Наращенная сумма долга. Формулы наращенной суммы. Вычисляем ставку сложных процентов
Формулы наращенной суммы
Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.
1. Обычная годовая рента.
Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение(п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
в которой первый член равен R , знаменатель (1+ i ), число членов п. Эта сумма равна
(1)
где
(2)
называетсякоэффициентом наращения ренты . Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i .
Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1
(3)
Пример 1.
Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.
Решение.
По формуле (1) имеем:
млн. р.
Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.
2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.
Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j / m , где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получимгеометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j / m ) m , число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна
(4)
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле
(5)
Пример 2.
В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.
Решение.
По формуле (4) имеем
= 97, 45 млн. р.
Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.
3. Рента p -срочная, m = 1.
Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.
Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R / p . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
у которой первый член R / p , знаменатель (1+ i ) 1/ p , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
(6)
где
(7)
коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
(8)
Пример 3.
Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.
Решение.
По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:
S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тыс. р.
Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.
4. Рента p -срочная, р = т.
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем
(9)
Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:
(10)
Пример 4.
Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов?Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.
Решение.
Из(9) найдем сумму (R ), которую необходимо вносить в банк каждые полгодапри полугодовом начислении сложных процентов:
R = S j / [ (1 + j/m ) mn - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тыс. р.
Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:
R = S j / [ (1 + j ) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тыс. р.
Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода иполугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.
5. Рента р -срочная, p ³ 1 , m ³ 1.
Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.
Первый член ренты R / p , уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
Число членов п p . В результате получаем наращенную сумму
(11)
Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:
(12)
Пример 5.
Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начислениесложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.
Решение.
По формуле (11) найдем:
тыс.руб.
Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86тыс.р.
Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.
Логика финансовой операции наращения финансовой ренты
Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i ).
Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:
где FVA – наращенная сумма ренты;
R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;
i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;
n – срок ренты в годах,
s n;i – коэффициент наращения ренты.
Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.
Решение:
Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.
Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:
Расчет современной стоимости постоянной годовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % один раз в год.
Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.
Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей
В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.
В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:
Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a n;i ), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i ) и от числа лет (n ) (Приложение 5).
Пример. Определить по данным примера современную величину ренты.
Решение:
Современная величина ренты составит:
Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1"217,78 руб.
16. Расчет наращенной суммы постоянной p -срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p = m )
Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:
Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m . Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:
На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.
Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:
Расчет современной стоимости постоянной p-срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p=m).
Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:
годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:
срочная рента при начислении процентов один раз в год:
срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :
17. Определение размера очередного платежа постоянной финансовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО (p = m =1)
Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:
R – размер платежа;
n – срок ренты в годах;
i – годовая ставка процентов.
Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.
При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:
а) наращенная сумма . Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA ), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:
Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.
Решение:
В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:
Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4"568 руб.
б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:
Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.
Решение:
Известна современная величина долга, отсюда:
Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2"504,56 руб.
Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:
FV = 10"000 (1 + 0,08) 5 = 14"693,28 руб.
Наращенная сумма для потока платежей размером 2"504,56 руб. составит:
Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.
Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.
Рент постнумерандо
Напомним, что рентой постнумерандо называется такой поток платежей, в котором равные по размеру взносы вносятся в конце календарного года с заданным процентом (как правило, годовым). Под наращенной суммой такой ренты понимается сумма всех ее членов (вкладов, выплат и пр.) с начисленными на них процентами на конец ее срока.
ГОДОВАЯ РЕНТА
1. Начисление процентов один раз в год.
Пусть в конце каждого года в течение n лет в банк вносятся суммы равные R . В целом эти платежи представляют собой постоянную обычную ренту постнумерандо (для графической интерпретации можно воспользоваться рис. 9, приняв период ренты равный одному году, а R 1 = R 2 =...= R n – 1 = R n ).
Члены этой ренты будут приносить проценты в течение n – 1; n – 2; ...; 2; 1 и 0 лет соответственно, а наращенная величина членов ренты к концу срока составит: R (1 + i ) n – 1 ; R (1 + i ) n – 2 ,..., R (1 + i ); R .
Если переписать этот ряд в обратном порядке, то он будет представлять собой геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна
. (67)
Множитель, на который умножается R обозначается как s n,i , причем индекс указывает на продолжительность ренты – n и величину процентной ставки – i . Этот множитель называется коэффициентом наращения ренты и представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1.
.(68)
Таким образом
S = R·s n , i . (69)
Формула (67) может применяться и для расчета наращенной суммы ренты постнумерандо с периодом, отличающимся от года. В этом случае вместо n подставляется число периодов, а вместо i –ставка за период.
2. Начисление процентов m раз в год.
Здесь члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (сразу перепишем его в обратном порядке)
R , R (1 + j /m ) m , R (1 + j /m ) 2·m , … , R (1 + j /m ) (n – 1)n ,
где j – номинальная ставка процента.
Сумма членов этой геометрической прогрессии равна
. (70)
Пример 46.
В конце каждого года клиент может вложить в банк 1 млн. руб. Какая сумма будет на счете через 3 года? i = 4%
Графическая иллюстрация
0 1 2 3
наращение S = ?
p - СРОЧНАЯ РЕНТА
1. Начисление процентов один раз в год (m = 1).
Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент же начисляется один раз в год. Если годовая сумма платежей равна R , то каждый раз выплачивается R/p . Общее число членов ренты равно n·p . Ряд членов этой ренты с начисленными процентами представляет геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем – (1 + i ) 1/p .Сумма членов этой прогрессии
. (71)
2. Начисление процентов (число раз) совпадает с числом выплат в год.
На практике такие случаи встречаются достаточно часто. Здесь p = m , и подставляя в формулу (67) вместоi – j/m , а вместо числа лет – число периодов выплат ренты n·p = n·m , и учитывая, что член ренты равен R/p = R/m получим:
. (72)
3. Общий случай.
Здесь мы имеем p выплат в год, на которые проценты начисляются m раз (p ¹ m ). Общее количество членов ренты равно n·p , величина члена ренты – R/p . Члены ренты с начисленными на них процентами образуют геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем (1 + j/m ) m/p . Сумма членов такой прогрессии (или, в нашем случае, наращенная сумма)
. (73)
Пример 47.
Клиент в течение 5 лет в конце каждого квартала перечисляет в банк по 200 руб. Какая сумма будет на счету в конце срока, если проценты начисляются: а) ежеквартально; б) по полугодиям. Процентная ставка – 6%.
При начислении процентов по полугодиям получим:
Следовательно, при изменении хотя бы одного из дополнительных условий финансовой ренты изменяется размер наращенной суммы.
Будущую стоимость обычной ренты с разными условиями платежа обозначим S (p , m) , т.е., например, годовая рента с начислением процентов в конце года будет записана S (1,1) , а годовая рента с начислением процентов m раз в году будет обозначена S (1, m) и т.д.
Сравним будущие стоимости обычных рент для одних и тех же размеров выплат и срока ренты, но с различными условиями платежа.
Пусть n = 5, R = 1, i = 0,08 (сложная процентная ставка):
а) для случая p = 1, m = 1:
Б) если p = 1, m = 2, то величина наращенной суммы будет равна
в) при p = 2, m = 1, т.е. полугодовая рента с начислением процентов в конце года приведет к следующей величине наращенной суммы:
г) при равенстве p и m, т.е., например, при p = 2, m = 2:
д) если p = 2, m = 4, т.е. при полугодовой ренте с ежеквартальным начислением процентов, получим следующую наращенную сумму:
е) для p = 4, m = 2:
С помощью приведенных неравенств можно заранее сравнить конечные результаты наращения потоков платежей, не прибегая к точным вычислениям. Покажем это на следующем примере: арендодатель предлагает арендатору ежемесячно (в конце месяца) переводить арендную плату в банк, где проценты будут начисляться ежеквартально (в конце квартала).
Арендатор же предлагает воспользоваться услугами другого банка, где проценты начисляются ежемесячно, но при этом предлагает вносить арендную плату ежеквартально (в конце каждого квартала).
Какой вариант платежей более выгоден арендодателю, если в течении года деньги будут оставаться на счете?
Воспользуемся приведенным неравенством для сопоставления наращенных сумм.
В первом варианте p = 12, m = 4, т.е. p>m>1.
Во втором варианте p = 4, m = 12, т.е. m>p>1.
Согласно приведенному выше неравенству наращенная сумма по варианту, предложенному арендатором, будет меньше, S 2
Приведем расчет наращенной суммы за год (n=1), приняв во внимание, что годовая арендная плата в том и другом вариантах равна R.
Тогда, воспользовавшись формулой (73), получим:
Во втором варианте наращенная сумма будет равна:
Таким образом, S 2
Точный расчет позволяет не только ответить на вопрос, какой вариант предпочтительнее для арендодателя, но и какова сумма дополнительной выгоды. В данном примере разница S 1 и S 2 составит 0,01568R или 1,568% годовой арендной платы.
Приведенные выше соотношения наращенных сумм при различных сочетаниях условий платежа и начисления процентов справедливы, когда процентная ставка не превышает 50%.
В табл. 8 представлены значения наращенной суммы для разных значений процентных ставок при следующих условиях: а) рента годовая (p=1), проценты начисляются по полугодиям (m=2), выплаты производятся на протяжении пяти лет (n=5) и R = 1; б) рента полугодовая (p=2), проценты начисляются 1 раз в год (m=1).
Таблица 8
Расчет наращенной суммы при различных сочетаниях m и p.
| Величина процентной ставки i, % | Наращенная сумма годовой ренты (p=1) при m=2 | Наращенная сумма полугодовой ренты (p=2) при m=1 |
| 6,1356 | 6,2541 | |
| 7,5893 | 7,7967 | |
| 9,4436 | 9,6769 | |
| 11,7994 | 11,9483 | |
| 14,7791 | 14,6694 | |
| 18,5302 | 17,9037 | |
| 23,2299 | 21,7196 | |
| 29,0890 | 26,1908 | |
| 36,3580 | 31,3963 | |
| 45,3320 | 37,4203 |
Соотношение 
наращенных сумм сохраняется для разных значений процентных ставок при i < 50%, но при i ≥ 50% оно составит 
Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения
Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:
В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.
Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:
Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).
Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем
Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем
В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле
Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.
Если срок наращения меньше года, то
Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и
Графически такая ситуация показана на рис.
т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:
Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:
Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.
При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем
Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:
Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям
Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем
Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем
Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:
- Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"
Дисконтирование
Современная стоимость (Возвращаемая сумма)Процентная ставка
Рис. 6. Логика финансовых операций
Математическое дисконтирование
Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i ? Решив уравнение (1) относительно P , находим:
(12)
Установленная таким путем величина P является современной величиной суммы S , которая будет выплачена через n лет. Выражение 1/(1 + n∙i ) называется дисконтным множителем , который показывает современную стоимость одной денежной единицы.
Разность (S – P ) можно рассматривать не только как проценты, начисляемые на P , но и как дисконт суммы S . Обозначим последний через D . Дисконт, как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.
Рассмотрим примеры.
Пример 8.
Через год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 220 тыс. руб. Какая сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если годовая ставка составляет 12%?
Дано: Решение:
S = 220 т.р. Представим задачу графически
n = 1 год
i = 12%; n = 1 г.
S = 120т.р.
дисконтирование
Используя
выражение
(12)
получим:
тыс. руб.
Пример 9.
Ссуда должна быть погашена через год в сумме 200 тыс. руб. Кредитор попросил погасить ссуду через 270 дней после выдачи под 10% годовых. Какую сумму получит кредитор? К = 365 дн.
Дано: Решение:
S = 200 тыс. руб. Изобразим задачу графически:
n = 1г.
n 1 = 270 дн.
i = 10%
n = 365-270
S = 200т.р.
дисконтирование
n 1 = 270
n 0 = 95 дн.
n = 365
Находим количество дней, оставшихся до погашения ссуды:
n 0 = n – n 1 = 365 – 270 = 95 (дн.)
Используя выражение (12) находим:
(тыс. руб.)
Банковский или коммерческий учет (учет векселей)
При учете векселя применяется банковский учет. Согласно этому методу проценты за использование ссуды в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d . (рис. 7)
Р дисконтирование (учет) S
Рис. 7
Дисконтирование с использованием простой учетной ставки
Расчетная формула для вычисления этих процентов выводится на основе следующих рассуждений.
Пусть с 1 руб. берется годовая учетная (дисконтная, авансовая) ставка d , тогда должник получает на руки сумму (1- d ) и по истечении срока должен вернуть 1 руб. То есть, если 1 руб. – это возвращаемая сумма S , то первоначальная сумма будет равна: P = S – d (при условии что срок равен одному году), или в нашем случае, P = 1 – d . Если значение S , Р и n – произвольны, то
P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d ), (13)
где S∙n∙d – величина дисконта, а n – срок от момента учета до даты погашения векселя. Величина (1 – n∙d ) называется дисконтным множителем при использовании учетной процентной ставки. Учет посредством учетной ставки осуществляется чаще всего при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды берется точное (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды).
Для уяснения практического приложения рассмотрим дисконтный вексель. Используя номинал векселя (S ) , учетную ставку (d ) , время, оставшееся до срока погашения (t ) , вычитают дисконт (D ) – скидку с номинала, т.е. разницу между S и Р .
Затем рассчитывают выкупную (фактурную) стоимость векселя до срока погашения
(13а)
Рассмотрим пример:
Пример 10.
Владелец векселя номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дн., за 15 дн. до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.
Дано: Решение:
S = 100 тыс. руб. Изобразим задачу графически:
Пер. обращение – 105 дн.
n = 15 дн.
Р - ? S = 100
n = 15 дн.
Используя выражение (13а) получим:
(тыс. руб.)
В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке наращения i и дисконтирование по учетной ставке d . В этом случае, полученная при учете сумма определиться как:
P` = P ∙ (1 + n ∙ i ) ∙ (1 – n` ∙ d ) (14)
S `
где P ( S ) – номинальная сумма; n – общий срок платежного обязательства; n ` - срок от момента учета до даты погашения платежа; Р` - сумма, полученная при учете обязательства.
Пример 11.
Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 12% годовых, подлежит погашению через 90 дн. Владелец обязательства (кредитор) учел его в банке за 15 дн. до наступления срока по учетной ставке 13,5%. Полученная сумма после учета составила:
Дано: Решение:
S = 400 тыс. руб. В этой задаче номинальная стоимость
n = 90 дн. (возвращаемая сумма) принимается за
n ` = 15 дн. первоначальную: S = P (см. график).
d = 13,5%
P (S ) =400 т.р. S `
i = 12%; n = 90 дн.
d = 13,5%; n ` = 15дн.
дисконтирование
P ` -?
1. Вначале определяем наращенную сумму обязательства S ` , принимая его номинальную стоимость за первоначальную сумму:
(тыс. руб.)
2. Находим полученную после учета сумму:
(тыс. руб.)
3. Используя выражение (14) получаем ту же сумму:
(тыс. руб.)
Необходимость использования простой учетной ставки для расчета наращенной суммы возникает в случае определения номинальной стоимости векселя при выдаче ссуды. В этом случае сумма долга, проставленная в векселе, будет равна
(15)
Величина 1/(1-n ∙ d ) в этом случае является множителем наращения при использовании простой учетной ставки.
Пример 12.
Предприниматель обратился в банк за ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласен выдать указанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке, равной 20%. Найти возвращаемую сумму.
Дано: Решение:
Р = 200 тыс. руб. В этой задаче наращение производится
n = 55 дн. по простой учетной ставке.
Р = 200 S - ?
наращение
d = 20; n = 55 дн.
Используя выражение (15) получим:
тыс.
руб.
Если бы сумма выдавалась под простую процентную ставку ( i ) , то наращенная сумма была бы равна тыс.руб . , т.е. наращение по учетной ставке идет быстрее и она менее выгодна должнику 206,111 < 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.
Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формулам:
, (16)
, (17)
где n –срок ссуды в годах; t – срок ссуды в днях; k – временная база.
Рассмотрим пример:
Пример 13.
Фирме необходим кредит в 500 тыс. руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возвращен в размере 600 тыс. руб. Учетная ставка 21% годовых. На какой срок банк предоставит кредит фирме? К = 365 дней
Дано: Решение:
S = 600 тыс. руб. Графическая иллюстрация задачи
Р = 500 тыс. руб.
Р = 500 т.р. S = 600 т.р.
d = 20%; n - ?
дисконтирование
При решении подобного рода задач проще воспользоваться выражением (17) , тогда срок кредита сразу получится в днях (при использовании выражения (16) срок будет выражен в долях года):
(дн.)
Величина учетной ставки рассчитывается по формулам:
, (18)
. (19)
Пример 14.
Контракт на получение ссуды в 500 тыс. руб. предусматривает возврат долга через 300 дней в сумме 600 тыс. руб. Определим примененную банком учетную ставку. К = 365 дней.
Дано: Решение:
Р = 500 тыс. руб.
S = 600 тыс. руб.
t = 300 дней
Р = 500 т.р. дисконтирование S = 600 т.р.
d = ? t = 300 дн.
По
формуле
(19)
получим:
или
d
= 20,27%
При
операциях с дисконтными финансовыми
инструментами учетная ставка иногда
может задаваться неявно: в виде общей
относительной доли уменьшения номинала
или как отношение дисконтированной
суммы к номиналу
;
тогда
d
находится как
или
(20)
где d ` - процент скидки; t – срок до учета (срок векселя).
Пример 15.
Размер удерживаемых процентов при выдаче полугодовой ссуды составляет 20% суммы ссуды. Определим заложенную учетную ставку процентов (дисконтную ставку). К = 365
Дано: Решение:
d ` = 20%
t = 0,5 г.(180 дн.)
К = 365 дн.
d
- ?
Пример 16.
Государственные краткосрочные трехмесячные векселя котируются по курсу 90. Вычислим учетную ставку. К =360.
Дано: Решение:
P / S = 0,9 скидка в нашем случае: 1 – 0,9 = 0,1
d
- ? тогда:
