Главная Журналы Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов. Определение наращенной суммы постоянных Наращенная сумма вычисляется по формуле

Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов. Определение наращенной суммы постоянных Наращенная сумма вычисляется по формуле

Ссуды с начисленными на нее процентами.

Экономика и право: словарь-справочник. - М.: Вуз и школа . Л. П. Кураков, В. Л. Кураков, А. Л. Кураков . 2004 .

Смотреть что такое "НАРАЩЕННАЯ СУММА ССУДЫ" в других словарях:

Процентная ставка (англ. interest rate) это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год). С позиции теории денег, процентная… … Википедия

КРЕДИТ С ФИКСИРОВАННОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКОЙ - (англ. credit with fixed interest rate) – вид кредита с постоянной процентной ставкой. Обычно имеет более высокую первоначальную процентную ставку для защиты кредитора в случае роста стоимости кредита. Как правило, чем меньше абс. размер кредита … Финансово-кредитный энциклопедический словарь

ВАРИАНТ 9

РЕШЕНИЕ.

n - срок ссуды.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

FV=2000+300=2300 руб.

РЕШЕНИЕ.

Множитель наращения: .

РЕШЕНИЕ.

S = P (1 + n∙i),

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

РЕШЕНИЕ.

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

РЕШЕНИЕ.

РЕШЕНИЕ .

Ответ: 2109 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем дисконтированный множитель:

Рассчитаем дисконт по точным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000*1/(1+0,3)*120/365=50580руб.

Рассчитаем дисконт по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:

D=200000-200000*(1+0,3*120/365)= 19726 руб.

Ответ: 50580 руб., 19726 руб.

Задача 3.2.2. Определить сумму, которую необходимо положить в банк, чтобы при начислении на нее процентов по сложной процентной ставке – 30% годовых, получить через 3 года наращенную сумму в размере 200000 р., а также сумму дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

где d c - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

Р=200000*(1-0,3) 3 =68600 руб.

D=200000-68600=131400 руб.

Ответ: 131400 руб.

Задача 3.2.3. Вексель выдан на 200000 р. с уплатой 20.09. Владелец векселя учел его в банке 120 дней по учетной процентной ставке – 30 %. Определить сумму, которую получит держатель векселя, если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды, а также суммы дисконта.

РЕШЕНИЕ.

Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.

Определим сумму, которую получит держатель векселя по формулам:

Где P-

d- простаяучетная ставка;

t -

Т- количество дней в году.

а) если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/365*0,3)=221884 руб.

Сумма дисконта:

D=221884-200000=21884 руб.

б) если проценты начисляются обыкновенные с приближенным числом дней ссуды:

F=200000/(1-120/360*0,3)= 222222 руб.

Сумма дисконта:

D=222222-200000=22222 руб.

Ответ: 221884 руб., 21884 руб., 222222руб.,22222 руб.

Задача 3.2.4. Предприятие предоставило покупателю отсрочку платежа сроком на 3 года и учло платежное обязательство на сумму 200000 р. в банке по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую получит на руки держатель платежного обязательства.

РЕШЕНИЕ.

Рассчитаем сумму, которую получит держатель платежного обязательства по формуле:

Где P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n- количество периодов продолжительности финансовой операции;

d- простаяучетная ставка;

t - продолжительность финансовой операции в днях;

Т- количество дней в году.

Р=200000*(1-0,3*3*365/365)=20000 руб.

Ответ: 20000 руб.

РЕШЕНИЕ.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

Где S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;

t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;

K – количество дней в календарном году (365 или 366);

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Рассчитаем количество дней начисления процентов:

50000=2000+(2000*0,3t)

Ответ:80 дней.

Задача 3.3.2. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Формула для расчета наращенной суммы вклада по методу простых процентов имеет вид:

К н =К о *(1+р*n),

Где К н -наращенная сумма по вкладу;

К о -первоначальная сумма вклада;

р-проценты по вкладу;

n- количество лет начисления процентов.

Рассчитаем количество лет начисления процентов:

50000=2000*(1+0,3*n)

Ответ: 80 дней

Задача 3.3.3. Первоначальная сумма в размере 2000 р. будет вложена на депозитный счет под 30 % годовых. Определить через какой срок наращенная стоимость этой первоначальной суммы составит 50000 р.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма рассчитывается используя формулу:

где Р – сумма вклада;

i – процентная ставка;

d – количество дней.

Рассчитаем срок вклада:

50000=2000*0,3*d

Ответ: 83 дня.

Задача 3.3.4. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ.

Определим доход:

I= 50000 – 2000=48000руб.

S - наращенный капитал

P - первоначальный капитал

Теперь определим срок вклада:

d=100*48000/(30*2000)=80 дней

Ответ: 80 дней.

3.4. Определение наращенной и дисконтированной стоимости финансовой ренты (аннуитета).

Задача 3.4.1. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в конце каждого года платеж в размере 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4 года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

Расчет наращенной суммы выполним по формуле:

F = P*(1 + n * d)

F =2000*(1+0,3*4*365/365) =4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.4.2. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в начале каждого года 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

i – годовая процентная ставка;

S = 2000* (1 + 0,3 * 3*365/365) = 3800 руб.

Ответ: 3800 руб.

Задача 3.4.3.Страховая компания заключает договор с предприятием на 4 года. Страховые взносы предприятия в размере 2000 р. страховая компания помещает в банк под 30% годовых с полугодовой капитализацией. Определить сумму, которую получит страховая компания.

РЕШЕНИЕ.

Вычисления произведем по следующей формуле:

где S – наращенная стоимость кредита;

P – настоящая стоимость кредита;

i – годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов в годах.

S = 2000* (1 + 0,3 * 0,5*4*365/365) = 3200 руб.

Ответ: 3200 руб.

Задача 3.4.4. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в конце каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

S = P*
,

где

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 3)= 5831 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=5831-2000=3831 руб.

Ответ: 3831 руб.

Задача 3.4.5. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в начале каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.

РЕШЕНИЕ.

Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:

S = P*
,

где
- коэффициент наращения при вычислении сложных процентов;

d – учетная ставка сложных процентов;

n – число лет.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*(1/(1-0,3) 2)= 4082 руб.

Дисконтированная сумма равна:

D=4082-2000=2082 руб.

Ответ: 2082 руб.

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Предположим, что создание погасительного фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по ставке g. При начислении на величину долга простых процентов срочная уплата будет равна:

где -срочная уплата в период t;

D- величина долга.

При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле:

где - процентный платеж, исчисленный по сложным процентам.

Величину для расчетного периода вычисляют по формуле:

g - процентная ставка, начисляемая на основной долг.

Подставив значение получим:

200000=(1+0,26) 2 *0,26/R

200000=1,58*0,26/R

0,26/R=126582 руб.

Ответ: 32911 руб.

Задача 3.5.6. Определить размер ежегодного платежа, вносимого в начале года в течение трех лет, для формирования страхового фонда в размере 200000 р., если размер сложной процентной ставки – 30 %.

РЕШЕНИЕ.

200000=(1+0,3) 3 *0,3/R

200000=2,197*0,3/R

R=131820 руб.

Ответ: 131820 руб.

Задача 3.5.7. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в конце года.

РЕШЕНИЕ.

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 4)=924 руб.

Ответ: 924 руб.

Задача 3.5.8. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в начале года.

РЕШЕНИЕ.

Размер ежегодных погасительных платежей:

R=Ai/(1-1/(1+i) n)

R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 3)=1101 руб.

Ответ: 1101 руб.

Задача 3.5.9. Предприятие ежегодно в конце года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*n)

Ответ: 38 дней.

Задача 3.5.10 Предприятие ежегодно в начале года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Ссудная процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.

РЕШЕНИЕ.

1000000=20000*(1+0,3*(n-1))

Ответ: 37дней.

Задача 3.5.11. Предприятие планирует взять кредит в размере 1000000 р. под годовую процентную ставку равную 30 %. Ежегодный платеж в конце года составит 20000 р. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой будет возвращена вся сумма кредита.

РЕШЕНИЕ.

Поскольку проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо- это обычная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

FVA=R*((1+i*n)-1)/i

1000000=20000*((1+0,3*n)-1)/0,3

Ответ: 50 дней.

ВАРИАНТ 9

Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов.

Задача 3.1.1. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма в размере 2000 р. была помещена на депозитный счет на период 0,5 лет под 30 % годовых. Наращение осуществляется по простой ссудной процентной ставке.

РЕШЕНИЕ.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:

I - проценты за весь срок ссуды;

РV - первоначальная сумма долга;

FV - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку.

Соответственно каждый год приносит проценты в сумме: Pv×i.

Начисленные за весь срок проценты составят: I = PV×ni.

I = 2000*0,5*0,3=300 руб.

Наращенная сумма, таким образом, находится по формуле:

FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).

FV=2000+300=2300 руб.

Ответ: Наращенная сумма составляет 2300 руб.

Задача 3.1.2. Определить наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя, если ссуда выдается на 0,5 лет в размере 2000 р. Наращение осуществляется по простым процентам по учетной ставке ‒ 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга:

Множитель наращения: .

S=2000*1/(1-0,5*0,3)= 2353 руб.

Ответ: Наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя равна 2353 руб.

Задача 3.1.3. Кредит в размере 2000 р. выдан с 22.03 по 14.11. включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

В нашем случае для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S:

S = P (1 + n∙i),

где 1 + n∙i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest).

В нашем случае срок финансового соглашения n измеряется не в годах, а в днях t, то в (1) в качестве n следует взять, где K - так называемая временная база, т.е. число дней в году, K =360,365(366).

Если временная база K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле используют обыкновенные, или коммерческие проценты.

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант
(K = 365(366)) дает самые точные результаты.

S = 2000*(1+0,3*238/365) =2391 руб.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (K = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод.

S = 2000*(1+0,3*238/360) = 2397 руб.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 2000*(1+0,3*235/360) =2392 руб.

Ответ: 2391 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.4. Кредит в размере 2000 р. выдан 22.03 по 14.11 включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

При расчете обычно полагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360 дней, проценты называются обыкновенными. В этом случае формула примет вид:

При использовании действительной продолжительности года 365(366) получают точные проценты и в этом случае формула примет вид:

а) Точные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/365*0,3)= 2391 руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

S=2000*(1+238/360*0,3)=2397 руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S=2000*(1+235/360*0,3)=2392 руб.

Ответ: 23945 руб., 2397 руб., 2393 руб.

Задача 3.1.5. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму по сложным процентам через 4 года.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма после 4 лет:

S = 2000*(1 + 0,3) 4 = 5712 руб.

Ответ: Наращенная сумма по сложным процентам составит 5712 руб.

Задача 3.1.6. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была выдана в долг на 4 года. Определить наращенную сумму, которая должна быть возвращена через 4. года, если начисление процентов осуществляет по учетной ставке 30 % годовых.

РЕШЕНИЕ.

Наращенная сумма, которая должна быть возвращена через 4 года:

S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.

Ответ: 4400 руб.

Задача 3.1.7. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена на депозитный вклад 1 апреля на квартал под 30% годовых. Согласно условиям контракта предусмотрено ежедневное начисление простых процентов. Определить наращенную сумму, используя начисление точных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

РЕШЕНИЕ.

Простые проценты считаются по такой формуле:

а) расчет наращенной суммы по точным процентам с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/365)=2148 руб.

б) Расчет обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*90/360)=2150 руб.

в) расчет обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды:

В=2000*(1+0,3*80/360)=2133 руб.

Ответ: 2148 руб., 2150 руб., 2133 руб.

Задача 3.1.8. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Согласно контракту предусмотрено ежедневное начисление сложных процентов. Определить наращенную сумму через 4 года.

РЕШЕНИЕ .

Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:

Для вкладов со сложным процентом важной часть является периодичность начисления процентов.

В=2000*(1+0,3/90) 16 =2109 руб.

Ответ: 2109 руб.

Задача 3.1.9. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый квартал ‒ 30 % годовых; в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,4%. Определить наращенную сумму, если контракт подписан на одни год, а первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,4*0,34 + 0,4*0,38 + 0,4*0,42 = 1,756 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,756 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,756=3512 руб.

Ответ: 3512 руб.

Задача 3.1.10. Контракт подписан на 4 года и предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: 1 год ‒ 30 % годовых; в каждом последующем полугодии процентная ставка увеличивается на 0,05%. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составляет 2000 р.

РЕШЕНИЕ.

При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:

Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:

1 + 1*0,3 + 0,5*0,35 + 0,5*0,4 + 0,5*0,45 =1,9 раз

Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,9 раза больше первоначальной.

Рассчитаем наращенную сумму:

S=2000*1,9=3800 руб.

Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

где У - наращенная сумма, руб.;

Р - первоначальная сумма, руб.; q - множитель наращения.

Простых и сложных процентов будет различен.

Множитель наращения при начислении простых

q = (l + nxi),

а наращенная сумма - по формуле

Р(1 + п х /),

где п - срок наращения, период;

/" - процентная ставка.

Если ставка процентов годовая, а проценты уплачиваются в течение года, то необходимо определить, какая часть годовых процентов уплачивается кредитору за период. Для этого срок наращения рассчитывают по формуле

где? - число дней, по истечении которых начисляются и выплачиваются проценты;

К - количество дней в году.

Пример. Кредит в размере 1 млн руб. выдан 20 января до 5 октября включительно (на 258 дней) под 18% годовых. Проценты простые. В этом случае наращенная сумма составит

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения

Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:

В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.

Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:

Рх(1 + «хг).

Из этого уравнения получаем

Срок в днях будет рассчитан по формуле

Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).

Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем

Пример. В договоре займа предусматривается погашение обязательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем

Множитель наращения при начислении сложных процентов рассчитывается по формуле

Я = 0 + 0",

а наращенная сумма - по формуле Проценты (У) будут равны:

В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

где - значение ставки за период щ.

Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность. Если срок наращения меньше года, то

если срок наращения больше года, то

(1 + т)

Графически такая ситуация показана на рис. 4.1.

Рис.

Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:

где } - номинальная годовая ставка;

т - число периодов начисления процентов в году.

Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.

При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем

Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:

Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям

Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем

Если необходимо определить срок займа, при котором первоначальная сумма увеличивается в N раз, то формула расчета выводится:

для сложных процентов - из выражения (1 + /)" = N :

для простых процентов - из выражения (1 + их*) = ЛГ:

Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем

Рассмотрим Сложный процент (Compound Interest) – начисление процентов как на основную сумму долга, так и на начисленные ранее проценты.

Немного теории

Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.

Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по и сложным процентам.

При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».

В файле примера приведен график для сравнения наращенной суммы с использованием простых и сложных процентов.

В этой статье рассмотрим начисление по сложным процентам в случае постоянной ставки. О переменной ставке в случае сложных процентов .

Начисление процентов 1 раз в год

Пусть первоначальная сумма вклада равна Р, тогда через один год сумма вклада с присоединенными процентами составит =Р*(1+i), через 2 года =P*(1+i)*(1+i)=P*(1+i)^2, через n лет – P*(1+i)^n. Таким образом, получим формулу наращения для сложных процентов:
S = Р*(1+i)^n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,
(1+ i)^n - множитель наращения.

В рассмотренном выше случае капитализация производится 1 раз в год.
При капитализации m раз в год формула наращения для сложных процентов выглядит так:
S = Р*(1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год (m=1), полугодие (m=2), квартал (m=4), месяц (m=12)).

В MS EXCEL вычислить наращенную сумму к концу срока вклада по сложным процентам можно разными способами.

Рассмотрим задачу : Пусть первоначальная сумма вклада равна 20т.р., годовая ставка = 15%, срок вклада 12 мес. Капитализация производится ежемесячно в конце периода.

Способ 1. Вычисление с помощью таблицы с формулами
Это самый трудоемкий способ, но зато самый наглядный. Он заключается в том, чтобы последовательно вычислить величину вклада на конец каждого периода.
В файле примера это реализовано на листе Постоянная ставка .

За первый период будут начислены проценты в сумме =20000*(15%/12) , т.к. капитализация производится ежемесячно, а в году, как известно, 12 мес.
При начислении процентов за второй период, в качестве базы, на которую начисляются %, необходимо брать не начальную сумму вклада, а сумму вклада в конце первого периода (или начале второго). И так далее все 12 периодов.

Способ 2. Вычисление с помощью формулы Наращенных процентов
Подставим в формулу наращенной суммы S = Р*(1+i)^n значения из задачи.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Необходимо помнить, что в качестве процентной ставки нужно указывать ставку за период (период капитализации).
Другой вариант записи формулы – через функцию СТЕПЕНЬ()
=20000*СТЕПЕНЬ(1+15%/12; 12)

Способ 3. Вычисление с помощью функции БС().
Функция БС() позволяет определить инвестиции при условии периодических равных платежей и постоянной процентной ставки, т.е. она предназначена прежде всего для расчетов в случае . Однако, опустив 3-й параметр (ПЛТ=0), можно ее использовать и для расчета сложных процентов.
=-БС(15%/12;12;;20000)

Или так =-БС(15%/12;12;0;20000;0)

Примечание . В случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов БЗРАСПИС() .

Определяем сумму начисленных процентов

Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. на 5 лет с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Определить сумму начисленных процентов.

Сумма начисленных процентов I равна разности между величиной наращенной суммы S и начальной суммой Р. Используя формулу для определения наращенной суммы S = Р*(1+i)^n, получим:
I = S – P= Р*(1+i)^n – Р=P*((1+i)^n –1)=150000*((1+12%)^5-1)
Результат: 114 351,25р.
Для сравнения: начисление по простой ставке даст результат 90 000р. (см. файл примера ).

Определяем Срок долга

Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит некую сумму с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Через какой срок сумма вклада удвоится?
Логарифмируя обе части уравнения S = Р*(1+i)^n, решим его относительно неизвестного параметра n.

В файле примера приведено решение, ответ 6,12 лет.

Вычисляем ставку сложных процентов

Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. с ежегодным начислением сложных процентов. При какой годовой ставке сумма вклада удвоится через 5 лет?

В файле примера приведено решение, ответ 14,87%.

Примечание . Об эффективной ставке процентов .

Учет (дисконтирование) по сложным процентам

Дисконтирование основывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход.
Рассмотрим 2 вида учета: математический и банковский.

Математический учет . В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам, т.е. вычисления производятся по формуле Р=S/(1+i)^n
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.

Пример . Через 7 лет страхователю будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить современную стоимость суммы при условии, что применяется ставка сложных процентов в 15% годовых.
Другими словами, известно:
n = 7 лет,
S = 2 000 000 руб.,
i = 15% .

Решение. P = 2000000/(1+15%)^7
Значение текущей стоимости будет меньше, т.к. открыв сегодня вклад на сумму Р с ежегодной капитализацией по ставке 15% мы получим через 7 лет сумму 2 млн. руб.

Тот же результат можно получить с помощью формулы =ПС(15%;7;;-2000000;1)
Функция ПС() возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции и .

Банковский учет . В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S*(1- dсл)^n
где dcл - сложная годовая учетная ставка.

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Сравнив формулу наращения для сложных процентов S = Р*(1+i)^n и формулу дисконтирования по сложной учетной ставке Р = S*(1- dсл)^n придем к выводу, что заменив знак у ставки на противоположный, мы можем для расчета дисконтированной величины использовать все три способа вычисления наращения по сложным процентам, рассмотренные в разделе статьи Начисление процентов несколько раз в год .

Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:

Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:

Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:

Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).

Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем

В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.

Если срок наращения меньше года, то

Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и

Графически такая ситуация показана на рис.

т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:

Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:

Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем

Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:

Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям

Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем

Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем

Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:

Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"