Решение экономических задач на кредиты
Условие
1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение
Срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты максимальны и составляют 275 тыс. рублей.
Рассчитаем коэффициент повышения. Пусть сумма кредита равна $S$, а процентная ставка составляет $a$%. Тогда в первый день каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент $1+0,01a$,так как $S+\frac{S}{100}\cdot a=\left(1+0,01a \right)S$. По условию $a=1$%, значит, коэффициент равен $1+0,01\cdot 1=1,01$.
Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты.
| Месяц | Долг банку (руб.) | Остаток долга после выплаты (руб.) |
| 0 | 1 100 000 | – |
| 1 | $1 100 000\cdot 1,01 = 1111 000$ | 1111000 – 275000 = 836 000 |
| 2 | $836 000\cdot 1,01 = 844 360$ | 844 360 – 275 000 = 569 360 |
| 3 | $569 3601,01 = 575 053,6$ | 575 053,6 – 275 000 = 300 053,6 |
| 4 | $300 053,6\cdot 1,01 = 303 054,136$ | 303 054,136 – 275 000 = 28 054,136 |
| 5 | $28 054,136\cdot 1,01 = 28 334,67736$ | 28 334,67736 – 28 334,67736 = 0 |
Второй способ
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на 1 100 0000,01 = 11 000 рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1 100 000 + 511 000 = 1 155 000 рублей, что менее чем 5275 000 = 1 375 000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
Задача 1. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:
Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами.
Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на
Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более
1100000 + 5 · 11000 = 1155000 рублей,
что менее, чем
5 · 275000 = 1375000 рублей.
Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.
Ответ: 5.
Задача 2. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а
b = 1 + 0,01а.
S 1 = Sb − X.
S 2 = S 1 b − X = (Sb − X)b − X = Sb 2 − (1 + b)X.
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому
Sb 2 − (1 + b)X = 0,
откуда
При S = 4290000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
Ответ: 2622050.
Задача 3. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение:
Пусть сумма кредита равна S , а годовые составляют а %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
b = 1 + 0,01a.
После первой выплаты сумма долга составит
S 1 = Sb − X.
После второй выплаты сумма долга составит
S 2 = S 1 b − X = (Sb − X)b − X = Sb 2 − (1 + b)X.
После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда
При S = 6902000 и а = 12,5, получаем: b = 1,125 и
Ответ: 2296350.
Задача 4. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6944000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение:
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S 1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
S 2 = S 1 b − X = (Sb − X)b − X = Sb 2 − (1 + b)X.
После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна
По условию задачи с учетом третьей выплаты Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда получаем
При S = 6944000 и а = 12,5, получаем:
b = 1,125
Ответ: 2916000.
Задача 5. 1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тысяч рублей?
Решение:
Сразу можно заметить, что максимально допустимая сумма выплаты (220 тысяч рублей) составляет 1/5 часть всей суммы кредита (но без процентов). Значит, минимальное количество месяцев, на которое Тарас Павлович может взять кредит, будет не менее пяти.
Ежемесячно долг может увеличиваться не более чем на
1100000 · 0,02 = 22000 рублей.
За шесть месяцев максимальная сумма долга с процентами может составить
1100000 + (6 · 22000) = 1232000 рублей.
Если эту сумму разделить на 6 равных платежей, то ежемесячная выплата будет составлять примерно 205,3 тысячи рублей. А это не более чем 220 тысяч рублей.
205,3 < 220
Следовательно, минимальное количество месяцев, на которое Тарас Павлович может взять кредит (с ежемесячной выплатой не более 220 тысяч рублей), составит 6.
Ответ: 6.
Задача 6. 1 января 2015 года Василий Михайлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Василий Михайлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Василий Михайлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 137,5 тыс. рублей?
Решение:
Из условия мы видим, что 137,5 тыс. рублей - это 1/8 часть от общей суммы кредита (1,1 млн рублей), но без учёта процентов. То есть минимальное количество месяцев будет точно больше восьми.
Вычислим максимальный ежемесячный процент, начисляемый банком, в рублях:
1100000 · 0,01 = 11000 рублей.
За 9 месяцев общая сумма кредита с процентами составит:
1100000 + (11000 · 9) = 1199000 рублей.
Разделим её на 9 (месяцев):
1199000: 9 ≈ 133222 рубля.
Получившаяся сумма не превышает 137500 рублей, что удовлетворяет условию задачи. Следовательно, минимальное количество месяцев, на которое Василий Михайлович может взять кредит, - 9.
Ответ: 9.
Задача 7 . 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
–
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000 : 24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).
2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.
1 200 000 0,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + ... +650 000 0,01 =
0,01 (1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + ... + 650 000) =
=
12
0,01=11 100 000
0,01=111 000 (руб.).
3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.
Ответ: 711 000 рублей
Задача 8 .
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?
Решение
Х рублей.
Сумма кредита составляет (24 Х Х ) рублей (без процентов).
2) Пусть Р
Составим и решим уравнение: 933 000 = 12 Х + Р .
Р = (24 Х + 23 Х +...+ 13 Х ) 0,03 = 12 0,03 = 37 Х 0,18 = 6,66 Х ;
933 000 = 12 Х + 6,66 Х ;
933 000 = 18, 66 Х ;
Х = 50 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 50 000 рублей.
3) 50 000 12 = 600 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение второго года (без процентов).
Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев.
(12 Х + 11 Х + ... + Х ) 0,03 = 12 0,03 = 13 Х 0,18 = 2,34 Х ;
2,24 50 000=117 000 (руб.)
4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение второго года.
Ответ: 717 000 рублей
Задача 9. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 798,75 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (24 Х ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х ) рублей (без процентов).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за последние 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 798,75 = 12 Х + Р .
Р = (12 Х +11 Х +...+ Х ) 0,01 = 12 0,01 = (12 Х + Х ) 0,06 = 0,78 Х ;
798 750 = 12 Х + 0,78 Х ; 798 750 = 12,78 Х ; Х = 62 500.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 62 500 рублей.
3) 62 500 12 = 750 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение первого года (без процентов).
Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.
(24 Х + 23 Х + ... +13 Х ) 0,01 = 12 0,01 = 37 6 0,01 Х = 2,22 62 500 = 138 750 (руб.)
4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.
Ответ: 888 750 рублей
Задача 10. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года (месяцев первых 12) кредитования нужно вернуть банку 1399,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей
Сумма кредита составляет (24 Х ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х ) рублей (без %).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 1 399 500 = 12 Х + Р .
Р = (24 Х + 23 Х +...+ 13 Х ) 0,03= 12 0,03=(24 Х + 13 Х ) 0,18 = 6,66 Х ;
1 399 500 = 12 Х + 6,66 Х ;
1 399 500 = 18, 66 Х ;
Х = 75 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 75 000 рублей.
3) 75 000 24 = 1 800 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.
Ответ: 1 800 000 рублей
Задача 11. 15 января планируется взять в кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Сумма кредита составляет (24 Х ) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12 Х ) рублей (без процентов).
2). Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 1 695 000 = 12 Х + Р .
Р = (12 Х + 11 Х +...+ Х ) 0,02 = 12 0,02 = 13 Х 0,12 = 1,56 Х ;
1 695 000= 12 Х + 1,56 Х ;
1 695 000 = 13, 56 Х ;
Х = 125 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 125 000 рублей.
3) 125 000 24 = 3 000 000 (руб.) - сумма планируемого кредита.
Ответ: 3 000 000 рублей
Задача 12. 15 января планируется взять в кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (9 Х ) рублей (без процентов).
2) Пусть р – сумма, которую составляют проценты на пятый месяц кредитования.
Составим и решим уравнение: 44 000 = Х + р .
За пять месяцев сумма кредита составит (5 Х ) руб.
На пятый месяц проценты составят р = 5Х 0,02 = 0,1 Х (руб.).
Тогда 44 000 = Х + 0,1 Х ; 44 000 = 1,1 Х ;
Х = 40 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).
Сумма кредита составляет 40 000 9 = 360 000(руб.)
3) Подсчитаем сумму, которую составляют проценты за весь период:
(9 Х + 8 Х +...+ Х ) 0,02 = 9 0,02 = 10 Х 0,09 = 0,9 Х ;
0,9 40 000 = 36 000(руб.)
4) 360 000 + 36 000 = 396 000(руб.) - сумма, которую нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 396 000 рублей
Задача 13. 15 января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
– a
–
Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если переводить по 3 513 600 рублей, то за 2 года.
Найдите a .
Решение
+ + + = + , 1+0,01 a 0.
20736+ + + = 35136+ ;
+ - -14400 = 0. Пусть 1+0,01 a = х ;
+ - -14400 = 0;
20736(1+х) - 14400х 2 (1+х) = 0;
(1+ х )(20736 - 14400 х 2 ) = 0
Ответ: 20%Использована формула : если вклад на Х рублей полностью расходуется за n ежегодных выплат, равных v 1 ,v 2 ,..., v n , осуществлённых после начисления р % по вкладу, то
Х = + +...+ .
Задача 14 . 15 июля взяли кредит в банке. Условия его возврата были таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит с февраля по июнь каждого года после начисления процентов.
Кредит был погашен двумя равными платежами по 4 548 600 рублей (то есть за два года). Какую сумму банк выдал в кредит?
Решение
Х = + = + = 3 990 000 + 3 500 000 = 7 490 000 (руб.)
– сумма, которую банк выдал в кредит.
Ответ: 7 490 000 рублей
Задача 15. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 6 902 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит в январе каждого года равными суммами после начисления процентов.
Какую сумму нужно возвращать банку ежегодно, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение
Х = + + + ; 6902000 = v ( + + + );
6 902 000 =
v
; 6 902 000 =
v
;
v
=
=350
6 561 = 2 296 350 (руб.) – сумма, которую нужно возвращать банку ежегодно.
Ответ; 2 296 350 рублей
Задача 16 . 15 января 2012 года банк выдал кредит на сумму 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на a % по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Кредит был погашен за два года, и при этом в первый год была переведена сумма в 600 тыс. рублей, а во второй раз – 550 тыс. рублей.
Найдите a.
Решение:
1 000 000 = + ; 20 = + ; 20(1+0,01 a ) 2 – 12(1+0,01 a ) – 11 = 0.
Введём новую переменную: 1+0,01 a = х и решим уравнение 20 х 2 – 12 х – 11 = 0. D = 1024 = 32 2 .
Ответ: 10%Задача17. Цена товара А руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.
Решение: Цена товара после повышения стала А(1+). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1+)(1-) и получим первоначальную цену товара: А(1+)(1-) = А. Откуда получим ответ: 20%
Задача 18. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+) рублей. Сняв четверть данной суммы, получим А(1+). Т еперь на эту сумму начисляют новый процент А(1+) (1+), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.
Задача 19. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+)руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось А(1+). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1+)А(1+)= А(1+)2.Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+) и погасил кредит, т.е А(1+)2 - А(1+)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.
.
Задача 20. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% . Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. К началу 2-года величина вклада составила А (1+)= 1,5А рублей;
К началу 3-года величина вклада составила
(1,5А +х)1,5+х рублей;
К началу 4-года величина вклада составила
((1,5А +х)1,5+х)1,5+х рублей;
К началу 5-года величина вклада составила
(((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х рублей;
К концу 5-года
величина вклада составила((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на
725%
, т.е стал А(1+).
Раскрыв скобки, получим следующее выражение:
()5А+()4х+()3х+()2х+()х=А=А
х=А
Отсюда, подставив вместо А= 3900 тысяч, получим х=210000.
Задача 21. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере, затем, потом и, наконец, в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на. Определите срок хранения вклада.
Решение : Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+ )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ )2 и т.д. Пусть первая ставка продержалась k , вторая - m , третья - n , последняя - t месяцев.
Тогда сумма увеличилась в А(1+ )к (1+ )m (1+ )n (1+ )t раз. И по истечении срока хранения первоначальная сумма стала А (1+)
А(1+)к(1+)m(1+)n(1+)t= Применяя свойства степеней, получим 2 -3.3-1.50.72
приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:
Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1+1+3+2=7 месяцев.
Задача 22. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года - y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
Решение : Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 +) руб.
Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается сумма. В банке меняется процентная ставка и составляет теперь у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется Нас интересует значение х, при котором значение f(x) = будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа.
f/(x )=0 при
или Максимальное значение функция f(x) примет в точке х0 (вершина параболы), то есть в точке =25.
Ответ: 25%.
Задача 23. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?
Решение:
руководство края положило А рублей под 26% в месяц
цена баррели сырой нефти уменьшается на 10% ежемесячно
сумма составит А(1+) руб
Вложенная сумма уменьшится и станет А(1-)руб
А(1+) 2 руб.
станет А(1-)2 руб
Тогда сумма увеличится в =1,96, т.е. на 96%
Ответ: на 96%.
Решение задач экономического содержания № 19
Презентацию подготовила учитель математики МАОУ Лицей № 62города СаратоваВоеводина Ольга Анатольевна
Решение.
Пусть S = 6902000 р., b=1,125 (то есть 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b. Тогда:31.12.2015 год: (Sb – X) –(сумма долга после первой выплаты)31.12.2016 год: (Sb – X)b – X - сумма долга после второй выплаты31.12.2017 год: - сумма долга после третьей выплаты 31.12.2018 год: - последняя сумма выплаты после четвертой выплаты
№ 1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
Ответ: 2 296 350
№ 2.
Решение.
Пусть S – сумма кредита, a – годовой %, b=1+0,01a, Х1=328050 р., Х2=587250 р.Рассчитаем кредит на 4 года:31.12.2015: (Sb – X) 31.12.2016: (Sb – X)b – X 31.12.2017:31.12.2018:
№ 2.
Рассчитаем кредит на 2 года:
31.12.2015: (Sb – X)
31.12.2016: (Sb – X)b – X=0
№ 2.
Так как сумма кредита одна и та же, то приравняем полученные равенства.
Ответ: 12,5%
№ 3. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн.рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга, затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс.рублей.?
Решение:1.01.2015: взял 1,1 млн.руб1.02.2015: 1,1 млн.-275000=725100 руб, после начисления 1% : 725100+7251=732351 руб.1.03.2015: 732351-275000=457351 руб.
после начисления 1% : 457351+4573,51=461924,51 руб.1.04.2015: 461924,51-275000=186924,51 руб.после начисления 1%: 186924,51+1869,2451=188793,7551 руб.1.05.2015: 188793,7551 № 4. Первоначально годовой фонд заработной платы столовой составлял 1500000 рублей. После увеличения числа клиентов, штатное расписание было увеличено на 9 человек, а фонд заработной платы возрос до 5250000 рублей. Средняя годовая заработная плата (относительно всех сотрудников) стала больше на 100 000 рублей. Какова стала средняя заработная плата (относительно всех сотрудников) после увеличения годового фонда?
Решение.
До увеличения числа клиентов:Было: х (сотр), Годовой фонд з/п: 1 500 000 рубСр.год з/п 1 500 000: хПосле увеличения числа клиентов:Стало: (х+9) (сотр)Годовой фонд з/п: 5 250 000 рубСр.год з/п 5 250 000: (х+9)Составим уравнение:
№ 4
Х=22,5 не удовлетворяет условию задачи, следовательно было первоначально 6 сотрудников.Средняя заработная плата после увеличения годового фонда стала:5 250 000: (9+6)=350 000 руб.Ответ: 350 000 руб.
№ 5
Решение.Пусть годовой план: х – 100%В 1 квартале выпустили: 0,2х вертолетов,Во 2 квартале: о,2х *1,5=0,3х вертолетовВ 3 квартале: (102+0,3х):4=25,5+0,075х вертолетовВ 4 квартале по условию 102 вертолета.Составим уравнение:25,5+0,075х+0,2х+0,3х=х0,425х=127,5Х=300300 вертолетов – годовой план, значит в 3 квартале планируется выпустить:(102+0,3*300):4=48 вертолетов.Ответ: 48 вертолетов
«Система банка» - Банк России. Возвратность. Небанковские кредитно-депозитные организации. Срочность. Председатель Банка России. Эмиссионные. Кредитование. Небанковские кредитные организации. Банковские услуги. Небанковские кредитные организации инкассации. Развиваясь, банки всё более расширяли ассортимент своих услуг.
«Эффективность персонала банка» - Стаж работы в Банке. Может рассчитываться как по Банку в целом, так и по отдельным «добывающим» подразделениям. Для российских компаний нормой признается значение 1 – 5% ФОТ. Отношение стоимости дополнительных льгот к расходам на оплату труда, %. Второй показатель, характеризующий производительность труда.
«Банки Китая» - Банки Развития. После того1994 г. банк встал на путь коммерциализации. Общая информация о банковской системе Китая. В октябре 2007 года ICBC открыл дочерний банк на территории России. Комиссия по регулированию банковского сектора (КРБС). Коммерческие банки. По рыночной капитализации банк уверенно занимает 6 место в мире.
«Банки СНГ» - Иностранные банки укрепляют позиции. Так российский ВТБ имеет дочерние структуры в шести странах СНГ. Банки СНГ на пороге перемен. Кризис дал толчок банковским реформам в России, Казахстане, на Украине. Инфляция резко снизилась… Крупнейшие банковские группы СНГ. Не для всех… Рис. 2. Отношение кредитов банков к ВВП в странах СНГ, %.
«Коммерческие банки» - Есть и недепозитные формы привлечения ресурсов. Коммерческие банки: принципы деятельности и функции. Вексель не индоссируется, количество участников минимально - 2. Заемщиками кредита могут выступать физические и юридические лица. Депозиты имеют много разновидностей. Депозитный счет предназначен для хранения в течение определенного срока части средств предприятия.
«Доходы банка» - Банкроство. Рис. 8. Удельный вес процентных доходов за 2008 год, %. Анализ эффективности деятельности «Банк Сосьете Женераль Восток» за 2007-2008 гг., %. Анализ динамики процентных расходов банка за 2008-2009 гг., тыс. руб. Цель и Задачи. Рис. 6. Удельный вес пассивов банка за 2008 год, %. По результатам таблицы можно подвести следующие итоги.
Подготовка к ЕГЭ по математике, 11 класс
Описание материала: Предлагаю вам статью, в которой показаны способы решения экономических задач на кредиты. Описаны два вида кредита: с аннуитетным платежом и дифференцированным платежом. Данный материал будет полезен для учителей математики 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня (задача 17).Аннуитетный и дифференцированный платежи
1. Аннуитетный платеж
– представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.
2. Дифференцированный платеж
– представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.
Способы решения экономических задач на кредиты
Предлагаю рассмотреть решения экономических задач на кредиты доступными для учащихся способами.
Задачи на кредит с аннуитетным платежом
Задача 1.1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:
Ответ: 5 месяцев.
Задача 2.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Дмитрий взял в банке кредит 4 290 000 рублей.
Дмитрий выплатил кредит за два года, поэтому сумма долга в конце второго года равна 0.
Получим уравнение:
Значит сумма платежа равна 2622050р.
Ответ:
2622050 рублей.
Задачи на кредит с дифференцированным платежом
При решении задач на кредиты с дифференцированным платежом начисляемые проценты за весь период кредитования можно вычислить с помощью формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии. И потом найти сумму общего платежа. Считаю, что этот метод будет прост и понятен для учащихся.
Задача 3
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
Какую сумму надо выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение:
2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных «процентов» за 12 месяцев (в млн. р.):
В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии:
Значит за первые 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 666 000 = 1 866 000 р.
Ответ: 1 866 000 рублей.
Задача 4
15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение:
Пусть в банке взяли кредит S рублей. Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
)
Сумма начисленных процентов за 5 месяцев:
Всего банку будет выплачено S + 0,03S = 1,03S. Значит общая сумма выплаченных денег от суммы кредита составляет 103%.
Ответ:
103%.
Задача 5
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных процентов за 12 последних месяцев (в млн):
В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой:
За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за последние 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 р.
Ответ: 1 356 000 рублей.
Задача 6
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
И начисленных процентов к остатку. В каждый месяц долг уменьшается на
За 7 месяцев выплачено
Из этого условия найдём S.
Получим уравнение:
Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 488 000 рублей.
Ответ:
1 488 000 рублей.
Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
Значит за 9 месяцев должны заплатить долг – S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:
Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.
Задача 8
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
И начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на
Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:
За 7 месяцев выплачено
Из этого условия найдём S.
Восьмая выплата состоит из величины ежемесячной выплаты долга
И процентов, начисленных на величину долга после седьмой выплаты:
В (1) подставим (2), получим: 1,08 ∙1 500 000 = 1620000
Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 620 000 рублей.
Ответ: 1 620 000 рублей.
Задача 9
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
И начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на
Значит за 18 месяцев должны заплатить долг – S рублей и сумму ежемесячных процентов, начисленных к остатку:
Значит сумма выплаченных банку денег составляет 119% от суммы долга.
Ответ:
119%.
Задача 10
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
И начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на
За первый год кредитования следует выплатить:
Получим уравнение: 0,5925 S = 177750,
S = 300000
Значит в кредит взяли 300 000 рублей.
Ответ:
300 000 рублей.
Задача 11
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что я сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 39% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен
