Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения. Фрактальная стратегия в трейдинге. Почему фрактальная теория имеет практическую ценность в торговле на Форекс

А так же теории и для рынка Форекс является неоднозначной стратегией ведения торговой деятельности.
Многие трейдеры утверждают, что если разобраться в ее тонкостях, то можно неплохие средства, тогда как абсолютное большинство неопытных пользователей вовсе не стремятся к ее освоению, так как не получают достоверных данных о ее эффективности.

Однако на практике стратегии с использованием фракталов, то есть первого рыночного измерения соответственно теории Вильямса, успешно развиваются, а на их основе начинают разрабатываться новые стратегии, часть которых будет детально описана ниже.

Смотрим видео про фрактальный анализ

Данная торговая система разработана для валютной пары EUR\USD и базируется на двух величинах. Это скользящая средняя и фрактал, поэтому на график -ой версии устанавливаются именно эти индикаторы.

При этом значение Moving Average разумно установить на периоде 135, применяя атрибут Close. Далее стоит рассматривать ситуацию с двух сторон.

Первая – это сделки в рамках валютной пары EUR\USD для совершения покупки, а второй тип – это продажа. При этом тонкость работы стратегии заключается в резкой дифференциации этих процессов, потому если трейдер, использующий данную стратегию, решил покупать, то на другие типы сделок он не должен отвлекаться.

Для совершения сделок на покупку нужно дождаться сигнала фрактала вверху, расположенного выше установленной ранее скользящей средней с заданным периодом 135.

В этот момент нужно поставить отложенный ордер Buy Stop для покупки на уровне фрактала. Далее нужно установить Take-профит на расстоянии в 115 точек. Если же индикатором является программное обеспечение Forex4you или пятизначный брокер Альпари , то к параметру еще добавляется один ноль, а значение Take-профит для них составляет 1150.

После выставления Take-профит размещается Stop-лосс, что целесообразно делать на расстоянии 65 (для метатрейдера 4) и 650 для пятизначных брокеров. Если ордер по каким-либо причинам не активизировался, а на графике появился новый фрактал, то отложенный ордер стоит удалить и ожидать появления новых сигналов выше скользящей средней. После этого устанавливается новый ордер и остальные атрибуты.

Как только при торговле на совершение покупок достигается прибыль в 30\300 пунктов, то ордер целесообразно установить на трейдинг-Stop, так как рынок может перенасытиться очень быстро, а полученная прибыль быстро потеряется.

Для совершения сделок на продажу по данной торговой системе сигнал фрактала будет представлять собой одно его значение, расположенное ниже скользящей средней.

При этом также стоит ориентироваться только на продажу, не принимая участия в других сделках. Как только сигнальный фрактал образовался, устанавливается отложенный ордер Sell Stop для продажи.

Как только это сделано Take-профит выставляется на расстоянии в 120 пунктов (1200 для пятизначных брокеров). Далее Stop-лосс устанавливается на расстоянии в 35 точек от отложенного ордера (для пятизначных брокеров это значение равно 350-ти).

При этом если ордер, как и в предыдущем примере с торгами на покупку, не открылся и не сработал, а открылся новый фрактал, то нужно его удалить и поставить на уровень значения нового фрактала. Остальные атрибуты выставляются таким же образом.

И как только ордер для продажи достигает прибыльности в 80 пунктов (800 для 5-ти значных брокеров), выставляется трейдинг-стоп.

Торговая система MAIN с поиском фракталов.

Многими трейдерами данная торговая система форекс оценивается по достоинству и активно используется. Однако зачастую из-за ее сложности и требования сравнительно большого депозита на изначальный счет, новички не могут начать использовать именно ее, а должны набирать опыт на других, более рискованных торговых стратегиях.

Однако, и эта стратегия не является абсолютным гарантом успешной торговой деятельности, так как под нее необходимо протестировать имеющиеся элементы для анализа.

Потому изначально нужно поработать с тонкостями на , который обезопасит реальный депозит и поможет выбрать правильные инструменты для дифференцировки ситуации на бирже.

В основу данной стратегии положен анализ фракталов и поиск зон трейда для совершения торгов в рамках одной торговой пары.

Суть работы торговой системы сводится к дифференцировке сделок на два типа: первый – это покупка, а второй – продажа. Первый тип сделки совершается после фрактального сигнала Билла Вильмса.

Потому в качестве необходимых инструментов для анализа понадобятся эти самые фракталы и также скользящая средняя. И как только фрактал открывается (значение превышает показатель скользящей средней.

Также эти значения можно узнавать и по своеобразному индикатору Williams’ Percent Range (процентный диапазон Вильямса).

И еще здесь понадобится советник main, которого в большинстве случаев вполне достаточно. При этом сам индикатор способен самостоятельно выставлять ордера на покупку и удалять их, а также задавать значения T\P и S\L.

Однако, профессиональный трейдер никогда не позволит программе решать за себя выгодна сделка или нет, и стоит ли начинать торг.

Также весьма сомнительно и то, каким образом задаются вышеуказанные значения. Потому если возникают сомнения в работе программы, то ее можно использовать как индикатор для выявления зоны в разных валютных операциях в рамках валютной пары. Остальные операции можно совершать самостоятельно.

При этом, есть возможность устанавливать стоп-лосс на разных уровнях, что обеспечит безопасность торгов, так как деньги с депозита не будут теряться на потерянный фрактал и убыточную сделку, значение которой намного ниже, чем в предыдущих барах.

Таким же образом можно поступать и с продажей. На диаграмме нужно подождать регистрации фрактала, после чего на его значение установить отложенный ордер. Если системе запретить устанавливать ордеры и значения T\P и S\L, то их придется устанавливать самостоятельно, как и ограничитель активности стоп-лосс.

Однако если система работает автоматически, ей необходимо задать жесткие значения, чтобы она торговалась только в самых перспективных сделках, а не растрачивала депозит на рискованные продажи.

Торговая система рынка форекс Profitunity

Данная торговая система является самой часто используемой в деятельности для . Также это самый приближенный вариант к чистой задумке Билла Вильмса, который использует все пять измерений рынка.

Потому данная стратегия является, чуть ли не самой запутанной и сложной, а разбираться в ней намного удобнее по книгам Билла.

Тем не менее, ключевыми моментами работы данной торговой сстемы является понятие фрактал, движущая сила, линия баланса.

Остальные два измерения, как показывает практика, фактически не влияют на направление тренда. Также данную стратегию выгодно использовать в рамках валютной пары EUR\USD (Н1), хотя практический опыт использования позволяет сделать заключение о том, что она мультифинансовая.

Как и в предыдущих стратегиях, здесь сигналом выступает фрактал, а также открытие пасти аллигатора перед этим. И расценивать эти значения нужно именно в такой последовательности, иногда стараясь оценить события на рынке ретроградно.

При этом расценивается фрактал здесь наиболее сложным методом – после пяти последовательных баров с максимальным значением, относительно, скользящей средней, (если деятельность ведется на покупку). Если трейдер ориентирован на продажу, то ситуация с открытием фракталов противоположна.

Прочитай статью про основоположника фрактального анализа .

Индикатор Фрактал, это алгоритм, который используют при проведении тех. анализа рыночного состояния в терминалах МТ4 и 5, для обнаружения на графике впадин и вершин. Изначально фрактал представляет собой некую форму, которая делясь на части образует уменьшенные копии всего целого, то есть имеет свойство само подобности.

Эти процессы, очень подробно описаны в трудах Бенуа Мандельброта. Именно он ввел термин «фрактал». Сегодня мы расскажем, что же собой представляет индикатор Фрактал и как пользоваться данным инструментом.

Множество Мандельброта — что это такое и как оно связано с фракталом?

Перед тем, как начать описание индикатора Фрактал, необходимо несколько слов сказать о том, как он собственно появился. Впервые, фракталы были описаны в книге Мандельброта «Фрактальные объекты: это форма, случайность и размерность», написанной автором в 1975 году. Именно в данной книге, впервые был использован термин « », обозначающий математический феномен, демонстрирующий удивительное и непредсказуемое поведение делящейся формы.

Множество Мандельброта, является множеством точек «с» на плоскости с рекуррентным соотношением (zn + 1 = zn 2 + c) задающим ограниченную последовательность. Другими словами, это множество таких точек «с», для которых также существует действительное «R», при котором неравенство (zn

Рассчитывается Множество Мандельброта по формуле:

Именно Множество Мандельброта, по сути один из наиболее известных в мире фракталов, которое известно не только в математике, а используется и во многих других областях науки.

Внутри множества Мандельброта, визуально можно увидеть бесконечное количество простейших фигур, при этом в центре находится самая большая, представляющая собой кардиоиду. Все эти фигуры, касаются кардиоиды и постепенно уменьшаются в размере стремясь к «0». От этих фигур исходят такие же, но еще меньших размеров, так же стремящиеся к «0». Данный процесс, имеет бесконечное продолжение, что и приводит к образованию фрактала.

Мандельброт был не только ученым-исследователем, он еще и работал в сфере экономики, увлекаясь биржевой деятельностью. Именно в данной области он обнаружил интересные и осознал, что произвольное внешнее ценовое колебание может иметь математический порядок, скрытый во времени и не описывающийся стандартными распределительными кривыми.

Проводя исследования данных, касающихся хлопка за период более 100 лет, Мандельброт приходит к удивительному выводу – движение цены в разные временные промежутки циклично, и она движется симметрично, как на коротких графических участках, так и на продолжительных интервалах.

Таким образом, свои фрактальные исследования он начинает применять к цене, и сегодня его методика широко используется для проведения и валютных рынков.

На основе фрактала (множества) Мандельброта, создан замечательный инструмент – индикатор Фрактал, автором которого является всем известный Билл Вильямс. Сегодня индикатор Фрактал входит в базовую комплектацию торговых терминалов МТ4 и 5 и используется в технике торговли, называемой ценовым прорывом.

Где и как применять данную фрактальную теорию?

Начать описание рассматриваемого алгоритма хотим с того, что создатель индикатора Фрактал Билл Вильямс немного упростил теорию Мандельброта так как для понимания простых людей она чрезмерно сложна и понять ее способны не все, даже весьма неглупые. Поэтому, расписывать досконально все математические алгоритмы мы не будем. В итоге у создателя получился индикатор Фрактал, позволяющий обнаруживать на графиках цен в терминалах МТ4 впадины и вершины.

На сегодняшний день, имеется описание двух видов фракталов применяемых на рынке валют:

• восходящий (фрактал вверх)
• и нисходящий (фрактал вниз).

Фрактальная теория: как все устроено на ее основе?

Как пользоваться в торгах на Форекс индикаторами на основе фракталов?

Техническое описание фрактала вверх, рассматривается как серия из последовательно идущих минимум пяти баров, где наивысший максимум находится посередине (3-я позиция), а перед ним и за ним расположены бары с более низким максимумом.

Нисходящий или фрактал вниз, имеет противоположное описание, то есть это серия из 5-ти баров, где средний из них имеет наиболее низкий минимум, а предыдущие два и последующие два бара обладают более высоко расположенными минимумами. На графиках в МТ4, индикатор Фрактал отмечен стрелками (вверх/вниз).

В целом индикатор Фрактал, это универсальный инструмент тех. анализа, поэтому одинаково хорошо используется как в качестве основного алгоритма , так и в качестве вспомогательного. К примеру, в терминалах МТ4 и 5 его можно использовать как определитель горизонтальных уровней. Так фракталы применяются при использовании метода торговли на пробой.

Наличие на графиках фракталов, значительно упрощает обнаружение минимумов и максимумов, через которые .

Фракталы используют для подтверждения тенденции. Так, когда тренд восходящий наблюдается частое обновление всех бычьих фракталов, а при нисходящей тенденции чаще обновятся медвежьи фракталы.

О наличии консолидации (флета), говорит невозможность ценой в очередной раз пробития предыдущего фрактала. Для подтверждения такого сигнала следует дождаться пока не сформируется противоположный фрактал.

Как пользоваться в терминале MT4 индикатором Вильямса – Fractals, разработанным на основе Фрактала Мандельброта?

Итак, описание индикатора мы рассмотрели, для чего его применяют, тоже знаем, теперь давайте узнаем, как пользоваться данным алгоритмом при торговле. Сразу отметим, что настройки индикатора в базовой комплектации МТ4, необходимо оставлять по умолчанию.

Индикатор Фрактал для МТ4 и 5 позволяет торговать любыми валютами даже со средней волатильностью, но при устойчивом тренде.

Рассмотрим, как пользоваться Фракталом который, как правило, всегда применяется трейдерами при использовании рассматриваемого нами алгоритма на примере – на графике D1, выполним анализ по открытию текущего дня.

При наличии фрактала вверх:

• открываем сделки на продажу,
• при нисходящем – на покупку.

Так для покупок, ставим Buy Stop выше (от 2 до 4 пунктов) максимума второй по отношению к фрактальной свечи. Для продаж выставляем Sell Stop ниже (от 2 до 4 пунктов) минимума второй от фрактальной свечи. Как правило, стоп приказы при использовании данного варианта торговли не используются – сделки в конце дня закрывают вручную.

Если же Вы практикуете использование стоп приказов, то ставить их рекомендовано за уровнем фрактальной свечи.

Конечно, на истории все просто и легко, но что же делать с запаздываниями, ведь для идентификации, а также подтверждения формации индикатор Фрактал требует, чтобы произошло закрытие двух свечей. Решение здесь простое – «дробление» временных промежутков.

Здесь трейдеру на помощь приходит нестандартный индикатор Фрактал – «MTF_Fractal ». В процессе настройки данного алгоритма следует задать единственный параметр – таймфрейм.

Сразу необходимо обратить внимание, что временной формат указывается в минутах, то есть для отображения фракталов, к примеру, с Н4 на часовом графике, значение функции следует задать, как «240».

Помощник «m-Candles», для индикатора Вильямса — Фрактал (Fractals)

Помимо этого, для более эффективной торговли с фрактальным индикатором рекомендовано использовать алгоритм «m-Candles», выводящий на графики МТ4 и 5 свечи со старших таймфреймов:

Так используя MTF_Fractal, Вы одновременно сокращаете потери от запаздывания и не распыляете свое внимание, так как вся необходимая информация находится в одном окне.

Индикатор Фрактал в МТ4, разработанный по Фракталу Мандельброта. Описание и настройки

5 Сен 2016 | 16:45 9 029 Опубликовано в

Фракталы – незаменимые помощники Форекс трейдеров. Впервые понятие «фрактал» разработал и внедрил в трейдинг гуру технического анализа Билл Вильямс в своей книге «Торговый хаос». Эта книга увидела свет в 1995 году. Тогда автор впервые описал фракталы в трейдинге на примере анализа фондового рынка.

Индикатор фрактал описание

Фрактал (Fractals) в Форекс трейдинге – это, по сути, локальный максимум или минимум. Он обозначается на графике цены как стрелка, указывающая вверх или вниз.

Фрактал представляет собой формацию из пяти свечей или баров, где третья свеча всегда имеет самый высокий максимум или самый низкий минимум по сравнению с остальными:

Согласно Биллу Вильямсу, для формирования фрактала свечей не обязательно должно быть пять, однако именно комбинация из пяти свечей завоевала наибольшую популярность из-за включения именно этой комбинации в список стандартных индикаторов торгового терминала MetaTrader 4.

Стоит отметить, что интерпретация фракталов от Билла Вильямса не имеет ничего общего с понятием этим же понятием в математике, однако это изобретение гуру технического анализа получило широкое распространение среди Форекс трейдеров.

Главное преимущество фракталов над другими инструментами технического анализа в том, что они отображают не только локальные максимумы и минимумы на графике, но и позволяют идентифицировать важные уровни поддержки и сопротивления для любого торгового инструмента.

Возможен ли Фрактал без перерисовки и запаздывания ? Исходя из принципа построения, фрактал всегда будет запаздывать на 2 и более свечи и ничего с этим не поделать. Перерисовка и запаздывание индикаторов — явление опасное, т.к. на истории индикатор выглядит очень эффективно, а на деле, когда появляется сигнал цена уже значительно отличается от сигнальной.

Практическое использование фракталов

На графике в терминале MetaTrader 4 фракталы выглядят следующим образом:

Каждая стрелка на графике представляет собой фрактал. Поскольку данный индикатор настроен на 5 свечей автоматически, то на экране фракталы появляются достаточно часто. Но при желании можно поискать и скачать себе индикатор, который предоставляет доступ к настройкам. То есть вы сможете указать терминалу, сколько свечей должно быть включено в один фрактал.

Билл Вильямс советовал использовать фракталы в стратегиях, которые базируются на пробое важных ценовых уровней. Движение цены выше или ниже хотя бы на один пункт от уровня предыдущего фрактала, по мнению автора этого индикатора, уже говорит о пробитии этого уровня ценой.

Пробитие уровня предыдущего фрактала называется прорывом покупателей в случае, если цена поднимается выше предыдущего фрактала, направленного вверх. В обратном случае, когда цена опускается ниже предыдущего фрактала, направленного вниз, говорят о прорыве продавцов . Билл Вильямс советовал расценивать прорыв покупателей или продавцов как сигнал к открытию позиции.

Обычно трейдеры выставляют отложенные Stop ордера на несколько пунктов выше или ниже фрактала для открытия позиции в случае пробития этого уровня. В таких случаях Стоп-лосс обычно выставляется на уровне предпоследнего противоположного фрактала. Такая ситуация представлена на графике ниже:

В классической интерпретации, Билл Вильямс советует фильтровать торговые сигналы, подаваемые фракталами, с помощью индикатора «Аллигатор». Так, для открытия позиции на покупку, необходимо, чтобы был пробит фрактал, находящийся выше красной линии (так называемые «Зубы аллигатора»). Автор стратегии советовал входить в рынок сразу после пробития фрактала вверх или же с помощью отложенного ордера BuyStop. Вход в рынок на продажу происходит в случае пробития фрактала, находящегося ниже красной линии.

«Аллигатор» как дополнение к фракталам

Билл Вильямс применял фракталы вместе с его другим изобретением – индикатором «Аллигатор» на американском фондовом рынке, однако такой подход применим не только к фондовому рынку, но и к Форекс.

На валютном рынке можно использовать еще одно отличное свойство фракталов, а именно – построение сетки Фибоначчи с помощью них. Как известно, сетка Фибоначчи растягивается между локальными минимумом и максимумом. Именно для этого трейдеры могут использовать фракталы. Таким образом, участок между двумя фракталами можно считать ценовым движением, к которому уже можно применять методику коррекций и расширений Фибоначчи.

По мнению автора, фракталы являются одними из немногих инструментов технического анализа, которые действительно работают. Именно торговые стратегии с использованием фракталов могут показывать положительные результаты на протяжение длительного периода времени (500 сделок и выше).

Но необходимо понимать, что успешная торговая система не может быть построена только лишь на одном индикаторе. Необходимо использовать еще 1-2 инструмента для повышения эффективности.

Так, например, трейдер может использовать фракталы для определения уровней входа в рынок, а «Аллигатор» использовать в качестве фильтра, чтобы не открывать позиции на пробой уровня во время отсутствия тренда на рынке (флэта).

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .

⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

⇡ Фрактальные измерения: умом не понять

Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.

Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина

Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.

Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

⇡ Фрактал в браузере

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

⇡ XaoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.

Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.

⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.

А еще этот фрактал можно съесть

Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».

Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.

Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.

Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.

⇡ Aural: как поют фракталы

Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, и .

Фракталы: музыкальная пауза

Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.

У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.

⇡ Заключение

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.