x n 2 + y n 2 > 4 {\displaystyle x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4} , что значительно снизит время расчётов.

Таким образом, если |z n | 2 ≤ 4 при любом числе итераций (на практике - при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения n , при котором |z n | 2 ≤ 4. Значение n , фактически, обозначает скорость движения z n в бесконечность, и может быть просто индексом в таблице цветов, или использоваться как параметр в более сложном алгоритме.

Данный алгоритм определяет, что если точка удаляется больше чем на 2 от начала координат, то она лежит снаружи множества Мандельброта. Для того, чтобы определить, что точка лежит внутри множества есть много способов. Самое простое решение - ограничить количество итераций неким максимумом. Если точка не вышла за указанную границу, можно считать, что она находится внутри множества.

Оптимизация

Таким образом, для точки необходимо вычислить

ρ = (x − 1 4) 2 + y 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {\left(x-{1 \over 4}\right)^{2}+y^{2}}}} , θ = atn 2 (y , x − 1 4) {\displaystyle \theta ={\hbox{atn}}_{2}\left(y,x-{1 \over 4}\right)} , ρ c = 1 2 − 1 2 cos ⁡ θ {\displaystyle \rho _{c}={1 \over 2}-{1 \over 2}\cos \theta } .

Если ρ ≤ ρ c {\displaystyle \rho \leq \rho _{c}} то точка (x , y) {\displaystyle (x,y)} попадает внутрь множества и закрашивается чёрным цветом, а итеративные вычисления можно пропустить.

Связь с множеством Жюлиа

Вариации множества Мандельброта

Зачастую под названием «Множество Мандельброта» понимается только множество, описанное выше. Однако любая функция комплексной переменной имеет соответствующее множество Мандельброта, которое также характеризуется наличием или отсутствием связного множества Жюлиа. Например, можно положить f c (z )=z 3 +c . Тогда для каждого значения c проверяется связность множества Жюлиа функции f c , и при наличии связности считается, что c принадлежит множеству Мандельброта. В описанном случае связность можно проверить тем же способом, что и для f c (z )=z 2 +c .

Рассматриваются и многомерные вариации множества Мандельброта. Так, трёхмерный аналог получил название лампочка Мандельброта .

Применение множества Мандельброта в искусстве

Координаты центра:
-1.7433419053321,
0.0000907687489,
ширина 0.00000000374

Координаты центра:
-1.88488933694469,
8.1387E-10,
ширина 2.4E-13

Множество Мандельброта

В математике мно́жество Мандельбро́та - этофрактал , определённый как множество точекнакомплексной плоскости , для которых итеративная последовательность

не уходит на бесконечность.

Расширенное определение

Таким образом, вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки на комплексной плоскости следующим образом:

Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости и, т. е. заменивна, ана, мы получим:

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду . Также есть набор кругов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих кругов имеет свой набор меньших кругов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.

История множества Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 годуПьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамикикомплексных чисел . Фату изучалрекурсивные процессы вида

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называетсяорбитой при преобразовании

Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований - своё для каждого значения. В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта - один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Взаимодействие с множеством Жюлиа

Фрагмент множества Мандельброта, лежащий в районе его границы

Множество Мандельброта изначально было построено как каталог множеств Жюлиа : каждой точке на комплексной плоскости соответствует своё множество Жюлиа. Точки, лежащие внутри множества Мандельброта, точно соответствуютсвязным множествам Жюлиа, а точки снаружи -несвязным .

Отсюда понятно, что интересные варианты множества Жюлиа соответствуют точкам, лежащим на границе множества Мандельброта. Точки глубоко внутри образуют простые геометрические фигуры, а внешние выглядят как пыль, окружающая цветные пятна. Некоторые программы, например, Fracint, позволяют пользователю прямо на экране указать точку, для которой необходимо построить соответствующее множество Жюлиа, упрощая поиск красивых изображений.

Множество Мандельброта и само содержит структуры, напоминающие множество Жюлиа: для любого область множества Мандельброта околонапоминает центр множества Жюлиа с параметром.