Основы национальной экономики Межотраслевой баланс. Межотраслевые балансовые модели
Как говорилось ранее, межотраслевой баланс имеет огромное влияние на экономику, и его рассчитывают не только в России, но также и во многих других странах. Но почему данный баланс имеет такое огромное значение для экономики? И почему он используется во многих странах?
Все потому, что межотраслевой баланс Леонтьева позволяет производить множество анализов. Теория межотраслевого баланса позволяет:
произвести анализ и прогнозирование развития основных отраслей национальной экономики на различных уровнях -- региональном, внутриотраслевом, межпродуктовом;
произвести объективное и актуальное прогнозирование темпов и характера развития национальной экономики;
определить характеристику основных макроэкономических показателей, при которых наступит состояние равновесия национальной экономики. В результате воздействия на них приблизиться к равновесному состоянию;
определить ресурсоемкость всей национальной экономики и отдельных ее отраслей;
определить направления повышения эффективности и рационализации международного и регионального разделения труда.
Ранее можно было видеть, как выглядит таблица «Затраты - выпуск» для целой страны. А именно для России. Данная таблица довольно объемная и выглядит сложной для понимания. Теперь давайте разберемся в составлении данных таблиц и в их расчетах. но для этого необходимо узнать, как эти таблицы составляются.
Общая схема таблиц «Затраты-выпуск» представлена в таблице 2.11
Таблица 2.11
Общая схема таблиц «Затраты-выпуск»
При составлении таблиц «Затраты-выпуск» используются классификаторы видов экономической деятельности, отраслей и продуктов (ОКВЭД) и (ОКПУД).
В таблицах выделяются три блока так называемых квадрантов. В I и II квадрантах отражаются соответственно промежуточный (производственный) и конечный спрос на ресурсы, в III квадранте -- добавленная стоимость по отраслям производства.
Основное внимание в этих таблицах уделяется взаимосвязи отраслей по производству и использованию их продукции. В сказуемом таблицы приводятся отрасли-потребители продукции, в подлежащем -- отрасли-поставщики.
Таким образом, по столбцам I и III квадрантов сумма промежуточного потребления и ДС представляет собой затраты на производство, а по строке I и II квадрантов сумма промежуточного и конечного спроса характеризует использование ресурсов.
Система таблиц «Затраты-выпуск», предлагаемая для разработки руководством ООН по национальным счетам 1993 г., включает в себя последовательность таблиц, характеризующих формирование ресурсов страны, направление их использования, образование добавленной стоимости, трансформацию стоимости товаров и услуг в основных ценах в стоимость в ценах покупателей.
Набор этих таблиц состоит из:
таблиц ресурсов и использования;
симметричных таблиц «Затраты-выпуск»;
таблиц торгово-транспортных наценок;
таблиц налогов и субсидий на продукты;
таблиц использования импортной продукции.
Таблица «Ресурсы товаров и услуг», представленная в табл. 2.12, детально описывает процесс формирования ресурсов товаров и услуг по экономике страны за счет собственного производства и импорта.
Таблица 2.12
Ресурсы товаров и услуг
Таблица «Ресурсов» состоит из двух частей. В первой части таблицы отражается формирование ресурсов товаров и услуг за счет собственного производства и импорта. Во второй части дается количественная характеристика основных компонентов рыночной цены покупателей: налоги (Н); субсидии (С), торгово-транспортная наценка (ТТН).
Таблица «Использование» является логическим продолжением таблицы «Ресурсов». В ней дается подробная характеристика распределения располагаемых ресурсов по направлениям использования. Выделяется промежуточное (производственное) и конечное использование.
Таблица «Использование» строится по общей схеме таблиц «Затраты-выпуск», т.е. состоит из трех квадрантов и представляет собой вид «отрасль х продукт».
В I квадранте таблицы показывается промежуточное потребление по столбцам -- отраслей, по строкам -- групп товаров и услуг.
Во II квадранте таблицы -- конечное использование, которое подразделяется на следующие элементы:
расходы на конечное потребление ДХ;
расходы на конечное потребление некоммерческих организаций, обслуживающих ДХ;
расходы на конечное потребление государственного управления;
валовое накопление основного капитала;
изменение запасов материальных оборотных средств; чистое приобретение ценностей;
экспорт товаров и услуг.
Таблица 2.13
Использование товаров и услуг
В III квадранте таблицы «Использование» показывается образование добавленной стоимости по отраслям экономики. Основные компоненты ДС, выделяемые в этом квадранте, соответствуют компонентам счета образования доходов. Это: оплата труда наемных работников; валовой смешанный доход; другие чистые налоги на производство; потребление основного капитала; валовая прибыль; косвенно измеряемые услуги финансового посредничества. В рамках СНС таблицы ресурсов и использования выполняют функции инструмента для согласования статистических данных, получения добавленной стоимости по отраслям, конечного спроса по продуктам, как в текущих, так и в сопоставимых ценах. Это достигается тем, что метод сопоставления этих таблиц предполагает согласование данных о располагаемых ресурсах (производство + импорт) с данными об использовании ресурсов по каждой группе товаров и услуг на достаточно высоком уровне детализации. Такой метод в статистике называется метод товарных потоков.
Симметричные таблицы «Затраты - выпуск» представляют собой таблицы по типу «продукт х продукт». В этой таблице предполагается, что отрасль представляет собой совокупность однородных продуктов. В подлежащем и сказуемом I квадранта выделяется одинаковая номенклатура отраслей. Ранее уже было показано, как должна выглядеть таблица межотраслевого баланса в общем виде. Теперь давайте рассмотрим ее на примере некоторых отраслей, представленных в табл. 2.14.
Таблица 2.14
Анализ общей структуры межотраслевого баланса
|
Конечный продукт |
Валовой продукт |
||||||||
|
X 1i |
X 1n |
УX 1j |
|||||||
|
X 2i |
X 2n |
УX 2j |
|||||||
|
I квадрант |
II квадрант |
||||||||
|
P i |
X i 1 |
X i 2 |
X ii |
X in |
УX ij |
Y i |
X i |
||
|
P n |
X n 1 |
X n 2 |
X ni |
X nn |
УX nj |
||||
|
УX k 1 |
УX k 2 |
УX ki |
УX kn |
УУX kj |
УY k |
УX k |
|||
|
Условно чистая продукция |
V i |
V n |
УV j |
IV квадрант |
|||||
|
III квадрант |
|||||||||
|
Валовой продукт |
X i |
УX j |
Давайте теперь подробно разберем значения не только каждой строки, но и каждого столбца для того, что бы в дальнейшем мы смогли сами правильно составить и рассчитать данную таблицу на примере уже своих 5 отраслей.
Первый квадрант. В таблице каждая отрасль представлена двояким образом. Как элемент строки, она выступает в роли поставщика производимой ею продукции, а как элемент столбца - в роли потребителя продукции других отраслей экономической системы.
Если Р 1 - производство электроэнергии, а P 2 - угольная промышленность, то Х 12 - годовые затраты электроэнергии на производство угля, а Х 21 - аналогичные затраты угля на производство электроэнергии. Р 1 выступает как поставщик электроэнергии и как потребитель угля. Отрасль Р 1 является также потребителем собственной продукции. Электроэнергия стоимостью Х 11 денежных единиц используется внутри отрасли на обеспечение работы электротехники, на освещение производственных помещений и т. д. Аналогичный смысл имеет X 22 и все X ii . В общем случае, Х i 1 , Х i 2 , ..., Х ii , ..., Х in - объемы поставок продукции i -й отрасли отраслям, входящим в экономическую систему. Сумма этих поставок
X i 1 + X i 2 +…+ X in = У X ij
выражает суммарное производственное потребление продукции Р i и записывается в i -й строке (n + 1)-го столбца таблицы.
В нашем примере
X 11 + X 12 +…+ X 1n = У X 1j
есть суммарное производственное потребление электроэнергии, а
X 21 + X 22 +…+ X 2n = У X 2j
Суммарные затраты угля на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему.
Посмотрим теперь на P i как на элемент столбца. В столбце с номером i расположены объемы текущих производственных затрат продукции отраслей, входящих в экономическую систему, на производство продукции i -й отрасли. В (n + 1)-й строке указанного столбца записана сумма текущих производственных затрат Р i за год:
= X 1i + X 2i + … +X ni
Просуммировав первые n элементов (n + 1)-й строки, получим величину текущих производственных затрат всех отраслей:
+ +…++…+= (1)
Сумма первых n элементов (n + 1)-го столбца
+ +…++…+= (2)
есть стоимость продукции всех отраслей, которая была использована на текущее производственное потребление.
Нетрудно убедиться в том, что суммы (1) и (2) состоят из одних и тех же слагаемых (всех X kj ) и поэтому равны между собой:
Равенство (3) означает, что текущие производственные затраты всех отраслей равны их текущему производственному потреблению . Число есть так называемый промежуточный продукт экономической системы.
Элементы, стоящие на пересечении первых (n + 1) строк и первых (n + 1) столбцов, образуют первый квадрант (четверть). Это важнейшая часть межотраслевого баланса, поскольку именно в ней содержится информация о межотраслевых связях.
Второй квадрант расположен в таблице справа от первого. Он состоит из двух столбцов. Первый из них - столбец конечного потребления продукции отраслей. Под конечным потреблением понимают личное и общественное потребление, не идущее на текущие производственные нужды. Сюда включаются накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата и оборону, затраты по обслуживанию населения (здравоохранение, просвещение и т. д.), сальдо экспорта и импорта продукции. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей. Суммарный (валовой) выпуск i -й отрасли определяется как
Равенство (4) означает, что вся произведенная i -й отраслью продукция потребляется. Часть ее, в форме суммарного производственного потребления продукции P i идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного продукта.
Так, часть продукции угольной промышленности, как мы уже отмечали, используется внутри экономической системы, а другая - в качестве сырья, топлива - будет потреблена отраслями, не вошедшими в состав экономической системы, и составит часть экспорта страны, пойдет на отопление жилищ и т. п.
Квадранты I и II отражают баланс между производством и потреблением .
Ко второму квадранту относится также и та часть (n +1)-й строки, в которой расположены суммарный конечный продукт
и суммарный валовой продукт
Третий квадрант расположен в таблице под первым. Он состоит из двух строк. Одна из них содержит объем валового продукта по отраслям, а другая - условно чистую продукцию отраслей V 1 , V 2 ,..., V n . В состав условно чистой продукции входят амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов, заработная плата, прибыль и т.д.
Она определяется как разность между валовым продуктом отрасли и суммой ее текущих производственных затрат. Так, для Р i имеет место равенство
Первый и третий квадранты отражают стоимостную структуру продукции каждой отрасли. Так, равенство (5) показывает, что стоимость валового продукта X i i -й отрасли складывается из стоимости той части продукции отраслей системы, которая была использована для производства Х i , из амортизационных отчислений, затрат на оплату труда, из чистого дохода отрасли, из стоимости ресурсов, не производящихся внутри экономической системы, и т.д.
Используя равенства (4) и (5), подсчитаем суммарный валовой продукт.
Из (4) следует, что
а из (5) получаем:
Вторые слагаемые в правых частях равенств (6) и (7) выражают одну и ту же величину - промежуточный продукт. Отсюда и из равенства левых частей (6) и (7) делаем вывод о равенстве первых слагаемых:
Итак, суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции.
Четвертый квадрант непосредственного отношения к сфере производства не имеет, поэтому мы его заполнять не будем.
В IV квадранте показывается, как полученные в сфере материального производства первичные доходы населения (заработная плата, личные доходы членов кооперативов, денежное довольствие военнослужащих и т. д.), государства (налоги, прибыль с производства государственного сектора и т. д.), кооперативных и других предприятий перераспределяются через различные каналы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно-политические организации и т. д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т. д.
Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой инструмент анализа и прогнозирования структурных взаимосвязей в экономике. Метод его построения состоит в двойственном рассмотрении различных отраслей и секторов экономики: с одной стороны, как потребляющих продукцию, с другой - как выпускающих те или иные виды товаров и услуг для собственного потребления и нужд других отраслей экономики.
Межотраслевой баланс - это "шахматная таблица" отраслей, в которой по вертикали показываются материальные затраты на производство продукции определенной отрасли хозяйства, по горизонтали - количество продукции, переданное из данной отрасли в другие на производственные нужды (промежуточный продукт), а также конечное потребление продукции отраслью. Используя эти данные, можно определить удельные затраты какого-либо ресурса на выпуск конечного продукта. Для этого выбранный показатель столбца или строки делится на величину валового продукта. Например, разделив величину затрат электроэнергии на объем продукции машиностроения, получим удельное электропотребление машиностроительного производства.
В мировую экономическую мысль эта модель вошла из публикаций Василия Леонтьева, известного американского экономиста русского происхождения. В. Леонтьев создал научно обоснованный метод "затраты-выпуск", который позволяет анализировать межотраслевые связи в национальном хозяйстве и определять возможные направления оптимизации отраслевой структуры. За это научное достижение ему была присуждена Нобелевская премия.
В общем виде модель МОБ Леонтьева имеет следующий вид:
где X- объем производства какой-либо отрасли;
Y - конечный продукт этой отрасли;
А - матрица технологических коэффициентов прямых затрат
aij, которые показывают, сколько продукции отрасли необходимо затратить для производства единицы продукции отрасли.
Данная модель показывает взаимосвязь производства и конечного продукта. Она развертывается в систему уравнений, где отображены различные отрасли со специфическими технологическими коэффициентами.
Применение таблиц "затраты-выпуск" дает возможность проследить, каким образом рост производства какой-либо отрасли вызывает адекватный рост остальных отраслей.
Модель МОБ применяется для специального анализа макроэкономического равновесия трудовых ресурсов общества и объемов выпуска продукта, производства и распределения основных производственных фондов для других целей. Межотраслевой баланс позволяет провести анализ взаимозависимости цен в макроэкономике, оценить материальные и трудовые издержки, определить добавленную стоимость. Метод "затраты - выпуск" предоставляет информацию, которую практически невозможно получить, применяя другие методы и модели макроэкономического анализа.
Однако с точки зрения экономического прогнозирования эта модель имеет существенный недостаток, который усугубляется при прогнозировании динамически развивающегося общества. Модель демонстрирует формулу экономического развития на базе уже сложившихся технологических коэффициентов. При экстенсивном развитии этот вариант возможен, но в условиях интенсификации производства технологические коэффициенты становятся подвижными, поэтому делать прогнозы на основе старых пропорций не вполне обоснованно.
"Межотраслевой баланс" и другие
О планировании сказано достаточно. Независимо от нашего отношения к этому процессу, мы все время сталкиваемся с необходимостью сопоставлять свои силы со своими желаниями. И если в жизни одного-двух человек можно и ошибиться с планами, то на экономике государства, а то и целого союза держав, неверно соотнесенные затраты с прибылью могут сказаться катастрофически. Поэтому в современной экономике межотраслевой баланс со своей детализацией производства товаров и услуг занимает ведущее место.
Балансовая модель - что это?
Экономико-математическое моделирование систем и производственных процессов активно использует так называемые балансовые модели, основанные на сопоставлении и оптимизации имеющихся ресурсов. С точки зрения математики, предполагает построение системы уравнений, которые описывают условия равенства между производимой продукцией и потребностью в этих товарах.
Исследуемая группа чаще всего состоит из нескольких экономических объектов, часть продукции которых потребляется внутри, а часть выводится за ее рамки и воспринимается как «конечный продукт». Балансовые модели, которые используют понятие «ресурс», а не «продукт», дают возможность управлять оптимальным расходованием ресурсов.
Что дает модель
Метод межотраслевого баланса - один из важнейших элементов экономической аналитики. Он представляет собой матрицу коэффициентов, отражающих расходование ресурсов по заданным направлениям использования. Для проведения расчетов составляется таблица, ячейки которой заполняются нормативами на изготовление единицы продукции.
В силу сложности системы использовать реальные показатели какого-то одного предприятия не представляется возможным. Поэтому коэффициенты (нормативы) рассчитываются на так называемую «чистую отрасль», т. е. такую, которая объединяет все производственные предприятия без оглядки на ведомственную подчиненность или форму собственности. Это создает существенные проблемы при подготовке информационной составляющей для систем.
Нобелевская премия за модель
Впервые о необходимости найти баланс производства между разными отраслями предложили советские экономисты, изучавшие развития народного хозяйства за 1923-1924 годы. Первые предложения содержали лишь информацию о качестве связей между производственными отраслями и об использовании произведенной продукции.
Но реального практического применения эти идеи не нашли. Спустя несколько лет экономист В. В. Леонтьев сформулировал важность межотраслевых связей в экономике. Его работа была посвящена созданию позволявшей не только анализировать текущее состояние экономики государства, но и моделировать возможные сценарии развития.
Межотраслевой баланс получил в мире название метода «затраты-выпуск». А в 1973 году ученый был удостоен Нобелевской премии по экономике за разработку прикладной модели межотраслевого анализа.
Как использовалась модель
Впервые модель межотраслевого баланса Леонтьев применил для анализа состояния экономики США. К тому времени теоретические постулаты приобрели форму реальных линейных уравнений. Этот расчет показал, что коэффициенты, предложенные учеными в качестве показателей взаимосвязей между отраслями, достаточно стабильны и постоянны.
Во время Второй Мировой войны Леонтьевым был проанализирован межотраслевой баланс экономики гитлеровской Германии. По результатам этого исследования американские военные определили стратегически значимые цели. А по окончании войны качество и объем Ленд-лиза снова-таки определялся на базе информации, полученной через модель межотраслевого баланса Леонтьева.
В Советском Союзе такую модель строили 7 раз, начиная с 1959 года. Ученые предполагали, что на протяжении пяти лет экономические связи можно считать стабильными, поэтому и все условия считались статичными. Тем не менее, методика не получила широчайшего распространения, т. к. на взаимосвязи производственных отраслей в большей степени влияла политическая конъюнктура. Реальные же экономические связи рассматривались как второстепенные.
Суть понятия
Модель межотраслевого баланса - это определение взаимосвязей между выпуском продукции в одной отрасли и затратами и потреблением товаров всех отраслей, задействованных в производстве этой продукции. Например, для добычи угля необходимы стальные инструменты; в то же время для выплавки стали нужен уголь. Так вот, задача межотраслевого баланса заключается в том, чтобы найти такое соотношение угля и стали, при котором экономический результат будет максимальным.
В более широком понимании можно говорить, что по результатам построенной модели можно определять эффективность производства вообще, находить оптимальные методы ценообразования и выявлять наиболее значимые факторы экономического роста. Кроме того, этот метод позволяет заниматься прогнозированием.
Основные задачи
- Структуризация исходя из материально-вещественного состава отраслевых ресурсов.
- Иллюстрация процессов выпуска продукции и ее распределения.
- Детальное исследование производственного процесса, создания товаров и услуг, накопления доходов на уровне
- Оптимизация выявленных существенных факторов производства.
Для метода «затраты-выпуск» определены аналитическая и статистическая функции. Аналитическая позволяет прогнозировать динамические процессы развития отраслей и экономики в целом; моделировать ситуации, изменяя различные данные и показатели. Статистическая функция обеспечивает проверку согласованности информации, поступающей из различных источников - от предприятий, региональных бюджетов, налоговых служб и т. д.
Математический вид модели
С точки зрения математики, балансовая модель - это система дифференцированных уравнений (и не всегда линейных), которые отображают условия равновесия между произведенной в отрасли совокупной продукцией и потребностью в ней.
Модели экономических систем чаще всего представляются в виде таблицы (см. рис.). В ней совокупный продукт разделяется на 2 части: внутренний (промежуточный) и конечный. Народное хозяйство рассматривается как система из n чистых отраслей, каждая из которых выступает в роли производящей и потребляющей.
Квадранты
Межотраслевой баланс Леонтьева разделен на четыре части (квадранта). Каждый квадрант (на рис. они обозначены цифрами 1-4) имеет свое экономическое содержание. В первом отображаются межотраслевые материальные связи - это своего рода шахматка. Коэффициенты, расположенные на пересечении строк и столбцов, обозначаются XY и содержат информацию о потоке продукции между отраслями. Х и Y - номера отраслей, которые производят и потребляют продукцию. Обозначение х23, например, следует трактовать так: стоимость средств производства, выпущенных в отрасли 2 и потребленных в отрасли 3 (материальные затраты). Сумма всех элементов первого квадранта представляет собой годовой фонд возмещения материальных затрат.
Второй квадрант представляет собой совокупность конечной продукции всех производственных отраслей. Конечным называется продукт, который выходит за рамки производственной сферы в область конечного потребления и накопления. Развернутая схема баланса иллюстрирует направления использования такого товара: общественное и личное потребление, накопление, возмещение и экспорт.
Отметим, что общий итог второго, третьего и четвертого квадрантов (каждого в отдельности) должен быть равен созданному за год продукту.
Система уравнений
Несмотря на то что валовый общественный продукт формально не входит в состав ни одной из вышеперечисленных частей, он все же присутствует в балансе. Столбец, который находится справа от второго квадранта, и строка, расположенная под третьим, отображают валовый Информация, полученная из названных элементов, позволяет проверить правильность заполнения всего баланса. Кроме того, с ее помощью можно составить экономико-математическую модель.
Обозначив валовый продукт отрасли через Х с индексом, соответствующим номеру этой отрасли, можно сформулировать два основных соотношения. Экономический смысл первого уравнения сводится к следующему: сумма материальных затрат любой ветви хозяйства и ее чистой продукции равен валовому продукту описываемой отрасли (столбцы).
Второе уравнение межотраслевого баланса показывает, что сумма материальных затрат потребляющих какой-то товар и конечный продукт той или иной сферы представляют собой валовую продукцию отрасли (строки баланса).
Конечный вид системы уравнений
С учетом всех названных формул, в модель вводятся такие понятия:
- матрица коэффициентов прямых затрат А = {ау};
- вектор валовой продукции Х (столбец);
- вектор конечной продукции У (столбец).
Модель в матричной форме будет описана соотношением:
Осталось только напомнить, что баланс составляется как в натуральных величинах, так и в денежном измерении.
Межотраслевой баланс (МОБ , модель «затраты–выпуск» , метод «затраты–выпуск» ) - экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.
Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений . Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостной состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
В Модели МОБ выделяются четыре квадранта . В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором - структура конечного использования ВВП , в третьем - стоимостная структура ВВП, а в четвёртом - перераспределение национального дохода.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны В. В. Леонтьевым в Берлине, русскую версию его статьи под названием «Баланс народного хозяйства СССР » опубликовал журнал «Плановое хозяйство» в № 12 за 1925 год . В своей статье учёный показал, что коэффициенты, выражающие связи между отраслями экономики , достаточно стабильны и их можно прогнозировать .
В 1930-е годы В. В. Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США . Метод стал известен под названием «затраты - выпуск». Во время Второй мировой войны разработанная Леонтьевым матрица «затраты - выпуск» для экономики Германии служила для выбора целей ВВС США . Аналогичный баланс для СССР, разработанный Леонтьевым, использовался властями США для принятия решения об объёмах и структуре Ленд-лиза .
Признавая, что по ряду направлений советские межотраслевые исследования занимали достойное место в мировой науке , Леонтьев отчетливо понимал, что теоретические разработки советских ученых не находят практического применения в реальной экономике, где все решения принимались исходя из политической конъюнктуры:
Западные экономисты часто пытались раскрыть «принцип» советского метода планирования. Они так и не добились успеха, так как до сих пор такого метода вообще не существует .
Математическое описание модели Леонтьева
Пусть y i {\displaystyle y_{i}} - конечный выпуск (для конечного потребления) продукции i-й отрасли, а y = (y 1 , y 2 , . . . , y n) T {\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})^{T}} - вектор конечного выпуска (для конечного потребления) всех отраслей i=1..n. Обозначим A {\displaystyle A} - матрица технологических коэффициентов, где элементы матрицы a i j {\displaystyle a_{ij}} - необходимый объем продукции i-ой отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли. Пусть также x i {\displaystyle x_{i}} - совокупный выпуск i-й отрасли, соответственно x = (x 1 , x 2 , . . . x n) T {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...x_{n})^{T}} - векторы совокупного выпуска всех отраслей.
Совокупный выпуск всех отраслей x {\displaystyle x} складывается из двух компонент - выпуска для конечного потребления y {\displaystyle y} , и выпуска для межотраслевого потребления (для обеспечения производства продукции других отраслей). Выпуск для межотраслевого потребления с помощью матрицы технологических коэффициентов определяется как A x {\displaystyle Ax} , соответственно в сумме с конечным потреблением y {\displaystyle y} получим совокупный выпуск x {\displaystyle x} :
X = A x + y {\displaystyle x=Ax+y}
X = (I − A) − 1 y {\displaystyle x=(I-A)^{-1}y}
Матрица (I − A) − 1 {\displaystyle (I-A)^{-1}} - матричный мультипликатор, поскольку фактически полученное выражение справедливо (в силу линейности модели) и для приращений выпусков:
Δ x = (I − A) − 1 Δ y {\displaystyle \Delta x=(I-A)^{-1}\Delta y}
Модель называется продуктивной, если все элементы вектора x {\displaystyle x} являются неотрицательными. Достаточным условием продуктивности модели является обратимость и неотрицательная определенность обратимость матрицы I − A {\displaystyle I-A} .
Двойственная модель Леонтьева
Двойственной к модели Леонтьева является следующая
P = A T p + ν {\displaystyle p=A^{T}p+\nu }
где p {\displaystyle p} - вектор цен отраслей, ν {\displaystyle \nu } - вектор добавленных стоимостей на единицу продукции, A T p {\displaystyle A^{T}p} - вектор затрат отраслей на единицу выпуска. Соответственно, p-A^Tp - вектор чистого дохода на единицу выпуска, который и приравнивается к вектору добавленных стоимостей, соответственно решение двойственной модели
P = (I − A T) − 1 ν {\displaystyle p=(I-A^{T})^{-1}\nu }
Пример расчета межотраслевого баланса
Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали, а некоторое количество стали - в виде инструментов - нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля - 0,1 т стали.
Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был 200 000 тонн угля, а чёрной металлургии - 50 000 тонн стали. Если они будут производить только 200 000 и 50 000 тонн соответственно, то часть их продукции будет использована ими же и чистый выход будет меньше.
Действительно, для производства 50 000 тонн стали требуется 3 ⋅ 5 ⋅ 10 4 = 15 ⋅ 10 4 {\displaystyle 3\cdot 5\cdot 10^{4}=15\cdot 10^{4}} тонн угля и чистый выход из 200 000 тонн произведенного угля будет равен: 2 ⋅ 10 5 − 1 , 5 ⋅ 10 5 {\displaystyle 2\cdot 10^{5}-1,5\cdot 10^{5}} = 50 000 тонн угля. Для производства 200 000 тонн угля нужно 0 , 1 ⋅ 2 ⋅ 10 5 {\displaystyle 0,1\cdot 2\cdot 10^{5}} = 20 000 тонн стали и чистый выход из 50 000 тонн произведенной стали будет равен 5 ⋅ 10 4 − 2 ⋅ 10 4 {\displaystyle 5\cdot 10^{4}-2\cdot 10^{4}} = 30 000 тонн стали.
То есть, для того, чтобы произвести 200 000 тонн угля и 50 000 тонн стали, которые могли бы потребить отрасли не производящие уголь и сталь (чистый выпуск), нужно дополнительно производить уголь и сталь, которые используются для их производства. Обозначим x 1 {\displaystyle x_{1}} - необходимое общее количество угля (валовый выпуск), x 2 {\displaystyle x_{2}} - необходимое общее количество (валовый выпуск) стали. Валовый выпуск каждой продукции является решением системы уравнений:
{ x 1 − 3 x 2 = 2 ⋅ 10 5 − 0 , 1 x 1 + x 2 = 5 ⋅ 10 4 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}x_{1}-3x_{2}&=2\cdot 10^{5}\\-0,1x_{1}+x_{2}&=5\cdot 10^{4}\\\end{array}}\right.}
Решение: 500 000 т угля и 100 000 т стали. Для систематического решения задач расчета межотраслевого баланса находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т каждого продукта.
{ x 1 − 3 x 2 = 1 − 0 , 1 x 1 + x 2 = 0. {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}x_{1}-3x_{2}&=1\\-0,1x_{1}+x_{2}&=0.\\\end{array}}\right.}
X 1 = 1 , 42857 {\displaystyle x_{1}=1,42857} и x 2 = 0 , 14286 {\displaystyle x_{2}=0,14286} . Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска т угля, нужно умножить эти числа на 2 ⋅ 10 5 {\displaystyle 2\cdot 10^{5}} . Получим: (285714 ; 28571) {\displaystyle (285714;28571)} .
Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т стали:
{ x 1 − 3 x 2 = 0 − 0 , 1 x 1 + x 2 = 1. {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}x_{1}-3x_{2}&=0\\-0,1x_{1}+x_{2}&=1.\\\end{array}}\right.}
X 1 = 4.28571 {\displaystyle x_{1}=4.28571} и x 2 = 1.42857 {\displaystyle x_{2}=1.42857} . Для чистого выпуска т стали нужно: (214286; 71429).
Валовый выпуск для производства 2 ⋅ 10 5 {\displaystyle 2\cdot 10^{5}} тонн угля и 5 ⋅ 10 4 {\displaystyle 5\cdot 10^{4}} тонн стали: (285714 + 214286 ; 28571 + 71429) = (500000 ; 100000) {\displaystyle (285714+214286;28571+71429)=(500000;100000)} .
Динамическая модель МОБ
Первая в СССР и одна из первых в мире динамическая межотраслевая модель национальной экономики была разработана в Новосибирске доктором экономических наук Н. Ф. Шатиловым . Эта модель и анализ расчетов по ней описаны в его книгах: «Моделирование расширенного воспроизводства» (М., Экономика, 1967), «Анализ зависимостей социалистического расширенного воспроизводства и опыт его моделирования» (Новосибирск: Наука, Сиб.отд., 1974), и в книге «Использование народно-хозяйственных моделей в планировании» (под ред. А. Г. Аганбегяна и К. К. Вальтуха; М.: Экономика, 1974).
В дальнейшем, под разные конкретные задачи, разрабатывались и другие динамические модели МОБ.
На основе модели межотраслевого баланса Леонтьева и собственного опыта основатель «Научной школы стратегического планирования» Н.И. Ведута (1913-1998) разработал свою динамическую модель МОБ.
В его схеме системно согласованы балансы доходов и расходов производителей и конечных потребителей - государства (межгосударственного блока), домашних хозяйств, экспортёров и импортёров (внешнеэкономический баланс).
Динамическая модель МОБ разработана им методом экономической кибернетики. Она представляет собой систему алгоритмов, эффективно увязывающих задания конечных потребителей с возможностями (материальными, трудовыми и финансовыми) производителей всех форм собственности. На основе модели определяется эффективное распределение государственных производственных инвестиций. Внедрив динамическую модель МОБ, руководство страны получает возможность корректировать в режиме реального времени цели развития в зависимости от уточненных производственных возможностей резидентов и динамики спроса конечных потребителей. Динамическая модель МОБ изложена в книге «Социально эффективная экономика», опубликованной в 1998 году.
Введение..................................................................................................... 3
1. Модель межотраслевого баланса............................................ 4
1. 1. Динамическая модель Леонтьева.................................................... 7
1. 2. Построение динамической модели Леонтьева............................. 12
2. Модель Неймана............................................................................... 16
Заключение............................................................................................. 20
Cписок литературы............................................................................. 21
Динамические модели экономики - модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.
В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый “способ” говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y), а также критерия оптимальности.
Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.
С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.
С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрела динамическая модель фон Неймана. Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики, к которым относятся динамические модели межотраслевого баланса, а также производственная функция, теория экономического роста.
Межотраслевое моделирование является частью макроэкономического
моделирования и служит для анализа и оценки состояния общего экономического равновесия национальной экономики. Национальная
экономика в межотраслевом балансе представлена рядом чистых отраслей,
связанных между собой финансовыми потоками от реализации продукции,
работ и услуг. Чистые отрасли – это условные отрасли, представляющие
производство одного или нескольких однородных продуктов.
Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических моделей экономики; основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей: напр., капитальных вложений и основных фондов (что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).
Основные предположения модели межотраслевого баланса:
· каждая отрасль выпускает ровно один продукт
· каждый продукт выпускается ровно одной отраслью
Число продуктов равно числу отраслей
Измерять интенсивность работы отрасли можно объёмом выпуска соответствующего продукта
· затраты любого продукта в каждой отрасли прямо пропорциональны её интенсивности
Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам. Главные показатели здесь – коэффициенты полных и прямых затрат.
Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.
Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.
Таблица межотраслевого баланса производства и распределения
продукции,работ и услуг
В первом квадранте отражены данные о взаимных поставках продукции,
работ, услуг между отраслями. Первый квадрант называется квадрантом
промежуточного потребления и характеризует промежуточное потребление
(затраты) или промежуточный спрос отраслей при производстве продукции,
работ, услуг:
X ij – стоимость продукции i -й отрасли, поставленной в j -ю отрасль в
течение года, или стоимость продукции i -й отрасли, потребленной j -й
отраслью в течение года;
i -я строка – промежуточное потребление продукции i -й отрасли всеми
отраслями;
j -й столбец – потребление (затраты) в j -й отрасли продукции всех
отраслей при производстве своей продукции;
X i – стоимость валового продукта, произведенного i -й отраслью в
течение года.
Второй квадрант называется квадрантом конечного использования
(потребления) или конечного спроса. В нем представлено конечное использование продукции отраслей, распределенное на конечное потребление (С i ), инвестиции (I i ), экспорт (E i ) и импорт (M i ), сальдо во внешней торговле (E i – M i ). Конечное потребление включает потребление домашних хозяйств (населения), государства и некоммерческих организаций.
Третий квадрант называется квадрантом добавленной стоимости. В нем
представлена добавленная стоимость, присоединенная в отраслях к затратам
продукции других отраслей при производстве продукции, работ, услуг.
Добавленная стоимость, произведенная в отраслях народного хозяйства,
включает: оплату труда (V j ), амортизацию (потребление основного капитала)
(C j ), чистый доход (m j ). Четвертый квадрант не заполняется.
В состав отраслей в МОБ входят отрасли материального производства:
промышленность (энергетика, машиностроение, легкая и пищевая
промышленность, строительство, сельское хозяйство) и отрасли
нематериальных услуг (жилищно-коммунальное хозяйство, банковская сфера, здравоохранение, образование, наука и др.). В реальный межотраслевой баланс входит около 30 отраслей. Межотраслевой баланс за прошедший год называется отчетным межотраслевым балансом.
Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты – выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.
Метод “затраты – выпуск” стал универсальным способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики. Он применяется в системе ООН, в США и других странах для прогнозирования и планирования экономики, структуры производства, межотраслевых связей.
В динамических моделях отражается процесс развития экономики. В них
производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной
продукции, исследуется их структура и влияние на рост объема производства.
Схема динамического межотраслевого баланса представлена в таблице
Таблица содержит две матрицы. Элементы второй матрицы показывают, какое количество продукции i -й отрасли направлено в текущем периоде в j -ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в основные и оборотные средства.
В динамической схеме конечный продукт у i включает продукцию i- й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление
непроизводственной сферы, незавершенное строительство, на экспорт. Все
показатели даны в стоимостной форме.
В таблице выполняются следующие балансовые соотношения:
Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся к периоду
(t- 1,t ). Динамика задается дополнительными соотношениями:
Экономический смысл коэффициентов ϕ ij = Кij /ΔХj следующий: они
показывают, какое количество продукции i -й отрасли должно быть вложено в
j -ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в
рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты ϕ ij называются
коэффициентами капитальных вложений или коэффициентами приростной
фондоемкости. Систему уравнений (1) с учетом (2) можно записать как:
Представим (3) в матричном виде:
(4)Из (4) следует, что
Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева. Система уравнений (3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X (0 ) и Y (t ) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X (t ), K (t ), t = 1, 2, …, T.
Условием разрешимости системы (3) относительно вектора Х (t ) является требование det (E − A − Ф ) ≠ 0
В данной модели предполагается, что прирост продукции в периоде
(t – 1, t ) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде.
Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют
отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в
производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели,
учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу
динамических моделей межотраслевого баланса.
Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами:
(6)Для ее решения помимо матриц коэффициентов текущих прямых
материальных затрат A = (a ij ) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (ϕij )
необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени
t = 0 (x (0)) и закон изменения величин конечного продукта y (t ) на отрезке .
Решением системы уравнений (6) будут значения вектор-функции x (t )
на отрезке . Условием разрешимости системы (6) является det Ф ≠ 0 .
Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,
учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:
(7)
(9)Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими
переменными:
Х t – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;
v t –вектор ввода отраслевых мощностей;
γ − диагональная матрица выбытия мощностей;
x t – вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);
l t = (l 1 , l 2 ,..., l n )t вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;
L t – объем трудовых ресурсов в экономике.
Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году
(t = 1, 2, …, T ). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║аij║ и матрицы
капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║фij║ могут
зависеть от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Y t и числовая функция L t . Решением модели являются векторы Х t и x t , удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).
Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта X t должен
обеспечивать текущие производственные затраты AХ t , затраты продукции на
ввод производственных мощностей ФV t и на непроизводственное потребление Y t. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами.
Определим величины, характеризующие изменения валового выпуска 5 отраслей по 7 временным интервалам.
Рыбная -25056 -46023 -27579 -9222 18357 -22098 -79866 Логистика 101607 -1499 56461 8932 226650 -181033 -583399 Судоремонтная -7076 29510 9728 55934 -35028 15280 -432869 Пищевая 10100 11822 39809 -54373 12350 35889 -532456 Машино и приборо-строение 11706 2156 16085 -97206 36989 9201 -543768 Теперь воспроизведем матрицу D. Коэффициент d ij матрицы D равен количеству продукции отрасли i, необходимой для увеличения на единицу (в стоимостном выражении) фонда отрасли j. Коэффициенты d ij именуются коэффициентами капиталоемкости приростов ОПФ.
Производство продукции, B Потребление продукции Конечная продукция Y
Валовой выпуск
Рыбная Логистика Судоремонтная Пищевая Машино и приборо-строение Рыбная 1 5,5 1,5 5 6 56700 101964 Логистика 6 1 5 4,5 3 56430 204324 Судоремонтная 4,5 5 1 6 6 390860 508326 Пищевая 5 5 5 1 6 787890 1289754 Машино и приборо-строение 4 4 5 4 1 323630 734563 Построим матрицу К коэффициентов капитальных затрат или капитальных коэффициентов.
Производство продукции, B Потребление продукции Конечная продукция Y Валовый выпуск Рыбная Логистика Судоремонтная Пищевая Машино и приборо-строение Рыбная 0,8 4,4 1,2 4 4,8 56700 101964 Логистика 4,8 0,8 4 3,6 2,4 56430 204324 Судоремонтная 3,6 4 0,8 4,8 4,8 390860 508326 Пищевая 4 4 4 0,8 4,8 787890 1289754 Машино и приборо-строение 3,2 3,2 4 3,2 0,8 323630 734563 Теперь определим
Пусть Ф 0 =0,
(Матрица А - матрица прямых затрат)Итак, мы имеем первый вектор
Отрасль x при t=1 Ф при t=1 y при t=1 Рыбная 191487 -20044,8 -3,601*10^4 Логистика 372281 81285,6 7,575*10^4 Судоремонтная 364521 -5660,8 2,697*10^3 Пищевая 476859 8080 1,824*10^4 Машино и приборо-строение 564837 9364,8 -8,428*10^3 Аналогичным образом получаются таблицы для t = 2, 3, 4, 5, 6.
Отрасль x при t=2 Ф при t=2 y при t=2 Рыбная 166431 -56863,2 -6,808*10^4 Логистика 473888 80086,4 -6,632*10^3 Судоремонтная 357445 17947,2 2,495*10^4 Пищевая 486959 17537,6 2,816*10^4 Машино и приборо-строение 576543 11089,6 5,698*10^3 Отрасль x при t=3 Ф при t=3 y при t=3 Рыбная 120408 -78926,4 -4,702*10^4 Логистика 472389 125255,2 2,757*10^4 Судоремонтная 386955 25729,6 8,966*10^3 Пищевая 498781 49384,8 3,867*10^4 Машино и приборо-строение 578699 23957,6 -3,451*10^3 Отрасль x при t=4 Ф при t=4 y при t=4 Рыбная 92829 -86304 -4,489*10^4 Логистика 528850 132400,8 5,323*10^4 Судоремонтная 396683 70476,8 3,166*10^4 Пищевая 538590 5886,4 -3,038*10^4 Машино и приборо-строение 594784 -53807,2 -6,271*10^4 Отрасль x при t=5 Ф при t=5 y при t=5 Рыбная 83607 -71618,4 8,141*10^3 Логистика 537782 313720,8 1,671*10^5 Судоремонтная 452617 42454,4 -2,388*10^4 Пищевая 484217 15766,4 -2,626*10^3 Машино и приборо-строение 497578 -24216 -2,208*10^4 Отрасль x при t=6 Ф при t=6 y при t=6 Рыбная 101964 -89296,8 -9,557*10^3 Логистика 764432 168894,4 -1,595*10^5 Судоремонтная 417589 54678,4 1,239*10^4 Пищевая 496567 44477,6 3,563*10^4 Машино и приборо-строение 534567 -16855,2 3,836*10^4 В модели Неймана представлены n продуктов и m способов их
производства. Каждый j- й способ задается вектор-столбцом затрат продуктов
a j и вектор-столбцом выпусков продуктов b j в расчете на единицу
интенсивности процесса:
(1)Это означает, что при единичных интенсивностях j -го производственного процесса потребляется вектор продуктов a j и производится продуктов b j . Векторы (1) рассматриваются в натуральных единицах или в постоянных ценах.
Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат А и выпусков
В с неотрицательными коэффициентами затрат a ij и выпусков b ij :
Матрицы А и В обладают следующими свойствами:
1)
a
ij
≥0 ,b
ij
≥0,т.е. все элементы матриц неотрицательны;2) что означает: в каждом из m способов
производства потребляется хотя бы один продукт;3) что означает: каждый продукт
производится хотя бы одним способом производства;
Таким образом, каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В
должны иметь по крайней мере один положительный элемент.
Через Х (t ) обозначим вектор-столбец интенсивностей
Тогда AX (t ) – вектор затрат, BX (t ) – вектор выпусков при заданном
векторе Х (t ) интенсивностей процессов.
Модель Неймана является обобщением динамической модели
межотраслевого баланса Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта несколькими способами производства, и совпадает с ней, если В = Е.
В модели Неймана имеют место следующие соотношения:
(2)Соотношения (2) означают, что при производстве продукции в году
(t + 1) расходуется продукция, произведенная в году t.
Вектор p (t )=(p 1 (t ), p 2 (t ),..., p n (t ))≥0 называется вектором цен
продуктов, произведенных в году t , если он удовлетворяет следующим соотношениям:
(3)Если коэффициенты матриц А и В – стоимостные величины в постоянных ценах, то р (t ) будет вектором индексов цен.
Первое векторное неравенство в (3) означает, что стоимость выпуска
продукции для каждого технологического способа производства в году t + 1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.
Из (2) и (3) следует, что имеют место следующие соотношения:
(4)Первое соотношение в (4) означает, что цена i -го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).
Второе соотношение (4) означает, что j -й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).
Определение. Векторы Х (t ) и p (t ), t = 1, 2, …, T называются траекторией
сбалансированного роста в модели Неймана, если они удовлетворяют
условиям:
(5)Здесь λ − темп, ρ − норма процента сбалансированного роста.
Из (5) следует, что в состоянии сбалансированного роста значения компонент вектора Х (t ) пропорционально возрастают, а вектора p (t ) снижаются. При этом имеют место соотношения:
(6)где Х (0) и р (0) – начальные значения векторов в году t = 0.
Из (5), (6) следует, что на траектории сбалансированного роста должны выполняться соотношения.
(7)Вопрос о существовании траекторий сбалансированного роста решается
следующими теоремами.
Первая теорема Неймана . Если матрицы А и В удовлетворяют
свойствам 1-3, то система неравенств (7) имеет решение X (t), p (t),λ ,ρ ,
т.е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного роста.
Вторая теорема Неймана. Существует решение X * (t ), p * (t ),λ * ,ρ *
системы (7), у которого будет максимальный темп роста λ * ≥λ и
минимальная норма процента ρ * ≤ ρ по сравнению с другими решениями.
При этом выполняется соотношение:
(8)Данное решение называется магистралью , или траекторией
максимального сбалансированного роста в модели Неймана.
Модель Неймана является невычислимой, чисто теоретической моделью. Выход к практическим результатам осуществляется через динамическую модель В. Леонтьева, являющуюся частным случаем модели Неймана. Цены, полученные на основе динамического баланса, обладают свойствами цен модели Неймана. Модель Леонтьева использует данные динамического межотраслевого баланса. На основе динамического баланса также возможно построение неймановского луча максимального сбалансированного роста экономики и вычисление цен, соответствующих этому лучу, которые отражают альтернативную стоимость. Отличие динамической межотраслевой модели от модели Неймана состоит в том, что она базируется на предположении, что в каждой отрасли возможен один и только один производственный процесс. Таким образом, выбор решения по каждой отрасли сводится лишь к определению интенсивности производственного способа.
В заключение отметим, что с помощью межотраслевого баланса решают
следующие задачи:
1. По таблице межотраслевого баланса найти матрицу прямых и полных затрат.
2. Задав вектор конечной продукции, определить вектор валовой продукции.
3. Задав вектор валовой продукции, определить вектор конечной продукции.
4. При новых значениях добавленной стоимости найти индексы цен и построить новую таблицу межотраслевого баланса.
5. Найти векторы валового выпуска, добавленной стоимости, затрат,
доли затрат и добавленной стоимости в валовом продукте, межотраслевые
поставки продукции, составить таблицу межотраслевого баланса.
Аналитический метод «затраты-выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата. Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.
Модель Леонтьева "Затраты-выпуск" строится на основе схемы межотраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары?
Магистральная траектория - это луч Неймана. Основным вопросом магистральной теории является анализ близости траекторий оптимизационных моделей к соответствующим магистралям. Оптимальные траектории в динамических моделях Леонтьева и Неймана обладают такими свойствами при выполнении некоторых дополнительных условий.
1. Колемаев В.А. "Экономико-математическое моделирование" ЮНИТИ-ДАНА, 2005 295 с.
2. Поттосина С. А., ЖуравлевВ. А. " Экономико-математические модели и методы" Учебное пособие для студентов экономических специальностей, 2003. – 94 с.
3. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000.
4. http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm
5. http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm
