Формула расчета процентов по кредиту. Простые и сложные проценты. Формула простых и сложных процентов по кредиту

2.5. Способы начисления процентов

Существуют два способа определения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов: проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется, исходя из величины начального капитала.

Антисипативный способ начисления процентов (предварительный) : проценты начисляются в начале каждого интервала начисления . Сумма процентных денег определяется, исходя из наращенной суммы.

2.6. Основные схемы начисления процентов

А. В зависимости от базы начисления процентов , известны две основные схемы дискретного начисления процентов: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов (simple interest ) предполагает постоянную базу для начисления процентов - одну и ту же первоначальную денежную сумму в течение всего периода начисления.

Инвестированный капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Схема сложных процентов (compound interest ) предполагает переменную базу для начисления процентов. Очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные за предыдущие интервалы и не востребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Сложные проценты иначе называют "проценты на проценты ".

Б. Процентные ставки в зависимости от постоянства значения в течение действия контрактамогут быть фиксированными и плавающими .

В. В зависимости от постоянства интервала времени начисления процентов (год, полугодие, квартал и т.п.) проценты могут быть дискретными и непрерывными ( за бесконечно малые промежутки времени).

3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ

Обозначения :

Величина первоначальной денежной суммы - долга, инвестиции,

Наращенная сумма в конце срока,

% - простая годовая ставка ссудного процента (ставка наращения),

Проценты за весь срок ссуды (ден. ед.),

Продолжительность периода начисления в годах (срок ссуды),

Число месяцев ссуды,

Число дней ссуды,

Сумма процентных денег, выплачиваемых за год,

Временнáя база для расчета процентов.

Схема простых процентов :

1) начисление процентов в конце интервала начисления (декурсивный способ начисления процентов);

2) простые процентные ставки применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, поэтому база для начисления процентов постоянная ;

3) простые ссудные проценты применяются в краткосрочных финансовых операциях (до года).

По схеме простых процентов за каждый год начисляется одинаковая сумма процентных денег .

В конце первого года наращенная сумма равна

в конце второго года –

в конце -ого года сумма составит

Таким образом, приращение капитала (проценты за весь срок ссуды лет) составляют

и, как видно, пропорционально сроку ссуды и ставке процента .

Наращенная сумма к концу срока составит

. (2)

Капитализация процентов выражается формулой

Процентная ставка (в процентах) есть отношение суммы годовых процентных денег к первоначальной сумме:

. (4)

Заметим, что последовательность наращенных сумм, ... , образует арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Множитель наращения простых процентов равен отношению наращенной суммы к первоначальной сумме:

(5)

Он показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Другими словами, величина характеризует будущую стоимость одной денежной единицы через лет при ставке процента.

1 2 . . . .

Рис. 1 - График функции наращенной суммы по простым процентам

Пример 4. Ссуда в размере рублей выдана на три года по простой ставке процентов годовых.

Найти сумму процентных денег, выплачиваемых за каждый год.

Записать последовательность сумм, начисленных к концу первого, второго, третьего года.

Найти наращенную сумму за три года.

Каковы проценты за весь срок ссуды?

Найти множитель наращения за три года.

Решение

По условию задачи, =1000, =0,2, =3.

1. За каждый год выплачивается сумма процентных денег

2. В конце первого года наращенная сумма будет равна

в конце второго года –

в конце третьего года - сумма

3. Величину наращенной суммы за три года вычислим по формуле (2):

4. Проценты за весь срок ссуды найдем по формуле (1):

5. Множитель наращения по простым процентам равен

Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма долга 1000 руб. к концу срока ссуды.

Наращение простыми процентами ежегодно по ставке годовых дает тот же результат, что и наращение простыми процентами по ставке за период длительностью (лет).

4. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ДЛЯ КРАТКОСРОЧНЫХ ССУД

Если банк начисляет в год , то за один месяц – , а за месяцев ссуды – . Наращенная сумма по простым процентам за месяцев составит

. (6)

Если банк начисляет в год , то за один день - (число дней в году или). Тогда за дней ссуды наращенная сумма составит

(7)

Определяя продолжительность финансовой операции в днях, принято день выдачи и день погашения суды считать за один день. Для определения в таблице порядковых номеров дней в году (Приложение, Таблица 1) из порядкового номера дня окончания займа вычитается номер первого дня.

Для нахождения начислений на вклад за лет, месяцев и дней можно вычислять проценты отдельно за лет, месяцев и дней, а затем просуммировать полученные результаты:

На практике используется три способа подсчета . При этом употребляются термины:

Точный процент - точное число дней в году (или 366) дней;

Обыкновенный процент – приближенное число дней в году дней;

Точное число дней для начисления процентов (количество дней минус 1, так как первый и последний день считаются за один день);

Приближенное число дней для начисления процентов (считается, что в каждом месяце по 30 дней, затем вычитается 1 день).

1 способ. Точный процент с точным числом дней ссуды (США, Великобритания). За временнýю базу берется точное число дней в году (или) и точное число дней ссуды .

2 способ. Обыкновенный процент с точным числом дней ссуды (Франция, Бельгия). Временнáя база равна приближенному числу дней в году дней, - точному числу дней ссуды .

3 способ. Обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды - коммерческий процент (Германия, Дания, Швеция). Временнáя база дней, равно приближенному числу дней ссуды (при допущении, что продолжительность любого месяца равна 30 дней.

Временная база	Число дней ссуды
	Точное число дней	Приближенное число дней
(или 366) дней	Точный процент
	Обыкновенный процент	Коммерческий процент

Пример 5.

Кредит в размере тыс. руб. выдан марта по июня под % годовых. Найти наращенную сумму при расчете процентов по способу:

точный процент с точным числом дней ссуды,

обыкновенный процент с точным числом дней ссуды;

обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды.

Решение

По условию, =500000 руб., = 0,6.

1) При английской практике (точный процент с точным числом дней):

точное количество дней для начисления процентов составит:

= (количество дней кредита в марте) + (в апреле) + (в мае) + + (в июне) - (день первый и день последний считаются за один день) = дней.

Количество дней можно найти и другим способом. В таблице «Порядковые номера дней года» (см. Приложение) дата 25 марта имеет номер 84, а 12 июня – номер 163, тогда.

Временная база для начисления процентов = 365 дней.

Наращенную сумму вычислим по формуле точного простого процента: руб.

2) При французской практике количество дней для начисления процентов составит дней, как и при английской практике. База для начисления процентов = дней. Значит, наращенная сумма при обыкновенном простом проценте равна руб.

3) При германской практике количество дней для начисления процентов составит: = (количество дней кредита в марте) + (в апреле и мае считается по 30 дней) + (в июне) - (день первый и последний считаются за один день) = дней. База для начисления процентов = = дней. Значит, наращенная сумма составит (коммерческий процент)

5. ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

Если в интервалах продолжительностью, ... , установлены различные ставки начисления простых процентов, ... , (переменные ставки ), то за весь срок договора наращенная сумма равна:

(11)

Формулой (11) можно пользоваться и в тех случаях, когда интервалы выражены в различных единицах времени. Необходимо помнить, что размерность каждого интервала должна быть согласована с размерностью процентной ставки : если выражен в годах, то - годовая процентная ставка, если выражен в месяцах, то - процентная ставка за один месяц и т.д.

Пример 6. Вклад на сумму тыс. руб. был положен в банк на условиях: в первый год простая процентная ставка равна годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на. Найти наращенную сумму за два года.

Решение

Введем обозначения: , (год), (лет), (лет), . Наращенная сумма за два года составит:

Контрольные вопросы

Какие задачи ставит и решает финансовая математика?

Что означает принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени?

Как учитывается время в финансовых расчетах?

Что представляют собой операции наращения, дисконтирования и приведения?

Проценты, дискретные и непрерывные проценты.

Период и способы начисления процентов.

Капитализация процентов.

Процентная ставка, наращение, годовая процентная ставка.

Какие методы начисления простых процентов вы знаете?

Формулы наращения по простым процентам.

Различные методики начисления простых процентов.

Изменение процентной ставки и величины вклада.

Определение процентной ставки и длины периода.

процентов Содержание Начисление сложных годовых процентов Сравнение наращения по простым и сложным процентам Наращение...

1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента (2)

   Реферат >> Финансы

   64 1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента 1.1.Сущность финансового менеджмента Финансовый менеджмент - это наука и искусство принимать инвестиционные решения и решения по выбору...

2. Основные определения финансового менеджмента

   Шпаргалка >> Финансы

   ... решения и решения по выбору источников финансирования. 2. Цель и задачи финансового менеджмента . ... во времени: простой % и сложный %. Простой процент - метод... управленческих решений . Главная факторная цепочка формирующая прибыль может быть предоставлена схемой ...

3. Сущность финансового менеджмента (2)

   Реферат >> Менеджмент

   Управления. 2) Управленческие решения в сфере финансового менеджмента должны быть динамичны. 3) Присутствие разнообразных вариантов управленческих решений . 4) ... стоимость: Простые проценты PV=PV/(1+rm) m Сложные проценты PV=PV/(1+r) Схема дисконтирования. ...

От простого к сложному...

Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание формулы простых или сложных процентов, а также умение составить предварительный расчет процентов по депозиту как никогда пригодится. Ведь прогнозирование процентов по вкладам или процентов по кредитам относится к одной из составляющих разумного управления своими финансами. Такое прогнозирование хорошо осуществлять до подписания договоров и совершения финансовых операций, а также в периоды очередного начисления процентов и причисления их к вкладу по уже оформленному депозитному договору.

Для начисления процентов по вкладам (депозитам), да и кредитам тоже, применяются следующие формулы:

1. формула простых процентов ,


2. формула сложных процентов .

Порядок начисления процентов по вышеперечисленным формулам осуществляется с использованием фиксированной или плавающей ставки. Чтобы не возвращаться к данному вопросу в дальнейшем, сразу поясню значение слов и отличия фиксированной ставки и плавающей ставки.

Фиксированная ставка, это когда установленная по вкладу банка процентная ставка, закреплена в депозитном договоре и остается неизменной весь срок вложения средств, т.е. фиксируется. Такая ставка может измениться только в момент автоматической пролонгации договора на новый срок или при досрочном расторжении договорных отношений и выплате процентов за фактический срок вложения по ставке «до востребования», что оговаривается условиями.

Плавающая ставка, это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вложения. Условия и порядок изменения ставок оговариваются в депозитном договоре. Процентные ставки могут изменяться: в связи с изменениями ставки рефинансирования, с изменением курса валюты, с переходом суммы вклада в другую категорию, и другими факторами.

Для начисления процентов с применением формул, необходимо знать параметры вложения средств на депозитный счет, а именно:

• сумму вклада (депозита),
• процентную ставку по выбранному вкладу (депозиту),
• цикличность начисления процентов (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и т.д.),
• срок размещения вклада (депозита),
• иногда требуется и вид используемой процентной ставки - фиксированной или плавающей.

Теперь давайте рассмотрим названные выше стандартные формулы процентов, которые применяются для расчета процентов по вкладам (депозитам).

Формула простых процентов

Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

Формула простых процентов

Значение символов:
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.
I – годовая процентная ставка

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств

Формула суммы простых процентов

Значение символов:
Sp – сумма процентов (доходов).
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Приведу условные примеры расчета простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами:

Пример 1. Предположим, что банком принят депозит в сумме 50000 рублей на срок 30 дней. Фиксированная процентная ставка - 10,5 % «годовых». Применяя формулы, получаем следующие результаты:

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

Пример 2. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». В условиях поменялся только срок вложения.

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52

Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52

При сравнении двух примеров видно, что сумма ежемесячно начисленных процентов по формуле простых процентов не меняется.

431,51 * 3 месяца = 1294,52 рубля.

Пример 3. Банком принят депозит в сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». Вклад пополняемый, и на 61 день произведено пополнение вклада в сумме 10000 рублей.

S1 =50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 50863.01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863.01

S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517.81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517.81

Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82

Пример 4. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней), по плавающей ставке. На первый месяц (30 дней) процентная ставка - 10,5 %, на последующие 2 месяца (60 дней) процентная ставка – 12 %.

S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431.51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986.3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81

Формула сложных процентов

Формула сложных процентов применяется, если начисление процентов по вкладу, осуществляется через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально) а начисленные проценты причисляются к вкладу, т. е. расчет сложных процентов предусматривает капитализацию процентов (начисление процентов на проценты).

Большинство банков, предлагают вклады с поквартальной капитализацией (Сбербанк России, ВТБ и т. д.), т.е. с начислением сложных процентов. А некоторые банки, в условиях по вкладам предлагают капитализацию по окончанию срока вложения, т.е. когда вклад пролонгируется на следующий срок, что, мягко говоря, относится к рекламному трюку, который подталкивает вкладчика не забирать начисляемые проценты, но само начисление процентов фактически осуществляется по формуле простых процентов. И повторюсь, когда сумма вклада и срок размещения значительные, такая «капитализация» не приводит к увеличению суммы процентного дохода вкладчика, ведь начисления процентов на полученные в предыдущих периодах процентные доходы нет.
Формула сложных процентов выглядит так:

Формула сложных процентов

Значение символов:




S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из суммы вклада (депозита) с процентами.

Расчет только сложных процентов с помощью формулы, будет выглядеть так:

Расчет только сложных процентов

Значение символов:
I – годовая процентная ставка;
j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;
K – количество дней в календарном году (365 или 366);
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств;
n - количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения денежных средств;
Sp – сумма процентов (доходов).

Приведу условный пример расчета сложных процентов и суммы банковского депозита со сложными процентами:

Пример 5. Принят депозит в сумме 50 тыс. руб. сроком на 90 дней по фиксированной ставке 10,5 процентов годовых. Начисление процентов – ежемесячно. Следовательно, количество операций по капитализации начисленных процентов (п) в течение 90 дней составит – 3. А количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов (j) составит – 30 дней (90/3). Какова будет сумма процентов?

S = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 = 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Убедиться в правильности суммы процентов, рассчитанный по методу сложных процентов можно, перепроверив расчет с помощью формулы простых процентов.

Для этого разобьем срок депозита на 3 самостоятельных периода(3 месяца) по 30 дней и рассчитаем проценты для каждого периода, использую формулу простых процентов. Сумму депозита в каждом следующем периоде будем брать с учетом процентов за предыдущие периоды. В результате расчета получилось:

Итак, общая сумма процентов с учетом ежемесячной капитализации (начисления процентов на проценты) составляет:

Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Это соответствует сумме, рассчитанной по сложным процентам в примере № 5.
А при расчете процентов за этот же период по формуле простых процентов в примере №2, доход составил только 1294,52 руб. Капитализация процентов принесла вкладчику дополнительно 11,2 руб. (1305,72 – 1294,52), т.е. большая доходность получается у вкладов с капитализацией процентов, когда применяются сложные проценты.

При начислении процентов необходимо учитывать и еще один маленький нюанс. При определении количества дней начисления процентов по вкладу (t) или количества календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов (j), не учитывается день закрытия (снятия) вклада. Так, например, 02.11.07 банк принял депозит сроком на 7 дней. Полный срок депозита с 02.11.07 по 09.11.07, т.е. 8 календарных дней. А период начисления процентов по депозиту будет с 02.11.07 по 08.11.07, т.е. – 7 календарных дней. День 09.11.07 в расчет не принимается т.к. депозит возвращен клиенту.

Заканчивая материал, хочу еще раз обратить ваше внимание на то, что по приведенным формулам процентов можно производить и расчеты процентов по кредитам. Удачного вам подсчета своих доходов и расходов.

При расчете наращения и дисконтирования денежных средств могут использоваться модели простых и сложных процентов.

Простой процент представляет собой сумму, которая начисляется от исходной величины стоимости вложения в конце одного периода, определяемого условиями вложения средств (месяц, квартал, год). Расчет суммы простого процента S в процессе наращения вложений производят по формуле

S = PV * k * t

По окончании каждого периода инвестиция увеличивается на величину kt. Поэтому будущая стоимость инвестиции FV с учетом начисленных процентов определяется по формуле FV – PV + S = PV (1 + kt)

Множитель (1 + kt) представляет собой коэффициент наращения простых процентов.

При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования, или суммы дисконта D, используется формула D = FV – FV * 1 / (1 + kt)

Сложным процентом называется сумма, которая образуется в результате вложения средств при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в последующем доход исчисляется с общей суммы, включающей также начисленные и невыплаченные проценты.

Начисление сложных процентов с целью нахождения величины будущей стоимости в инвестиционном анализе называют компаундингом.

Расчет суммы вложения в процессе его наращения по сложным процентам производится по формуле FV = PV (1 + k) t

А в процессе дисконтирования по формуле PV = FV / (1 + k) t = FV * 1 / (1 + k) t

Сумма сложного процента определяется как разность между окончательной и первоначальной суммами вклада.

В финансово-экономических расчетах коэффициент (1 + k) t называют коэффициентом, или множителем наращения, а также ставкой процента, нормой доходности, нормой прибыли, а коэффициент 1 / (1 + k) t – коэффициентом дисконтирования, дисконтной ставкой, дисконтом, учетной ставкой.

Очевидно, что оба коэффициента связаны между собой, поэтому, зная один показатель, можно определить другой.

Для простоты вычислений разработаны специальные таблицы, с помощью которых при заданных параметрах указанных коэффициентов и периодов инвестирования можно определить текущую и будущую стоимость денежных средств.

24. Функции денежной единицы: состав и основное содержание.

http://dom-khv.ucoz.ru/index/formuly_slozhnykh_procentov/0-111 (+ 25-30)

В финансово-экономической практике совокупное влияние и учет указанных элементов(сумма, риск, время, ставка дохода) оценивается на основе 6 функций денежной единицы. Зачастую они оцениваются в разработке и использовании во всем мире финансовых таблиц. В состав функции денежной единицы (сложного %) входят:

Накопленная сумма денежных единиц

Накопление (рост) денежной единицы за время

Фактор фондовозмещения

Текущая стоимость единицы (реверсия – перепродажа)

Текущая стоимость аннуитета

Взнос на амортизацию денежной единицы.

#Теория изменения стоимости денег исходит из предположения, что деньги , являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

Аннуитетные платежи (PMT) – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени. Выделяют Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Текущая стоимость (PV) (англ. Present value) - исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.

Будущая стоимость (FV) (англ. Future value) - сумма долга с начисленными процентами в конце срока.

Ставка дохода или процентная ставка (i) (англ. Rate of interest) - является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период.

Срок погашения долга (n) (англ. Number of periods) - интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов, обычно равных по длине (например, месяц, квартал, год), в конце которых регулярно начисляются проценты.

Частота накоплений в год (k) - периодичность начисления процентовоказывает влияние на величину накопления. Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

FV(англ. Future value)– будущая стоимость денежной единицы;

PV (англ. Present value) – текущая стоимость денежной единицы;

PMT (от англ. PayMenT)– равновеликие периодические платежи;

i – ставка дохода или процентная ставка;

n – число периодов накопления, в годах;

k – частота накоплений в год.

Накопленная сумма денежной единицы (Будущая стоимость денежной единицы) показывает, какую сумму будет составлять денежная единица, вложенная сегодня, через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности).

FV = PV* [(1+i) n ] или FV = PV* колонка.1

FV(в лекциях обозначается как S n) = PV* [(1+i/k) nk ]

+ см. вопрос 25

Текущая стоимость денежной единицы (реверсии (перепродажи)) PV показывает, какую сумму нужно иметь сегодня, чтобы через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности) получить сумму, равную денежной единице, то есть какой сумме сегодня эквивалентна денежная единица, которую мы рассчитываем получить в будущем через определенный период времени.

Начисление процентов 1 раз в год: PV = FV * или PV = FV *колонка.4

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: PV = FV * (в лекциях PV обозначается как V n)

+ см. вопрос 26

Текущая стоимость аннуитета

Аннуитетные платежи (PMT) – это серия равновеликих платежей, поступающих в равные промежутки времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый(первое поступление не дисконтируется).

Обычный аннуитет:

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

(в лекциях PV обозначается как a n)

Авансовый аннуитет:
(в лекциях PV обозначается как a n)

+ см. вопрос 27

Накопление (рост) денежной единицы за период FV - будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений). Фактор накопления единицы за период показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого периодического интервала по истечении установленного срока.

Обычный аннуитет: (в лекциях FV обозначается как S n)

Авансовый аннуитет: (в лекциях FV обозначается как S n)

+ см. вопрос 28

Взнос на амортизацию денежной единицы - это величина регулярного периодического платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при процентной заданной ставке. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета. Амортизация в данном случае – это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени.

Начисление процентов 1 раз в год:
(в лекциях PV обозначается как a n)

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:
(в лекциях PV обозначается как a n)

Фактор фонда возмещения - показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

25. Накопленная сумма денежной единицы как функция, позволяющая принять решение о будущей стоимости денег.

Будущая стоимость денежной единицы (FV) – накопленная сумма денежной единицы. Накопленная сумма денежной единицы показывает, какую сумму будет составлять денежная единица, вложенная сегодня, через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности).

Начисление процентов 1 раз в год: FV = PV* [(1+i)n] или FV = PV* кол.1

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: FV = PV* [(1+i/k)nk]

#При определении ставки дохода на инвестиции как основного финансового критерия во внимание следует принять эффект сложного процента. Сложный процент означает, что уже полученный % будучи положенным на депозит вместе с первоначальными инвестициями становится частью основной суммы. Поэтому в следующем периоде наряду с первоначальным депозитом он также приносит новый %. Тогда как простой % не предполагает получения %-та на процент.

Накопленная сумма ден.ед. отвечает на вопрос о будущей стоимости сегодняшнего рубля. В ответе на этот вопрос существует правило 72-х (оно позволяет определить период удвоения первоначального капитала. Нужно 72 разделить на ставку процента. Наиб.эффективно при 3-18 %). Например, при ставке 6 % доходы удвоятся через 12 лет. Следует различать номинальную(рассчитывается в масштабе года[(1+i) n ]) и эффективную ставки процента (расчитывается исходя из условий периода начисления процента (день, месяц, квартал и т.д. [(1+i/k) nk ]).

26. Текущая стоимость единицы (реверсии) – основа оценки текущей стоимости инвестиционных результатов, предполагаемых к получению в будущем.

Текущая стоимость денежной единицы (PV) или текущая стоимость реверсии (перепродажи) показывает, какую сумму нужно иметь сегодня, чтобы через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности) получить сумму, равную денежной единице, то есть какой сумме сегодня эквивалентна денежная единица, которую мы рассчитываем получить в будущем через определенный период времени.

Начисление процентов 1 раз в год: PV = FV * или PV = FV * кол.4

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: PV = FV *

# ТСЕ отвечает на вопрос о сегодняшней стоимости будущего рубля. В этой функ-и имеет место принцип дисконтирования , тогда как в накопленной сумме принцип накопления . Дисконтирование позволяет оценить потерю стоимости денег за счет увеличения (снижения) рисков, изменения степени ликвидности актива, а также ставки рефинансирования ЦБ РФ, являющейся базовой ставкой при расчете ставки дисконта.

V n =1/(1+E) n , где V n – текущая стоимость единицы, Е- ставка дисконта, n-число периодов начисления.

Доходность = чистый доход/инвест.актив.

Чем выше ставка дисконта, тем ниже дисконтирующие коэффициенты, тем больше потеря! Текущая стоимость реверсии противоположна накопленной сумме денежной единицы.

27. Текущая стоимость аннуитета: графическое описание и формализация.

Текущая стоимость аннуитета показывает, какой сумме денежных средств сегодня эквивалентна серия равномерных платежей в будущем, равных одной денежной единице, за определенное количество периодов при определенной ставке дисконта.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Обычный аннуитет:

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

Авансовый аннуитет:

Аннуитет – серия равновеликих платежей, поступающих в равные промежутки времени.

Текущая стоимость аннуитета показывает, какой сумме денежных средств сегодня эквивалентна серия равномерных платежей в будущем, равных одной денежной единице, за определенное количество периодов при определенной ставке дисконта.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый(первое поступление не дисконтируется, т.к. нет потери денег за счет фактора времени).

,i – ставка процента, Е – ставка дисконта.

Пример: Операц. доходы от бизнеса 100 000 руб. поступают в конце каждого года в теч. 15 лет при ставке дисконта 6%. Оценить поток денег(т.е. тек. ст-ть потока доходов)

Нужно 100 000* (колонка 5 фин. таблиц, см. ставка 6 %) = 100 000*9,71225=971225 руб.

28. Накопление (рост) денежной единицы за период.

Накопление денежной единицы за период FV - будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений). Фактор накопления единицы за период показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого периодического интервала по истечении установленного срока.

Обычный аннуитет:

Авансовый аннуитет:

Фактор накопления единицы за период позволяет ответить на вопрос о том, какой по истечении всего установленного срока будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов.

Пример: Студент по окончании каждого лета способен вносить 1000$ на счет, приносящий 10% годовых. Сколько у него окажется на счете к концу 4-го года?

Нужно 1000*(2 колонка, 10%)=1000*4,641=4641$

А,Б,В,Г представляют 1 руб.(или больше), депонированный в конце каждого из 4 лет.

Каждый депозит приносит сложный процент с момента депонирования до момента получения конечной суммы. Таким образом, накапливаются как все депонированные суммы, так и %-ты. Конечная стоимость= сумма всех депозитов и сложного %.

29. Фактор фонда возмещения – как способ определения сумм рефинансирования с целью обеспечения воспроизводства капитала.

Фактор фонда возмещения показывает денежную сумму, которую необходимо депонировать в конце каждого периода, для того чтобы через заданное число периодов остаток составил 1 руб.

Пример: Через 4 года необходимо получить (1 руб.) при ставке дохода 10%, то по окончании каждого из 4лет необходимо депонировать? = 0,21547=1руб * (3кол- 10% - 4г.), т.е. 21 коп.

#Фактор фонда возмещения - показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

30. Взнос на амортизацию денежной единицы: как методологическая основа оценки возврата капитала и его дохода.

Часто кредиты структурированы таким образом, что платежи в их погашении в течении установленного периода времени превышают % и позволяют полностью с амортизировать кредит.

Амортизацией называется % погашения(ликвидации) долга в течении времени.

Математически он определяется как отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита. Он также показывает каким должен быть обязательный периодический платеж по кредиту включающий % и выплату основной суммы, и позволяющий погасить кредит в течении установленного срока.

Пример: Кредит в 270 тыс.руб. предоставлен по номинальной ставке 12%. Предусматривается ежегодный платеж в 34 425 руб.. каков срок погашения кредита? 34425/270=0,1275(12,7%), и 6 кол. – 12% = 25 лет.

Графически может быть представлен:

Где – текущая стоимость аннуитета, i - ставка %, n – число периодов, – текущая стоимость ед-цы

#Взнос на амортизацию денежной единицы - это величина регулярного периодического платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при процентной заданной ставке. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета. Амортизация в данном случае – это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени.

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

31. Понятие о капитализации потока дохода.

Капитализация - оценка стоимости предприятия, земельного участка, ценных бумаг и другого имущества, посредством расчета приведенной суммы ожидаемых доходов, взятой за весь период его предполагаемого использования.

Капитализация как про цесс - это реинвестирование прибыли полученной в результате деятельности за определенный период. Этот процесс реинвестирования прибыли увеличивает балансовую стоимость компании и собственный капитал акционеров. Это, так называемая, реальная капитализация, когда полученная прибыль превращается в активный капитал.

Оценка стоимости бизнеса - первый шаг в капитализации

Рыночная стоимость предприятия (бизнеса) во многом зависит от того, каковы перспективы его деятельности. Не смотря на множество существующих сегодня методов оценки стоимости бизнеса и множество мнений по этому поводу, часто используется доходный подход. Доходный подход позволяет определить стоимость объекта оценки путем расчета текущей стоимости ожидаемых будущих доходов, которые будут получены от владения им.

Наибольшую сложность при реализации методов доходного подхода представляет процесс прогнозирования будущих дохо­дов. В случае капитализации дохода - это определение уровня дохода за первый прогнозный год (при этом предполагается, что доход будет такой же и в следующие прогнозные годы); в случае дисконтирования денежных потоков - это определе­ние уровня доходов за каждый будущий год всего прогнозного периода, а также в остаточный период.

Определение стоимости бизнеса (100% пакета акций) доходным подходом основано на предположении о том, что потенциальный инвестор не заплатит за данный объект сумму, большую, чем текущая стоимость будущих доходов от его использования. Собственник акций не продаст свой пакет по цене, которая ниже текущей стоимости прогнозируемых будущих доходов.

Данный подход оценки считается наиболее приемлемым с точки зрения инвестиционных мотивов, поскольку любой инвестор, в конечном счете, покупает не набор активов, а поток будущих доходов.

Двумя наиболее распространенными методами в рамках доходного подхода являются: капитализация дохода и дисконтирование денежного потока.

Метод капитализации дохода используется в тех случа­ях, когда доход от эксплуатации оцениваемого объекта стабилен.

Подход, основанный на капитализации доходов, по-видимому, оказывается более подходящим оценочным методом, когда текущая деятельность компании может дать определенное представление о ее будущей деятельности (исходя из предположения о нормальных темпах роста). С другой стороны, подход, основанный на дисконтировании будущих доходов, представляется более применимым, когда ожидается существенное изменение будущих доходов по сравнению с доходами от текущих операций. («Существенное изменение» означает заметное увеличение или уменьшение относительно сложившегося темпа роста). В некоторых случаях может оказаться желательным использовать при оценке стоимости компании оба эти подхода.

Общая характеристика подхода на основе капитализации. Формула этого подхода следующая:

При использовании подхода капитализации консультант-оценщик должен выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Получите (или подготовьте) финансовый отчет за репрезентативный период времени (обычно по меньшей мере за пять лет).

Шаг 2. Скорректируйте финансовые отчетные данные, полученные на шаге 1, в соответствии с требованиями GAAP или для нормализации отчетности. Если потребуются нормализационные корректировки для устранения воздействия на эти данные недействующих или излишних активов, следует рассмотреть стоимость этих активов в шаге 9. Определите, не следует ли скорректировать нормализованный показатель дохода с учетом дефицита активов. В качестве альтернативы, идентифицированные недостающие активы могут быть рассмотрены отдельно в шаге 9.

Шаг 3. Пересчитайте (или рассчитайте) подоходные налоги на нормализованный доход до вычета налогов, как он был определен в шаге 2. Результатом будет показатель скорректированной чистой прибыли.

Шаг 4. Если капитализируемым потоком доходов является денежный поток, то следует сделать дополнительные корректировки чистого дохода, полученного на шаге 3, чтобы прийти к валовому или чистому денежному потоку.

Шаг 5. Определите коэффициент капитализации для того потока доходов, который предстоит капитализировать. Во многих случаях этим потоком является чистая прибыль (шаг 3, см. выше), однако в определенных обстоятельствах измерителем может быть валовый денежный поток или чистый денежный поток (шаг 4, см. выше).

Шаг 6. Определите период деятельности компании, который послужит базой для капитализации. В большинстве случаев этим периодом бывает последний финансовый год или последние 12 месяцев; однако, в определенных обстоятельствах, более приемлемой базой расчета может оказаться прогноз на ближайший год или средний показатель за несколько прошлых лет.

Шаг 8. Проведите проверку на «здравый смысл», чтобы определить, насколько правдоподобна полученная оценка.

Шаг 9. Если на шаге 2 были проведены корректировки финансовой отчетности для учета влияния на оценку компании недействующих или излишних активов, определите подходящую стоимость этих активов на дату оценки и добавьте ее к стоимости, определенной на шаге 7. Если на шаге 2 был установлен недостаток активов, определите, может ли быть показатель стоимости компании уменьшен на стоимость таких недостающих активов. Если недостаток активов был учтен при нормализационной корректировке отчетности о доходах, операция по еще одному сокращению стоимости компании не требуется.

Шаг 10. Определите, требуется ли скорректировать полученную на шаге 9 стоимость для учета скидки за ликвидность, премии за контроль или скидки на неконтрольный характер пакета акций.

32. Понятие и экономическая сущность стоимости капитала.

http://www.cfin.ru/finanalysis/savchuk/6.shtml (+ 33-37)

Под стоимостью капитала понимается доход, который должны принести инвестиции для того, чтобы они себя оправдали с точки зрения инвестора. Стоимость капитала выражается в виде процентной ставки (или доли единицы) от суммы капитала, вложенного в какой-либо бизнес, которую следует заплатить инвестору в течение года за использование его капитала. Инвестором может быть кредитор, собственник (акционер) предприятия или само предприятие. В последнем случае предприятие инвестирует собственный капитал, который образовался за период, предшествующий новым капитальным вложениям и следовательно принадлежит собственникам предприятия. В любом случае за использование капитала надо платить и мерой этого платежа выступает стоимость капитала.

Обычно считается, что стоимость капитала - это альтернативная стоимость, иначе говоря доход, который ожидают получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска. В самом деле, если компания хочет получить средства, то она должна обеспечить доход на них как минимум равный величине дохода, которую могут принести инвесторам альтернативные возможности вложения капитала.

Основная область применения стоимости капитала - оценка экономической эффективности инвестиций . Ставка дисконта , которая используется в методах оценки эффективности инвестиций, т.е. с помощью которой все денежные потоки, появляющиеся в процессе инвестиционного проекта приводятся к настоящему моменту времени, - это и есть стоимость капитала, который вкладывается в предприятие. Почему именно стоимость капитала служит ставкой дисконтирования? Напомним, что ставка дисконта - это процентная ставка отдачи, которую предприятие предполагает получить на заработанные в процессе реализации проекта деньги. Поскольку проект разворачивается в течение нескольких будущих лет, предприятие не имеет твердой уверенности в том, что оно найдет эффективный способ вложения заработанных денег. Но оно может вложить эти деньги в свой собственный бизнес и получить отдачу, как минимум равную стоимости капитала. Таким образом, стоимость капитала предприятия - это минимальная норма прибыльности при вложении заработанных в ходе реализации проекта денег.

На стоимость капитала оказывают влияние следующие факторы:

o уровень доходности других инвестиций,

o уровень риска данного капитального вложения,

o источники финансирования.

Рассмотрим каждый из факторов в отдельности. Поскольку стоимость капитала - это альтернативная стоимость, то есть доход, который ожидают получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска, стоимость данного капитального вложения зависит от текущего уровня процентных ставок на рынке ценных бумаг (облигаций и акций). Если предприятие предлагает вложить инвесторам капитал в более рискованное дело, то им должен быть обеспечен более высокий уровень доходности. Чем больше величина риска, присутствующая в активах компании, тем больше должен быть доход по ним для того, чтобы привлечь инвестора. Это золотое правило инвестирования.

В настоящее время наблюдается возрастание, хотя и очень незначительное, интересов иностранных инвесторов в предприятия стран бывшего Советского Союза. Понятно, что такие капитальные вложения для иностранного инвестора являются очень рискованными (по крайней мере по сравнению с вложениями в предприятия западных стран). По этой причине, следуя золотому правилу инвестирования стоимость зарубежных капитальных вложений весьма велика - от 20 до 30 процентов. В то же время стоимость подобных капитальных вложений в предприятия собственных стран не превышает 20%.

Кроме этих факторов, на стоимость капитала оказывает влияние то, какие источники финансирования имеются у предприятия. Процентные платежи по заемным источникам рассматриваются как валовые издержки (то есть входят в себестоимость) и потому делает долговые источники финансирования более выгодными для предприятия. Но в то же время использование заемных источников более рискованно для предприятий, так как процентные платежи и погашения основной части долга необходимо производить вне зависимости от результатов реализации инвестиционного проекта. Стремясь снизить риск, предприятие увеличивает долю собственных привлеченных средств (производит дополнительную эмиссию акций). При этом, стимулируя инвестора производить вложения в собственность, оно вынуждено обещать более высокую отдачу при прямом вложении капитала в собственность. Инвестор также сознает, что вложение в собственность предприятия более рискованный вид инвестиций по сравнению с кредитной инвестицией, и поэтому ожидает и требует более высокую отдачу.

33. Подходы к определению стоимости капитала.

При изложении данного вопроса мы последовательно рассмотрим ряд частных простейших случаев с их последующим обобщением. При изложении первого примера будем абстрагироваться от налогового эффекта при вычислении стоимости капитала.

Пример 1. Пусть банк предоставляет предприятию кредит на условиях $2 на каждый имеющийся у него $1 собственных средств. Своих денег предприятие не имеет, но может привлечь акционерный капитал, начав выпуск акций. Банк предоставляет кредит по ставке 6%, а акционеры согласны вкладывать деньги при условии получения 12%. Если предприятию необходимы $3,000, то оно должно получить чистый денежный доход $2,000 0.06 = $120 с тем, чтобы удовлетворить требованиям банка и $1,000 0.12 = $120 для удовлетворения требований акционеров. Таким образом, стоимость капитала составит $240/$3,000 = 8%.

Точно такой же результат можно получить, используя следующую схему:

Такой подход часто называют вычислением взвешенной средней стоимости капитала, которая часто обозначается WACC (Weighted Average Cost of Capital).

Для того, чтобы определить общую стоимость капитала, необходимо сначала оценить величину каждой его компоненты.

Обычно структура капитала инвестиционного проекта включает

1. Собственный капитал в виде

o обыкновенных акций,

o накопленной прибыли за счет деятельности предприятия;

2. Сумму средств, привлеченных за счет продажи привилегированных акций;

3. Заемный капитал в виде

o долгосрочного банковского кредита,

o выпуска облигаций.

Рассматривая предприятия государственной формы собственности, работающие в рыночных (хозрасчетных) условиях, мы выделяем две компоненты:

1. Собственный капитал в виде

o накопленной нераспределенной прибыли

2. Заемный капитал в виде долгосрочных банковских кредитов

Ниже последовательно рассмотрены модели оценки каждой компоненты.

34. Модели определения стоимости собственного капитала.

Стоимость собственного капитала - это денежный доход, который хотят получить держатели обыкновенных акций. Различают несколько моделей, каждая из которых базируется на использовании информации, имеющейся в распоряжении того, кто оценивает капитал.

Модель прогнозируемого роста дивидендов. Расчет стоимости собственного капитала основывается на формуле

где Се - стоимость собственного капитала,
Р - рыночная цена одной акции,
D1 - дивиденд, обещанный компанией в первый год реализации инвестиционного проекта,
g - прогнозируемый ежегодный рост дивидендов.

Текущая цена одной обыкновенной акции компании составляет $40. Ожидаемая в следующем году величина дивиденда $4. Кроме того, предприятие планирует ежегодный прирост дивидендов 4%. Используя формулу (6.1) получаем

Данная модель применима к тем компаниям, величина прироста дивидендов которых постоянна. Если этого не наблюдается, то модель не может быть использована.

Ценовая модель капитальных активов (CAPM: Capital Assets Price Model).

Использование данной модели наиболее распространено в условиях стабильной рыночной экономики при наличии достаточно большого числа данных, характеризующих прибыльность работы предприятия.

Модель использует существенным образом показатель риска конкретной фирмы, который формализуется введением показателя . Этот показатель устроен таким образом, что

Фактор риска.

Изменение Се согласно модели (6.2) в зависимости от риска иллюстрируется графически с помощью следующего рисунка.

Рис. 6.1. Доходность собственного капитала компании

Возникает вопрос: как определить показатель для данного предприятия? Единственный разумный способ - это использование данных прошлых лет. По сравнительным данным прибыльности анализируемого предприятия и средней рыночной прибыльности строится соответствующая прямолинейная регрессионная зависимость, которая отражает корреляцию прибыльности предприятия и средней рыночной прибыльности. Регрессионный коэффициент этой зависимости служит основой для оценки - фактора. В передовых западных странах для ориентации потенциальных инвесторов печатают справочники, содержащие показатель для большинства крупных фирм.

Пример 3. Предприятие АВС является относительно стабильной компанией с величиной . Величина процентной ставки безрискового вложения капитала равна 6%, а средняя по фондовому рынку - 9%. Согласно ценовой модели капитальных активов стоимость капитала компании равна.

Банковский служащий, которого ежедневно преследуют вопросы вида: «Как открыть счет?», «Как перевести деньги?», «Когда нужно погасить долг» и т.д. Работа нервная, но мне нравится.

К банковским депозитам и кредитам все давно привыкли, но далеко не каждый задумывается о том, как применяется декларируемая банком процентная ставка в том или ином случае. Расчет процентов может вестись разными способами, существуют простые и сложные формулы; и стоит уделить этому внимание для понимания выгодности банковского предложения по займам или депозитам.

Простые и сложные проценты

О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:

Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где

Fv - итоговая сумма;
Sv - начальная сумма;

Td - срок вклада в днях;
Ty - количество дней в году.

Сложные проценты - это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.

Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:

Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где

Fv - итоговая сумма;
Sv - начальная сумма;
R - годовая процентная ставка;
Ny - количество периодов капитализации в году;
Nd - количество периодов капитализации за весь период вклада.

Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 — 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.

Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Какие вклады выгоднее?

Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные – те же: сумма 10 000 руб., ставка – 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.

Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.

Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 – 10 000 = 1 038 руб.

Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.

Источник: http://www.depcalc.ru/

Сложный процент. Формула сложного процента для вклада. Расчет сложных процентов

Формула сложного процента здесь

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 + %)n

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100)5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12)12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y)n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей

Процентная ставка: 20% годовых

Простой процент		Сложный процент
	Сумма	Прибыль за год	Сумма	Прибыль за год
Через 1 год	60 000р.	10 000р.	60 000р.	10 000р.
Через 2 года	70 000р.	10 000р.	72 000р.	12 000р.
Через 3 года	80 000р.	10 000р.	86 400р.	14 400р.
Через 4 года	90 000р.	10 000р.	103 680р.	17 280р.
Через 5 лет	100 000р.	10 000р.	124 416р.	20 736р.
Через 6 лет	110 000р.	10 000р.	149 299р.	24 883р.
Через 7 лет	120 000р.	10 000р.	179 159р.	29 860р.
Через 8 лет	130 000р.	10 000р.	214 991р.	35 832р.
Через 9 лет	140 000р.	10 000р.	257 989р.	42 998р.
Через 10 лет	150 000р.	10 000р.	309 587р.	51 598р.
Через 11 лет	160 000р.	10 000р.	371 504р.	61 917р.
Через 12 лет	170 000р.	10 000р.	445 805р.	74 301р.
Через 13 лет	180 000р.	10 000р.	534 966р.	89 161р.
Через 14 лет	190 000р.	10 000р.	641 959р.	106 993р.
Через 15 лет	200 000р.	10 000р.	770 351р.	128 392р.
Суммарная прибыль:		150 000р.		720 351р.

Комментарии, как говорится, излишни. Вложения с использованием сложного процента НА ПОРЯДОК выгоднее, чем с простым процентом. Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент.

В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложного процента график получается экспоненциальным, с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль.

Как видите, на длительном промежутке времени очень важным становится то, под какой процент вы инвестируете деньги.
Через 15 лет при 10% годовых 50 тысяч рублей превратятся в 200 тысяч, при 15% — уже в 400 тысяч, а при 20% годовых — в 780 тысяч.

Таким образом, сложный процент является мощным орудием по увеличению капитала на длительных промежутках времени.

Из формулы расчёта сложного процента можно выразить процентную ставку и количество лет (месяцев).

Процентная ставка:

% = (SUM / X)1/n — 1

Расчет сложных процентов: Пример 4.
Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?

% = (100000 / 50000)1/10 — 1 = 0,0718 = 7,18 % годовых

Количество периодов (месяцев, лет):

n = log(1+%) (SUM / X)

Расчет сложных процентов: Пример 5.
Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. нарастились до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40% ?

n = log(1+0,4) (1000000 / 50000) = 8,9 лет

Источник: http://damoney.ru/

Простые и сложные проценты. Чем отличаются?

Рассмотрим пример размещения 100 руб. на банковском депозите под 10% сроком на один год. Текущая стоимость PV составляет 100 руб.

Через год инвестор на вложенный вклад получит 10%, или 10 руб. Сумма денежных средств через год равна сумме вклада плюс накопленные проценты (100 + 10 = 110 руб.). Следовательно, будущая стоимость сегодняшних 100 руб. равна 110 руб.

Будущую стоимость (future value, FV) можно определить но формуле

где PV - текущая стоимость; г - рыночная процентная ставка. В нашем примере будущая стоимость

FV=PV(i + /) = 100 (1 + 0,1) = 110руб.

Если через год инвестор из банка не забирает ни проценты, пи сумму первоначального взноса, а размещает эти средства на депозите сроком еще на один год, то будущая стоимость размещенных средств составит

РУ= 110 (1 + 0,1) = 100 (1+ 0,1) (1 + 0,1) = 100 (1 + 0,1)2= 121 руб.

В общем виде будущую стоимость текущих денежных средств можно представить как

где г - годовая процентная ставка; (1 + г) - коэффициент наращения; п - число лет наращения.

В рассмотренном примере условиями размещения денежных средств предусмотрено, что инвестор вкладывает средства на несколько лет под определенный процент. При этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается па счете инвестора, и на нес начисляются проценты.

Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму. В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.

Простые проценты

По отдельным видам финансовых вложений доход начисляется по методу простых процентов. К таким формам инвестиций относятся депозитные сертификаты и облигации, по которым проценты начисляются на номинальную стоимость данных финансовых инструментов. Например, если инвестор приобрел облигацию номинальной стоимостью 1000 руб. со сроком погашения через 1,5 года под 10% годовых, то по окончании срока его доход составит 1000-0,1 х 1,5 = 150 руб.

Таким образом, если годовая ставка составляет 10%, то при методе простых процентов доход инвестора через год составит 10%: через 1,5 года - 15; через 2 года - 20; через 3 года - 30% и т.д.

При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле

Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1+ 0,1-5) = 1,5 млн руб., из которых

1 млн руб.- это сумма первоначального взноса и 500 000 руб. представляют накопленные проценты.

Сложные проценты

При проведении финансовых вычислений в большинстве случаев пользуются не простыми, а сложными процентами, начисляемыми не только на первоначальную сумму, но и на сумму процентов, накопившихся за истекший период. В этом случае процентный доход не изымается, а остается на счете и прибавляется к величине первоначального взноса.

В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле

Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит

FV= 1 000 000 (1 + 0,1)5= 1 610 510 руб.

Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.

Метод сложных процентов всегда интриговал людей. Джон Кейнс назвал этот процесс магией сложных процентов. Действительно, на длительных отрезках времени первоначальные суммы, вложенные под сложный процент, увеличиваются очень существенно. Это хорошо очевидно из табл. 4.1, в которой приведены данные по приросту инвестиций в размере 100 долл. при простом и сложном проценте на 200-летнем отрезке времени.

1. Английский астроном Френсис Бейли в 1810 г. подсчитал, что если в год рождения Христа положить 1 пенс под 5% годовых, то за эти годы он превратился бы в такое количество золота, которого хватило бы для заполнения 357 млн земных шаров.

2. Остров Манхэттен (США) был приобретен в 1626 г. Питером Минуитом у местных индейцев за сумму, равную примерно 25 долл. США. В настоящее время совокупная стоимость острова исчисляется миллиардами долларов. Однако если бы Питер вложил свои 25 долл. в банк под 7% годовых, то в настоящее время он бы получил 3,6 трлн долл. США, что существенно больше нынешней стоимости острова со всеми сооружениями на нем. Вот к чему приводит принятие однажды неправильного решения.

Таблица 4.1. Стоимость инвестиций в размере 100 долл. на конец года при 10% ставке

Таблица показывает, что в первый год разница в доходе между простым и сложным процентом равна нулю. Затем эта разница начинает незначительно возрастать. Она весьма велика для 50-летнего и громадна для 200-летнего периода.

Для удобства расчета будущей стоимости применяют специальные таблицы, показывающие будущую стоимость денежной единицы через п лет при соответствующей годовой процентной ставке (приложение 1). Фрагмент этой таблицы представлен ниже (табл. 4.2)

Таблица 4.2. Будущая стоимость денежной единицы

	Годовая процентная ставка

Пользуясь табл. 4.2, определим, сколько денежных средств будет на счете инвестора, положившего 1000 руб. на банковский депозит под 10% сроком на 15 лет. Мы движемся по столбцу «годы» до строки 15 лет, а затем перемещаемся по этой строке вправо до столбца 10%. На пересечении строки и столбца показано, во что превратится 1 руб. через 15 лет, положенный на депозит под 10% годовых. Эта цифра равна 4,177. Следовательно, для нашего примера будущая стоимость вклада

РУ= 1000-4,177 = 4177 руб.

При простом проценте увеличение стоимости идет равномерно. Первоначальная сумма инвестиций каждый год увеличивается на одинаковую величину, что иллюстрирует прямая линия. При сложном проценте наблюдается ускоренный рост накоплений. Кривая роста тем круче, чем выше ставка процента и длиннее срок инвестирования.

Правило 72 (удвоение сбережений)

Инвестор приобрел пакет акций компании «Уралкалий» за 10 млн руб., а через четыре года продал его за 20 млн руб., увеличив свой капитал в два раза. Интересно узнать, какую среднегодовую доходность он получил от своих инвестиций, рассчитанную по методу сложных процентов?

«Правило 72» позволяет нам быстро без помощи калькулятора определить доходность этих инвестиций. «Правило 72» гласит: если число 72 разделить на число лет, за которое было достигнуто удвоение инвестиций, то получим процентную ставку, показывающую среднегодовую доходность наших инвестиций. В рассматриваемом примере

Доходность = 72/Число лет = 72/4 = 18%.

Если известна процентная ставка, под которую можно разместить денежные средства на финансовом рынке, то, пользуясь «правилом 72», легко определить, сколько лет должно пройти, чтобы инвестиции удвоились. Например, банк предлагает депозит под 7% годовых. Чтобы рассчитать период удвоения, необходимо 72 поделить на процентную ставку, что в нашем примере составит

Число лет = 72/7 = 10,3 года.

Следует отметить, что «правило 72» дает приближенное значение числа лет и процентов, необходимых для удвоения инвестиций. Например, для удвоения вложений за четыре года необходима годовая доходность в размере 19%, а не 18%, как получилось при использовании «правила 72». Для того чтобы вложения, размещенные под 7% годовых, удвоились, необходимо 10,2 года, а по «правилу 72» получилось 10,3 года. Как видите, разница несущественна, и этот подход вполне может применяться для приблизительной оценки инвестиционных решений.

Источник: https://studme.org/

Процентная ставка

Финансовая математика - предмет изучения

Предметом изучения курса финансовой математики является выбор условий финансовой сделки между субъектами финансового рынка и расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи - это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей - это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны - кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка - предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие «процентов» и арифметической и геометрической прогрессии.

Проценты - основные понятия

Процент - одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).
Примеры:

— 2 составляет 4% от 50; (база 50)
— 80 меньше 100 на 20%; (база 80)
— 100 больше 80 на 25% (база 80)
— Новая цена товара в 6 раз больше первоначально. На сколько % увеличилась цена товара? Ответ: на 500%.
— Цена товара возрасла на 1000%. Во сколько раз увеличилась цена товара? Ответ: в 11 раз.
В течение торговой сессии курс акций компании повысился на, а курс акций компании снизился на 5%, в результате чего эти два курса сравнялись. на сколько процентов курс акций компании был выше курса акций компании до начала сессии?

Ответ: больше на

	первоначальная сумма долга
(дни)	фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год - 365, иногда 360 дней)
	процентная (учетная) ставка за период
	срок долга в днях
	срок долга в долях от периода
	сумма долга в конце срока

Процентная ставка. Дисконтирование

Процентная ставка - относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег - абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления - это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов - присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение - процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование - обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина - множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

Интерпретация процентной ставки

При схеме «простых процентов » исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме «сложных процентов » (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы «сложных процентов» капитализация процентов происходит на каждом периоде .

Интерпретация учетной ставки

При схеме «простых процентов» (простой дисконт ) - исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме «сложных процентов» (для целых ) (сложный дисконт ) - исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки. Где используются?

«Прямые» формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
- процентная ставка			наращение
- процентная ставка			дисконтирование (банковский учет)

«Обратные» формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
- процентная ставка			дисконтирование (математический учет)
- процентная ставка			наращение

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

При схеме простых процентов

1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным макроэкономическим показателем выступает процентная ставка. Процентная ставка - это плата за деньги, предоставляемые в кредит . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином «процентная ставка», хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием рыночного механизма : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином «процентная ставка»

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% - 10%).

Способы начисления процентов:

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

• I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
• S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

Временная база может быть равна:

• 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
• 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .

Число дней ссуды

• Точное число дней ссуды - определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
• Приближенное число дней ссуды - определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

• Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
• Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
• Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября - 278 день в году. 278 - 20 = 258. При приближенном подсчете - 255. 30 января - 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

• S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

Источник: http://www.grandars.ru/

Простые и сложные ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по догоиоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:
\ (%) - простая годовая ставка ссудного процента;
/-относительная величина годовой ставки процентов;,
Iсумма процентных денег, выплачиваемых за год;
1 - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
р - величина первоначальной денежной суммы;
5наращенная сумма;
Ки - коэффициент наращения;
п - продолжительность периода начисления в годах;
д - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

1) используется точное число дней ссуды, определяемое
по специальной таблице, где показаны порядковые но-
мера каждого дня года; из номера, соответствующего
дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

2) беретЬя приблизительное число дней ссуды, когда про-
должительность полного месяца принимается равной
30 дням; этот метод используется, когда не требуется
большая точность, например, при частичном погаше-
нии займа.

Точный процент получают в случае, когда за временную
базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) н точ-
ное число дней ссуды.

Определение современной величины Р наращенной сум-
мы 51 называется дисконтированием, а определение величи-
ны наращенной суммы 5 - компаудироваиием
5 = Р(1 +/ «) - компаудировамие по простой ссудной
^ ставке;
Р - дисконтирование по простой ссудной
(1 + / * п) ставке.
Если продолжительность ссуды менее одного года,можно
использовать следующие формулы:
8, „.V
S = P^^І¦-);-P= 5
К ([ + /.-)
к,.

Преобразуя формулы (т.е. заменяя входящие в них вы-
ражения на эквивалентные и выражая одни величины через
другие), получаем еще несколько формул для определения
неизвестных величин в различных случаях:
8-Р. Б-Р. Я-Р „
и =.;5=к ¦! = -:(= К.
Р-1 Р-1 Рп Р-8

Иногда на разных интервалах начисления применяются
разные процентные ставки. Если на последовательных интер-
валах начисления!г ^ используются ставки процентов ^

КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ

/, i2,…/N, то доход кредитора в конце интервала составит:
/1 = Р-п1 /,
в конце второго интервала: /2, и т.д.
При тУ интервалах начисленная наращенная сумма соста-

Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространен-ным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.
Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
Кн - (l + /)"» (І + / ¦ nh), тогда S = Р ¦ (l + /)’“ ¦(] + /¦ nh),
где n=-na + nb;
па - целое число лет;
ni - оставшаяся дробная часть года.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов у - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.
При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:
вит
S
Здесь пт - об шее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (пт - целое число интервалов начисления, /-часть интервала начисления), то выражение принимает вид:
Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части - формула простых процентов.
В Казахстане в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.
Пример I.
Ссуда в размере 5 млн тенге выдана на полгода по простой ставке ссудных процентов 20% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение;
8~5 (1 + 0,5 ¦ 0,2) = 5,5 (млнтенге).
Пример 2.

Кредит в размере 10 млн тенге выдан 2 марта до 11 декабря под 18% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
Решение:
1) В случае точных процентов берем 5 = 284:
10 (11 284/366 0,18) = 11,4 (млнтенге);
2) для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:
.9= 10(1 + 284/360 ¦ 0,18) = 11,42 (млн тенге);
КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ
3) для обыкновенных процентов с приближенным числом
дней ссуды (8 = 280):
5″ = 10 (] +280/360 0,18) = 11,94 (млн тенге).

Пример 3.
Кредит в размере 20 млн тенге выдается на 3,5 года. Став-
ка процентов за первый год - 15%, а за каждое последующее
полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель
наращения и наращенную сумму.
Решение:
Кн - 1 + 0,15 + 0,5 (0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,2) = 1,6.
5 = 20 ¦ 1,6 - 32 млн тенге.

Пример 4.

Определить период начисления, за который первона-
чальный капитал в размере 20 млн тенге вырастет до 65 млн
тенге, если используется простая ставка процентов 20% го-
довых.
Решение:
У1 ~ (65 - 20)/(20 ¦ 0,2) = 11,25 года.

Пример 5.
Определить простую ставку процентов, при которой пер-
воначальный капитал в размере 24 млн тенге достигнет 26
млн тенге через 100 дней. К= 365.
Решение:.5
(= (26 - 24)"(24 * 100) ¦ 365 = 0,31, или 31%..

Пример 6,
Кредит выдается под простую ставку 18% годовых на
250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком и сумму
| процентных денег, если величина кредита составляет 40 млн
тенге. Год не високосный. ¦
Решение:
I Р ~ 40 / (1 + 250/365 0,18) = 35,62 (млн тенге).
о| 1 = 40 - 35,62 = 4,38 (млн тенге).

Пример 7.
Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. тенге.
Определить наращенную сумму через пять лет при исполь-
зовании простой и сложной ставок ссудных процентов в раз-
мере 12% годовых. Решить этот пример также для случаев,
когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.
Решение:
По формуле для простых процентных ставок имеем:
5 = 200 (I + 5-0,12) = 320 (тыс. тенге).
По формуле для сложных процентов: ¦
5 = 200 (1 4 0,12)5 = 200-1,76 = 352,5 (тыс. тенге). 1
По формуле для начисления по полугодиям:
5200 (1 +0,06)’° = 200 1,79 = 358 (тыс. тенге).
Из той же формулы для поквартального начисления:
5 = 200 (1 + 0,03)’°-200* 1,806 = 361,2 (тыс. тенге).

Пример 8.
Первоначальная сумма долга равна 300 тыс. тенге. Опре-
делить наращенную сумму через 2,5 года начисления слож-
ных процентов по ставке 20,0% годовых.
Решение:
? = 300 (I Ь 0,2)2′ (1 + 0,5 0,2) - 475,2 (тыс. тенге)

Пример 9.
Определим современную (текущую, настоящую, приве-
денную) величину суммы 500 тыс. тенге, выплачиваемой че-
рез три года, при использовании ставки сложных процентов
20% годовых.
Решение:
Р - = 289.35(тыс. тенге).
(1 (0.2)’

Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.

В чем разница между простыми и сложными процентами?

Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.

За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.

Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).

Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.

Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей

Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.

При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.

Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.

Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.

Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.

Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.

Формула расчета сложного процента по вкладам в банках

Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:

S=K * (1+r/t)™

K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,

r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12

t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12

ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.

S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.

Пример.

Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.

Какая сумма будет у вас в конце срока?

K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8

Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.

Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.

Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.

Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.